统考版2022届高考数学一轮复习第二章2.3函数的奇偶性与周期性学案理含解析20210423110（精编版）

1、第三节函数的奇偶性与周期性【知识重温】一、必记3 个知识点1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果函数f(x)的定义域内 _x都有 _，那么函数f(x)是偶函数关于 _对称奇函数如果函数f(x)的定义域内 _x都有 _，那么函数f(x)是奇函数关于 _对称2.奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 _(填“相同”、“相反”)(2)在公共定义域内( )两个奇函数的和函数是_，两个奇函数的积函数是_. ( )两个偶函数的和函数、积函数是? _. ( )一个奇函数与一个偶函数的积函数是? _. (3)若 f(x)是奇函数且在x0 处有意义，

2、则f(0)? _. 3函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x 取定义域内的任何值时， 都有 f(xt)? _，那么就称函数yf(x)为周期函数，称t 为这个函数的周期(2)最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中? _的正数， 那么这个? _就叫做 f(x)的最小正周期(3)常见结论： 若 f(x a) f(x)，则 t 2a； 若 f(xa)1f x， 则 t2a；若 f(xa)1f x，则 t2a. 二、必明2 个易误点1判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是判断函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数f(

3、x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有 f(x) f(x)或 f(x)f(x)，而不能说存在x0使 f(x0) f(x0)、f( x0)f(x0)【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“ab 0”是“函数f(x)在区间 a，b(ab)上具有奇偶性”的必要条件() (2)若函数 f(x)是奇函数，则必有f(0)0.() (3)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa 对称 () (4)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b,0)中心对称 () (5)已知函数yf(x)是定义在r 上的偶函数，若在(，

4、0)上是减函数，则在(0， )上是增函数() (6)若 t 为 yf(x)的一周期，那么nt(nz)是函数 f(x)的周期 () 二、教材改编2下列函数中为奇函数的是() ayx2sin xbyx2cos xcy |ln x| dy 2x3已知函数f(x)是定义域为r 的奇函数，当x0 时， f(x)x(1x)，则 f(x)的解析式为_三、易错易混4关于函数f(x)x244 x2与 h(x)x 44x的奇偶性，下列说法正确的是() a两函数均为偶函数b两函数都既是奇函数又是偶函数c函数 f(x)是偶函数， h(x)是非奇非偶函数d函数 f(x)既是奇函数又是偶函数，h(x)是非奇非偶函数5设

5、f(x)为奇函数，且在(， 0)内是减函数， f(2)0，则f xx0 的解集为 () a x|x2bx|x2 或 0 x2 c x|2x2 dx|2x0 或 0 x2 四、走进高考6 2019 全国卷 已知 f(x)是奇函数，且当 x0 时， f(x) eax.若 f(ln 2)8， 则 a_. 考点一函数的奇偶性分层深化型 考向一：判断函数的奇偶性12021 成都市高三阶段考试已知 y f(x)是定义在r 上的奇函数， 则下列函数中为奇函数的是 () yf(|x|)； yf(x)； y xf(x)； y f(x)x. abcd2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)3x2x23；(2)f(x

6、)(1x) 1x1x；(3)f(x)lg 1x2|x2|2；(4)f(x)x2x，x0.考向二：函数奇偶性的应用3 (1)2019全国卷 设 f(x)为奇函数， 且当 x0 时，f(x)ex1， 则当 x0 时， f(x)() aex 1 bex1 c ex1 d ex1 (2)2021浙江高三月考若函数 f(x)xx2 xa为奇函数，则实数a 的值为 _悟 技法1.判断函数奇偶性的三种方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法设 f(x)，g(x)的定义域分别是d1，d2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇， 奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇 偶奇2函数奇偶性的应用(1)求函数值：将特求值利用奇偶性转

