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1、初中数学竞赛辅导专题六:取整函数一、基础知识定义:设X,R,用lx 表示不大于x的最大整数,则y=x 称为高斯函数,也叫取整 函数;任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x - |xa 0岂a : 1 ,这里,|x 为x的整数部分,记x = x - lx 为x的小数部分。性质:由x、x的定义不难得到如下性质:(1)对任意实数 x,都有x二x x,且0岂 X : 1.(2)对任意实数 x,都有x岂 x : x1,x 1 : x乞 x (3)显然,y - lx 的定义域是R,值域是Z。y = x的定义域为R,值域为0,1)。从函数的图象可以看出,y二x的图象由成阶梯形的等长平行线段组成,函数
2、不减,(5) x y _xy;xx y _x y; ' xj xj, xR ;特别地,7i 二1naa_n.bbnn(6) xy_x.y,其中 x, y- R.; 一般有x _ x: , x: R.;特别地,n xn 乞x, x 三 R , nW N x l-1(x不是整数)(7) 一 x=n-lx ( x是整数)(8) 若 nW n+,则 I I ;当 n = 1 时,x = x;n 5 _(9)若整数 a, b 适合 a=bq+r ( b>0,q,r 是整数,0 兰 rcb ),则'i 1= q ;_b(9) x是正实数,n是正整数,则在不超过 x的正整数中,n的倍数
3、共有 - 个;ILn即若Xt _ x2则Xt _ x2 ,其图像如图I 1 ;(10)设p为任一素数,在n !中含p的最高乘方次数记为 p n !,则有:y二x的图象由端点位于 x轴上整点的无数条与 y=x(0::1乞1)平行的线段组成,I 2.1/、o证明:由于p是素数,所有n!中所含p的方次数等于出七nlA, nn中,有|一个p的倍数,有1 2_ p _:p 一n!的各个因数1,2, "次数之总和。由性质10可知,在1,2, "2个p的倍数,有讣p3的倍数,当pmg严时,討详n所含p的方二0,所以命题成立。(4) x 亠 n = n 亠x; x 亠 n = x.其中 x
4、 - R, n 尸 Z .高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的,值域却是离散的,高斯函数关联着连续和离散两个方面,因而有其独特的性质和广泛的应用。解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法,其中较为常见的有分类讨论(例如对区间进行划分)、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。74若 n=0,贝U x = 一 ;若 n=1,贝V x=。155注:本例中方程为u - v型的,通常运用高斯函数的定义和性质并结合换元法求解。26、求方程4x -40x - 51 =0的实数解.二、例题选讲1. 用a表示不超过a的最大整数,则a+-a=2. 若设x =5, y = _3, z = -1,贝U
5、 x -y -z可以取值的个数是()A.3个 B.4个 C. 5个 D.6个3. 正整数n小于100,并且满足等式a ,则这样的正整数 门有()个A .2 B. 3 C. 12 D. 164. 计算:腭空的值。n 4解:因X _ x :: x T,又x :: 0不是解f24( X + 1)- 40 X + 51 > 0,24 x - 4x +51 兰 0.”(2x 5)(2x 11)>0.(2x_ 3)( 2x 7 兰0.5x,211x,2,叫x,17xT;17xT解:由题意得:对于任意的n三;1,2,,100二型 Z 空 - 23 仙-二23 ,101 101 10123n23
6、101 -n 才;空101 丨 J 101卜1013 101101100= 22.n 土23 n2250 =1100廿01说明:本例采用了分组凑整的思想。&、计 5+6x15x -75.解方程 IL 85” 人 15x75n +7一 10n +39一解:令n n Z ,贝U x =,带入原方程整理得:n,由咼51540 一10n+39113斯函数的定义有 0 一 - n :: 1,解得: - ::n _ ,贝V n = 0, n = 1。403010解得x二2或x二6或7或8,分别代入方程得24x24x24x4x2J 29-29 = 0, x;2(189189 = 0,x2丁229-2
7、29 = 0,x =2<269-269 = 0,x =2经检验知,这四个值都是原方程的解20000107、求出云的个位数字10+320000解:先找出仏+3的整数部分与分数部分个不同的整数所以有991个不同的整数当k 989时,有494个整数,所以有494+1 (从0到494)当k . 987时,有1980-989=991 项,每项对应一个整数,“亠 2000010100、200只 200只 200(10)-33+100 100100103103103 于是此题中共有 495+991=1486个整数课堂练习2 100-(3 )100 200 200 100 2 100(10)-3=(10
8、). 100 2 2 20000 200知(10)-3 |10-3又 103 | (10)-3 ,0000 200m 1°-3知100103是整数.2003-110010010310320000 2000 200m 1010-3知100 100 100103103103其中分母的个位数字为3,分子的个位数字为显然10090000 10100一9200005010 -81 100 , 1039,故商的个位数字为3.11、 =.166 :72、 满足方程-77.66x4 7x76的整数解 的个数是A 1 B 2 C 3 D 43、方程1.9x- 8.8 y =36的正整数解的个数为()A 54、求3x+5、方程组4 C 3 D91= 2x+的所有解的和。2r3x+2y=18的解是()3x - y = 42 2 2 2中有多少个不同的数?12319808、在数列,1980198019801980分析:我们注意到第一项为 0,若每两项的差不超过 1,则所有满足此条件的数均能取到, 不存在跳跃现象,若每两项的差大于1,则每个项均不同于前面的项。, 2 2 ,(k 1)k_ _ 2k 119
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