时 数列的通项公式与递推公式PPT学习教案

1、会计学1时时 数列的通项公式与递推公式数列的通项公式与递推公式按照一定顺序排列的一列数称为按照一定顺序排列的一列数称为数列数列. .(数列具有有序性、可重复性、确定性)1.数列的定义：第1页/共35页2.数列与函数的关系:数列可以看成以正整数集 （或它的有限子集1,2，n）为定义域的函数 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f（x）,如果f（i）（i=1,2,3，）有意义，那么我们可以得到一个数列f（1），f（2），f（3），f（n）， * *N Nn na =fa =f（n n）第2页/共35页1.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；

2、对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式;(重点）2.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式. （难点）第3页/共35页我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项.探究点1 数列的通项公式注：数列与函数的关系y=f（x）ann （正整数集N或它的有限子集1,2,3, ,n)项通项公式函数值自变量如果数列 的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.n na a 第4页/共35页3nan12nna【即时练习】 写出下面数列的一个通项公式:第5页/共35页例1 写出下面数列的一个通项公

3、式，使它的前4项分别是下列各数：【解析】（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个通项公式为 通项公式不唯一111111（1 1） 1 1，- -， ， -. -.234234（2 2） 2 2， 0 0， 2 2， 0. 0.n+1n+1n n（-1-1）a =a =n n第6页/共35页（2）这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为【互动探究】1.根据数列的前若干项写出的通项公式的形式唯一吗？请举例说明.提示：不一定唯一.n+1n+1n na =a =（-1-1）1 20212sin1cos.2，n n

4、为为奇奇数数n n，n n为为偶偶数数nnnn如如：例例（2 2）中中通通项项公公式式还还可可以以写写成成a =a =，n n或或a =a =或或a =na =n 第7页/共35页2.根据数列的前若干项一定能写出通项公式吗？请举例说明.提示：不一定能写出.如如：2 2精精确确到到1 1, ,0 0. .1 1, ,0 0. .0 01 1, ,0 0. .0 00 01 1， 的的不不足足近近似似值值构构成成的的数数列列1 1, ,1 1. .4 4, ,1 1. .4 41 1, ,1 1. .4 41 14 4， . . . . 就就无无法法写写出出通通项项公公式式. .第8页/共35页n

5、 n1 12 23 34 45 5a an n =2n-1 =2n-1 13579【解析】列表: 已知数列 的通项公式为 ，用列表写出这个数列 的前5项，并作出图象. n na an na = 2n-1a = 2n-1 n na a【变式练习】第9页/共35页O 1 2 3 4 5 6 710987654321an=2n-1n图象如下：图象是一群孤立的点第10页/共35页例2 图中的三角形图案称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.第11页/共35页【解析】如图

6、，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以,这个数列的一个通项公式是 在直角坐标系中的图象如图所示.n n- -1 1n na a = =3 3第12页/共35页O369121518212427301234n-1n-1n na = 3a = 3第13页/共35页 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1）3,5,7,9,11，.（3）0,1,0,1,0,1，.（5）7,77,777,7777，.2 24 46 68 81 10 0（2 2） ， ， ， ， ， . .3 3 1 15 5 3 35 5 6

7、 63 3 9 99 91 11 11 11 11 1（4 4） - -， - -， - -， . .2 2 1 1 2 22 22 23 3 2 24 42 25 5 【变式练习】第14页/共35页【解解析析】n n（1 1）a a = =2 2n n+ +1 1. .n n2 22 2n n（2 2）a a = =. .（2 2n n）- -1 1n nn n1 1+ + （- -1 1）（3 3）a a = =. .2 2n nn n1 1（4 4）a a = = （- -1 1）. .2 2n nn nn n7 7（5 5）a a = = （1 10 0 - -1 1）. .9 9第1

8、5页/共35页探究点2 数列的递推公式1.观察以下数列，并写出其通项公式：思考：除用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？（1）1,3,5,7,9,11，（2）0，-2，-4，-6，-8，（3）3,9,27,81，n nn na a = =3 3n na = 2n-1a = 2n-1n na = -a = -（2 n-12 n-1）第16页/共35页【解解析析】1 12 21 13 32 2n nn n- -1 1（1 1）a a = =1 1，a a = =3 3= =1 1+ +2 2= = a a + +2 2， a a = =5 5= = a a + +2 2，. . .

9、.，a a = = a a+ +2 2. .1nn-11nn-1 （ （2）2）a =0，a =0，.，.，a = a-2.a = a-2.1nn-11nn-1（3）3）a =3，a =3，.，.，a =3aa =3a第17页/共35页2.观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型.模型一：自上而下1 1 4=1+34=1+3，第1层钢管数为4，即第2层钢管数为5，即第3层钢管数为6，即第4层钢管数为7，即第5层钢管数为8，即2 25=2+35=2+3，3 36=3+36=3+3，4 4 7=4+37=4+3，5 58=5+38=5+3，n nn n若若用用a a 表表示示钢钢管管数数，n n

10、表表示示层层数数，则则可可得得出出每每一一层层的的钢钢管管数数为为一一数数列列，且且a a = = n n+ +3 3. .第18页/共35页模型二：上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1， 对于上述所求关系，若知其第n-1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要.1 12 21 13 32 2n nn n- -1 1即即a a = = 4 4，a a = = 5 5 = = 4 4+ +1 1= = a a + +1 1， a a = = 6 6 = = 5 5+ +1 1= = a a + +1 1，以以此此类类推推：a a = = a a+ +1 1（2 2n