7、化为求已知解析式的区间上的函数值(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x) f( x) 0 得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值注意 对于定义域为i 的奇函数f(x)，若 0i，则 f(0) 0. 考点二函数的周期性 互动讲练型 例 1(1)2021绵阳模拟 函数 f(x)2x1， 1x3，f x4 ， x3，则

8、 f(9)_. (2)已知定义在r 上的函数f(x)满足 f(x2)1f x，当 x0,2)时， f(x)xex，则 f(2 020)_. 悟 技法1.求函数周期的方法方法解读适合题型定义法具体步骤为：对于函数yf(x)，如果能够找到一个非零常数 t，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f(xt)f(x)，那么 t 就是函数yf(x)的周期非零常数t 容易确定的函数递推法采用递推的思路进行，再结合定义确定周期如：若f(xa) f(x)， 则 f(x 2a)f(xa)a f(xa)f(x)，所以 2a为 f(x)的一个周期含有 f(xa)与 f(x)的关系式换元法通过换元思路将表达式化简为定义

9、式的结构，如：若 f(xa) f(xa)，令 xat，则 xta，则 f(t2a)f(taa)f(taa)f(t)，所以 2a 为 f(x)的一个周期f(bx a) f(bx c)型关系式2.函数周期性的应用根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能在解决具体问题时，要注意结论：若t 是函数的周期，则kt(kz 且 k0)也是函数的周期. 变式练 (着眼于举一反三) 1已知定义在r 上的函数满足f(x2)1f x，当x(0,2时， f(x)2x1.则 f(17)_，f(20)_. 2已知 f(x)是 r 上最小正周期为

10、2 的周期函数，且当0 x0(x1x2)恒成立，则f152，f(4)，f112的大小关系正确的是 () af112f(4)f152bf(4)f112f152cf152f(4)f112df152f112f(4) 悟 技法函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合解此类问题常利用以下两个性质：如果函数f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(2)周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)单调性、

11、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用周期性、奇偶性转化自变量所在的区间，然后利用单调性求解. 同类练 (着眼于触类旁通) 32020 全国卷 设函数 f(x)ln|2x1| ln|2x1|，则 f(x)() a是偶函数，且在12，单调递增b是奇函数，且在12，12单调递减c是偶函数，且在，12单调递增d是奇函数，且在，12单调递减变式练 (着眼于举一反三) 42021 武昌区调研考试已知 f(x)是定义域为r 的奇函数，且函数yf(x1)为偶函数，当 0 x1 时， f(x)x3，则 f52_. 拓展练 (着眼于迁移应用) 5 2021 广东珠海模拟 定义在 r 上的函数 f(x)满足

12、f(x)f(2x)， f(x) f(x)， 且在 0,1上有 f(x)x2，则 f 2 01912() a. 94b. 14c94d146 已知定义在r 上的奇函数f(x)满足 f(x4) f(x)， 且在区间 0,2上是增函数， 则() af(25)f(11)f(80) bf(80) f(11)f( 25) cf(11)f(80) f( 25) df(25)f(80)f(11) 第三节函数的奇偶性与周期性【知识重温】任意一个f(x)f(x)y 轴任意一个f( x) f(x)原点相同相反奇函数偶函数? 偶函数? 奇函数? 0? f(x)? 存在一个最小? 最小正数【小题热身】1答案： (1)(

13、2)(3)(4)(5)(6)2解析： a 是奇函数， b 是偶函数， c，d 是非奇非偶函数答案： a 3解析： 当 x0，f(x)( x)(1 x) x(1x)又 f(x)为奇函数，f(x) f(x)，f(x) x(1x)，即 f(x)x(1x)答案： f(x)x 1x ，x0 x 1x ，x04 解析：函数 f(x)x244x2的定义域满足x240，4x20，即 x24， 因此函数f(x)的定义域为 2,2 ，关于原点对称，此时f(x)0，满足f(x) f(x)，f(x)f(x)，所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数而函数 h(x)x44x的定义域为 4 ， 不关于原点对称，因此函数h(

