圆弧计算公式

1、一 . 教案内容：弧长及扇形的面积圆锥的侧面积二 . 教案要求1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。三 . 重点及难点重点：1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。难点：1、弧长公式、扇形面积公式的推导。2、圆锥的侧面积、全面积的计算。知识要点知识点 1、弧长公式因为 360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C 2R，所以 1°的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长l 的计算公式：， b5E2RGbCAP说明：

2、<1）在弧长公式中， n 表示 1°的圆心角的倍数， n 和 180 都不带单位“度”，例 如 ， 圆 的 半 径 R 10 ， 计 算 20 ° 的 圆 心 角 所 对 的 弧 长 l 时 ， 不 要 错 写 成。 p1EanqFDPw<2）在弧长公式中，已知l ， n， R 中的任意两个量，都可以求出第三个量。知识点 2、扇形的面积如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心 角 为1 ° 的 扇 形 面 积 是， 由 此

3、 得 圆 心 角 为n ° 的 扇 形 面 积 的 计 算 公 式 是。 DXDiTa9E3d又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。1 / 9知识点 3、弓形的面积<1）弓形的定义：由弦及其所对的弧<包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。<2）弓形的周长弦长弧长<3）弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。RTCrpUDGiT当弓形所含的弧是劣弧时，如图1 所示，当弓形所含的弧是优弧时，如图2 所示，当弓形所含的弧

4、是半圆时，如图3 所示，例：如图所示，O 的半径为2， ABC 45°，则图中阴影部分的面积是<） <结果用表示） 5PCzVD7HxA分析：由图可知由圆周角定理可知ABC AOC ，所以AOC 2 ABC 90°，所以 OAC 是直角三角形，所以jLBHrnAILg，所以注意： <1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。圆周长弧长圆面积扇形面积公式<2）扇形与弓形的联系与区别<2）扇形与弓形的联系与区别图示2 / 9面积知识点 4、圆锥的侧面积l ，底面圆的半径为r，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为那么这个扇形的半

5、径为l，扇形的弧长为2 ，圆锥的侧面积，圆锥的全面积xHAQX74J0X说明： <1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。<2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。知识点 5、圆柱的侧面积LDAYtRyKfE圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积，圆柱的全面积Zzz6ZB2Ltk知识小结：圆锥与圆柱的比较名称圆锥圆柱图形由一个直角三角形旋转得到由一个矩形旋转得到的，如矩形图形的形成过程的，如 Rt SOA 绕直线 SOABCD

6、 绕直线 AB 旋转一周。旋转一周。图形的组成一个底面和一个侧面两个底面和一个侧面侧面展开图的特征扇形矩形3 / 9面积计算方法【典型例题 】例 1. <2003.辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2， 1， AOB 120°，则阴影部分的面积是<） dvzfvkwMI1A.B.C.D.分析： 阴影部分所在的两个扇形的圆心角为，所以故答案为： B.例 2. <2004·陕西）如图所示，点C 在以 AB 为直径的半圆上，连接AC ， BC ，AB 10厘 M， tan BAC ，求阴影部分的面积。rqyn14ZNXI分析： 本题考查的知识点有：&l

7、t;1）直径所对圆周角为90°， <2）解直角三角形的知识<3）组合图形面积的计算。EmxvxOtOco解： 因为 AB 为直径，所以ACB 90°，在 RtABC 中， AB 10， tan BAC ，而 tanBAC 设 BC 3k， AC 4k，<k 不为 0，且为正数）由勾股定理得所以 BC 6， AC 8，而所以例 3. <2003.福州）如图所示，已知扇形AOB 的圆心角为直角，正方形OCDE 内接于扇形 AOB ，点 C，E， D 分别在 OA ，OB 及 AB 弧上，过点 A 作 AF ED 交 ED 的延长线于F，垂足为 F，如果正

8、方形的边长为1，那么阴影部分的面积为 < ） SixE2yXPq54 / 9分析： 连接OD ，由正方形性质可知EOD DOC 45°，在Rt OED 中， OD ，因为正方形的边长为1，所以OE DE 1，所以，设两部分阴影的面积中的一部分为M ，另一部分为N，则，阴影部分面积可求，但这种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部分空白面积为P ，6ewMyirQFL因为 BOD DOC ，所以所以 M P，所以答案：。例 4. 如图所示，直角梯形ABCD 中， B90°， AD BC，AB 2，BC 7，AD 3，以 BC 为轴把直角梯形ABCD 旋转一周，求所得

