竞赛专题-取整函数

1、初中数学竞赛辅导专题六:取整函数一、基础知识定义：设X，R,用lx 表示不大于x的最大整数，则y=x 称为高斯函数，也叫取整 函数；任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即x - |xa 0岂a ： 1 ，这里，|x 为x的整数部分，记x = x - lx 为x的小数部分。性质：由x、x的定义不难得到如下性质：（1）对任意实数 x，都有x二x x,且0岂 X ： 1.（2）对任意实数 x，都有x岂 x ： x1,x 1 ： x乞 x （3）显然，y - lx 的定义域是R,值域是Z。y = x的定义域为R,值域为0,1）。从函数的图象可以看出，y二x的图象由成阶梯形的等长平行线段组成，函数

2、不减，(5) x y _xy;xx y _x y; ' xj xj, xR ;特别地,7i 二1naa_n.bbnn(6) xy_x.y，其中 x, y- R.; 一般有x _ x： , x： R.;特别地,n xn 乞x, x 三 R , nW N x l-1(x不是整数)(7) 一 x=n-lx ( x是整数)(8) 若 nW n+，则 I I ;当 n = 1 时，x = x；n 5 _(9)若整数 a, b 适合 a=bq+r ( b>0,q,r 是整数，0 兰 rcb )，则'i 1= q ；_b（9） x是正实数，n是正整数，则在不超过 x的正整数中，n的倍数

3、共有 - 个;ILn即若Xt _ x2则Xt _ x2 ，其图像如图I 1 ；（10）设p为任一素数，在n !中含p的最高乘方次数记为 p n !,则有:y二x的图象由端点位于 x轴上整点的无数条与 y=x（0：:1乞1）平行的线段组成，I 2.1/、o证明：由于p是素数，所有n!中所含p的方次数等于出七nlA， nn中，有|一个p的倍数，有1 2_ p _:p 一n!的各个因数1,2, "次数之总和。由性质10可知，在1,2, "2个p的倍数,有讣p3的倍数，当pmg严时，討详n所含p的方二0，所以命题成立。(4) x 亠 n = n 亠x; x 亠 n = x.其中 x

4、 - R, n 尸 Z .高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用。解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。74若 n=0，贝U x = 一 ；若 n=1，贝V x=。155注：本例中方程为u - v型的，通常运用高斯函数的定义和性质并结合换元法求解。26、求方程4x -40x - 51 =0的实数解.二、例题选讲1. 用a表示不超过a的最大整数，则a+-a=2. 若设x =5, y = _3, z = -1，贝U

5、 x -y -z可以取值的个数是（）A.3个 B.4个 C. 5个 D.6个3. 正整数n小于100,并且满足等式a ,则这样的正整数 门有（）个A .2 B. 3 C. 12 D. 164. 计算：腭空的值。n 4解：因X _ x :： x T,又x :： 0不是解f24( X + 1)- 40 X + 51 > 0,24 x - 4x +51 兰 0.”(2x 5)(2x 11)>0.(2x_ 3)( 2x 7 兰0.5x,211x,2，叫x,17xT；17xT解：由题意得：对于任意的n三；1,2,，100二型 Z 空 - 23 仙-二23 ,101 101 10123n23

6、101 -n 才；空101 丨 J 101卜1013 101101100= 22.n 土23 n2250 =1100廿01说明：本例采用了分组凑整的思想。&、计 5+6x15x -75.解方程 IL 85” 人 15x75n +7一 10n +39一解：令n n Z ，贝U x =，带入原方程整理得：n，由咼51540 一10n+39113斯函数的定义有 0 一 - n ：: 1，解得： - ：:n _ ，贝V n = 0, n = 1。403010解得x二2或x二6或7或8,分别代入方程得24x24x24x4x2J 29-29 = 0, x;2(189189 = 0,x2丁229-2

7、29 = 0,x =2<269-269 = 0,x =2经检验知，这四个值都是原方程的解20000107、求出云的个位数字10+320000解：先找出仏+3的整数部分与分数部分个不同的整数所以有991个不同的整数当k 989时，有494个整数，所以有494+1 （从0到494）当k . 987时，有1980-989=991 项，每项对应一个整数，“亠 2000010100、200只 200只 200(10)-33+100 100100103103103 于是此题中共有 495+991=1486个整数课堂练习2 100-(3 )100 200 200 100 2 100(10)-3=(10

8、). 100 2 2 20000 200知(10)-3 |10-3又 103 | (10)-3 ,0000 200m 1°-3知100103是整数.2003-110010010310320000 2000 200m 1010-3知100 100 100103103103其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为显然10090000 10100一9200005010 -81 100 , 1039，故商的个位数字为3.11、 =.166 ：72、 满足方程-77.66x4 7x76的整数解 的个数是A 1 B 2 C 3 D 43、方程1.9x- 8.8 y =36的正整数解的个数为（）A 54、求3x+5、方程组4 C 3 D91= 2x+的所有解的和。2r3x+2y=18的解是()3x - y = 42 2 2 2中有多少个不同的数?12319808、在数列,1980198019801980分析：我们注意到第一项为 0，若每两项的差不超过 1,则所有满足此条件的数均能取到, 不存在跳跃现象，若每两项的差大于1,则每个项均不同于前面的项。, 2 2 ,(k 1)k_ _ 2k 119