14、x)是非奇非偶函数答案： d 5解析： f(x)为奇函数，且在( ，0)内是减函数，函数 f(x)在 (0， )上也为减函数f(2)0，f(2) f(2)0，故函数f(x)的大致图象如图所示则由f xx0，可得 xf(x)0，即 x 和 f(x)异号，由图象可得x2. 故f xx0 的解集为 x|x2 ，故选 a. 答案： a 6解析： 解法一由 x0 可得 x0 时， f(x) f(x) ea(x)eax，则 f(ln 2)ealn 28， aln 2ln 83ln 2， a 3. 解法二由 f(x)是奇函数可知f(x) f(x)，f(ln 2) f(ln 12) (ealn 12)8，al

15、n 12ln 83ln 2，a 3. 答案： 3 课堂考点突破考点一1解析： 因为 yf(x)是定义在r 上的奇函数，所以f(x) f(x)，由 f(| x|)f(|x|)，知是偶函数； 由 f(x)f(x) f(x)，知 是奇函数； 由 yf(x)是定义在r 上的奇函数，且 yx 是定义在 r 上的奇函数，奇奇偶，知 是偶函数；由f(x)(x) f(x) x，知是奇函数答案： d 2解析：(1)由3 x2 0，x23 0，得 x23，解得 x 3，即函数 f(x)的定义域为 3， 3，f(x)3x2x230. f(x) f(x)且 f(x)f(x)，函数 f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由

16、1x1x0 得 1x0，|x2|2，得定义域为 (1,0)(0,1)，关于原点对称x20，|x2|2 x，f(x)lg 1x2 x. 又 f(x)lg1 x2xlg 1x2x f(x)，函数 f(x)为奇函数(4)显然函数f(x)的定义域为 (，0) (0， )，关于原点对称当 x0，则 f(x) (x)2x x2x f(x)；当 x0 时， x0，则 f(x)(x)2xx2x f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有 f( x) f(x)， 函数 f(x)为奇函数3解析： (1)当 x0，因为当x0 时， f(x)ex1，所以 f(x)ex1.又因为 f(x)为奇函数，所以f(x) f

17、(x) ex1.故选 d 项(2)由于函数f(x)为奇函数，故f(x)f(x) 0，即xx2x axx2 x a0，即4 2a x2x2 x2xa xa 0，故 42a 0，即 a 2. 答案： (1)d(2)2 考点二例 1解析： (1)f(9)f(94)f(5)f(5 4) f(1)2111. (2)因为定义在r 上的函数 f(x)满足 f(x2)1f x， 所以 f(x4)1f x2 f(x)， 所以函数 f(x)的周期为4. 当 x0,2)时， f(x)xex，所以 f(2 020)f(50540)f(0) 0e01. 答案： (1)1(2)1 变式练1解析： 因为 f(x2)1f x

18、，所以 f(x4)1f x 2f(x)，所以函数yf(x)的周期 t4. f(17)f(44 1)f(1) 1. f(20)f(44 4)f(4) f(22)1f 2122 113. 答案： 1132解析： 因为当 0 x0 时，令 f(x 1) 0， 得 0 x1 2， 1x 3；当 x0 时，令 f(x1)0，得 2x10，1x1，又 x0， 1xf(0)f12，即 f 152f(4)f112. 答案： c 同类练3解析：|2x1|0，|2x1|0? xx x12，xr ，函数f(x)的定义域关于原点对称，又f(x)ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1| f(x)，f(x)是奇函数，排除a、c；当 x 12，12时，f(x)ln(2x1)ln(12x)，则 f(x)22x1212x414x20，f(x)在 12，12单调递增，排除b；当 x ，12时， f(x)ln(2x1) ln(12x)，则 f(x)22x1212x414x20， f(x)在 ，12单调递减， d 正确答案： d 变式练4解析： 解法一因为 f(x)是 r 上的奇函数，y f(x1)为偶函数，所以f(x1)f(x1)