11、n7 7）第19页/共35页n1n1nn-1nn-1212132323.3.如如果果一一个个数数列列 a a 的的首首项项a =1a =1，从从第第2 2项项起起每每一一项项等等于于它它的的前前一一项项的的2 2倍倍再再加加上上1 1，即即a = 2a+a = 2a+（1 n11 n1），那那么么a =2a +1=3a =2a +1=3，.a =2a +1=7,.a =2a +1=7,nn-1nn-1像像这这样样给给出出数数列列的的方方法法叫叫做做，其其中中a = 2a+a = 2a+（1 n11 n1）称称为为. .递递推推公公式式也也是是数数列列的的一一递递推推法法递递推推公公式式种种表表

12、示示方方法法.第20页/共35页在数列an中，已知a1=2，a2=3，an+2=3an+1-2an（n1）写出此数列的前六项.【解题关键】通过观察，此题的递推公式是数列中相邻三项的关系式，知道前两项就可以求出后一项.【解析】a1=2，a2=3，a3=3a2-2a1=33-22=5，a4=3a3-2a2=35-23=9，a5=3a4-2a3=39-25=17,a6=3a5-2a4=317-29=33.【即时练习】第21页/共35页【互动探究】已知数列an的第一项是1，以后各项由公式an-1=2an-2给出，写出这个数列的前五项.【解题关键】可先将公式变形为an=1+ an-1.根据递推公式写出数

13、列的前几项，可由a1=1及a2=1+ a1，求出a2这一步是解题的关键.【解析】an-1=2an-2,an=1+ an-1.又a1=1,a2= a3= a4= a5=1212123,27 ,415,831.16第22页/共35页例3 设数列an满足写出这个数列的前5项.【解析】由题意可知1 12 21 13 34 42 23 35 54 41 11 1a a = = 1 1， a a = = 1 1+ += = 1 1+ += = 2 2， a a1 11 11 13 31 12 25 5a a = = 1 1+ += = 1 1+ += =， a a = = 1 1+ += = 1 1+ +

14、= =，a a2 22 2a a3 33 31 13 38 8 a a = = 1 1+ += = 1 1+ += =a a5 55 5第23页/共35页.1n+1nn1n+1nn 已已知知a = 2a = 2，a= 2aa= 2a ，写写出出前前5 5项项，并并猜猜想想a a观观【解解析析】2 22 23 31 12 23 33 34 44 45 54 45 5n nn n方方法法一一：a a = =2 2，a a = =2 2 2 2= =2 2 = =4 4，a a = =2 2 2 2 = =2 2 = =8 8， a a = =2 2 2 2 = =2 2 = =1 16 6，a a

15、 = =2 2 2 2 = =2 2 = =3 32 2， 察察猜猜想想a a = =2 2 . . 【变式练习】第24页/共35页123451-1-1-1-1-22-1-2-31-11122 242 482 8162 16322222 .2222222 . 方方法法二二：， ， ，即即，观观察察猜猜想想 所所以以（）， 所所以以（）， 又又也也符符合合上上式式，所所以以 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaanaaaaaanaa 第25页/共35页1.数列an中，a1=-1，an+1=an-3，则a3等于（ ）（A）-7 （B）-4 （C）-1 （D）2【解

16、析】选A.a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7.A第26页/共35页2.数列0，2，4，6，的递推公式可以是（ ）（A）an+1=an+2 （B）an+1=2an（C）an+1=an,a1=0 （D）an+1=an+2,a1=0【解析】选D.选项A、B中没有明确a1的大小，故选项A、B不是；选项C中，a2=0, a3=0,a4=0,则选项C不是；选项D中，a2=2,a3=4,a4=6,则选项D是正确的.D第27页/共35页3.下列数列满足an+1= 的是（ ）(A)1,1,1,1, (B)2,2,2,2,(C)3,1,3,1, (D)-1,1,-1,1,【解析】选A.

17、因为选项A中, a1=1，an+1= 则能依次求出a2=a3=a4=1.n1an1a，A第28页/共35页12第29页/共35页5.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.* *1 1n n+ +1 1n n* *n n1 1n n+ +1 1n n* *1 1n n+ +1 1n n（1 1）a a = = 0 0，a a= = a a + + （2 2n n- -1 1）（n nN N ）. .2 2a a（2 2）a a = =1 1，a a= =（ n nN N ）. .a a + +2 2（3 3）a a = = 3 3，a a= = 3 3a a - -2

18、2（n nN N ）. .第30页/共35页.【解解析析】12345123452 2n n（1）1）a =0，a =0，a =1，a =1，a = 4，a = 4，a = 9，a = 9，a =16，a =16，所所以以a = （a = （n-1）n-1）.1234512345n n212212212212（2）2）a =1，a =1，a =，a =，a =，a =，a =，a =，a =，a =，3245363245362 2所所以以a =a =n+1n+101201212312334344545n-1n-1n n（3）3）a =3 =1+2a =3 =1+23 ，3 ，a =7=1+2a =7=1+23 ，3 ，a =19=1+2a =19=1+23 ，3 ，a =55=1+2a =55=1+23 ，3 ，a =163 =1+2a =163 =1+23 ，3 ，所所以以a =1+2a =1+23.3.第31页/共35页2. 递推公式与数列的通项公式的区别是：1. 通项公式、递推公式的概念；(1