9、几何体的表面积。kavU42VRUs分析： 将直角梯形ABCD 绕 BC 旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。y6v3ALoS89解：作 DHBC 于 H，所以 DHAB 2CH BC BH BC AD 7 3 4在 CDH 中，所以例 5. <2003.宁波）已知扇形的圆心角为120°，面积为300平方厘 M<1）求扇形的弧长。<2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？5 / 9分析： <1）由扇形面积公式，可得扇形半径R，扇形的弧长可由弧长公式求得。 <

10、2）由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形ABC ， <1）问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为C 2r，底面圆半径 r 即 CD 的长可求，圆锥的高AD 可在 RtADC 中求得，所以可求。 M2ub6vSTnP解： <1）设扇形的半径为R，由，得，解得 R 30.所以扇形的弧长<厘 M）。<2）如图所示，在等腰三角形ABC 中， AB AC R 30， BC 2r，底面圆周长C2r，因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以0YujCfmUCw在 RtADC 中，高 AD 所以轴截面面积<平方厘 M）。【模拟试卷】 <答题时间：

11、 40 分钟）一、选择题1. 若一个扇形的圆心角是 45°，面积为 2 ，则这个扇形的半径是 < ）A. 4B. 2C. 47D. 22. 扇形的圆心角是60°，则扇形的面积是所在图面积的<）A.B.C.D.3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是<）A. 90 °B.C.D.180 °4. 两同心圆的圆心是 O，大圆的半径是以 OA ， OB 分别交小圆于点 M ， N 已知大圆半径是小圆半径的 3 倍，则扇形 OAB 的面积是扇形 OMN 的面积的 < ） eUts8ZQVRdA.2倍B.3倍C.6倍D.9倍5. 半

12、圆 O 的直径为6cm， BAC 30°，则阴影部分的面积是<）A.B.C.D.6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为< ）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 6cm sQsAEJkW5T7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 ： 2，这个圆锥的轴截面的顶角是<）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120 ° GMsIasNXkA6 / 98. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为 1 2，则它们的高之比为 < ） TIrRGchYzgA.

13、2：1B. 3：2C. 2：D. 5：9. 如图，在 ABC 中， C Rt， AC > BC ，若以 AC 为底面圆半径， BC 为高的圆锥的侧面积为 S1，以 BC 为底面圆半径，AC 为高的圆锥的侧面积为S2，则 <） 7EqZcWLZNXA. S1S2 B. S1 > S2 C. S1 < S2D. S1、 S2 的大小关系不确定lzq7IGf02E二、填空题1. 扇形的弧长是12 cm，其圆心角是90°，则扇形的半径是cm ，扇形的面积是cm 2.zvpgeqJ1hk2.扇形的半径是一个圆的半径的3 倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是.3.已

14、知扇形面积是2，半径为 8cm，则扇形周长为.12cm4 在 ABC 中， AB 3， AC 4， A 90°，把 Rt ABC 绕直线 AC 旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把 Rt ABC 绕 AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2，则 S1： S2。 NrpoJac3v15. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm，要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有cm 。1nowfTG4KI6. 如图，扇形 AOB 的圆心角为60°，半径为 6cm， C， D 分别是的三等分点，则阴影部分的面积

15、是。 fjnFLDa5Zo7. 如图正方形的边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2 为半径画弧，则阴影部分面积为。 tfnNhnE6e5三、计算题1. 如图，在 Rt ABC 中， AC BC ，以 A 为圆心画弧，交 AB 于点 D，交 AC 延长线于点 F，交 BC 于点 E，若图中两个阴影部分的面积相等，求AC 与 AF 的长度之比 < 取3）。 HbmVN777sL7 / 92. 一个等边圆柱<轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是S1，另一个圆锥的侧面积是S2，如果圆锥和圆柱等底等高，求V7l4jRB8Hs3. 圆锥的底面半径是 R，母线长是3R ，M 是底面圆周上一点，从点M 拉一根绳子绕圆锥一圈，再回到 M 点，求这根绳子的最短