专题22与圆的有关解答题（共50题）-2020年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】

1、2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）专题22与圆的有关解答题（共50题）一解答题（共50小题）1（2020铜仁市）如图，ab是o的直径，c为o上一点，连接ac，ceab于点e，d是直径ab延长线上一点，且bcebcd（1）求证：cd是o的切线；（2）若ad8，bece=12，求cd的长【分析】（1）连接oc，根据圆周角定理得到acb90°，根据余角的性质得到aecb，求得abcd，根据等腰三角形的性质得到aaco，等量代换得到acobcd，求得dco90°，于是得到结论；（2）设bck，ac2k，根据相似三角形的性质即可得到结论【解析】（1）证明：连接oc，ab是o的

2、直径，acb90°，ceab，ceb90°，ecb+abcabc+cab90°，aecb，bcebcd，abcd，ocoa，aaco，acobcd，aco+bcobco+bcd90°，dco90°，cd是o的切线；（2）解：abce，tana=bcac=tanbce=bece=12，设bck，ac2k，dd，abcd，acdcbd，bcac=cdad=12，ad8，cd42（2020温州）如图，c，d为o上两点，且在直径ab两侧，连结cd交ab于点e，g是ac上一点，adcg（1）求证：12（2）点c关于dg的对称点为f，连结cf当点f落在直径

3、ab上时，cf10，tan1=25，求o的半径【分析】（1）根据圆周角定理和ab为o的直径，即可证明12；（2）连接df，根据垂径定理可得fdfc10，再根据对称性可得dcdf，进而可得de的长，再根据锐角三角函数即可求出o的半径【解析】（1）adcg，ac=ad，ab为o的直径，bc=bd，12；（2）如图，连接df，ac=ad，ab是o的直径，abcd，cede，fdfc10，点c，f关于dg对称，dcdf10，de5，tan1=25，ebdetan12，12，tan2=25，ae=detan2=252，abae+eb=292，o的半径为2943（2020衢州）如图，abc内接于o，ab为

4、o的直径，ab10，ac6，连结oc，弦ad分别交oc，bc于点e，f，其中点e是ad的中点（1）求证：cadcba（2）求oe的长【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可（2）证明aecbca，推出ceac=acab，求出ec即可解决问题【解析】（1）证明：aede，oc是半径，ac=cd，cadcba（2）解：ab是直径，acb90°，aede，ocad，aec90°，aecacb，aecbca，ceac=acab，ce6=610，ce3.6，oc=12ab5，oeocec53.61.44（2020嘉兴）已知：如图，在oab中，oaob，o与ab相切于点c求

5、证：acbc小明同学的证明过程如下框：证明：连结oc，oaob，ab，又ococ，oacobc，acbc小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“”；若错误，请写出你的证明过程【分析】连结oc，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论【解析】证法错误；证明：连结oc，o与ab相切于点c，ocab，oaob，acbc5（2020湖州）如图，已知abc是o的内接三角形，ad是o的直径，连结bd，bc平分abd（1）求证：cadabc；（2）若ad6，求cd的长【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得dbcabccad；（2）由圆周角定理可得cd=ac，由弧长公式可求解【解析】（1）bc平分

6、abd，dbcabc，caddbc，cadabc；（2）cadabc，cd=ac，ad是o的直径，ad6，cd的长=12×12××6=326（2020遵义）如图，ab是o的直径，点c是o上一点，cab的平分线ad交bc于点d，过点d作debc交ac的延长线于点e（1）求证：de是o的切线；（2）过点d作dfab于点f，连接bd若of1，bf2，求bd的长度【分析】（1）连接od，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出adodae，从而odae，由debc得e90°，由两直线平行，同旁内角互补得出ode90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由

7、直径所对的圆周角是直角得出adb90°，再由of1，bf2得出ob的值，进而得出af和ba的值，然后证明dbfabd，由相似三角形的性质得比例式，从而求得bd2的值，求算术平方根即可得出bd的值【解析】（1）连接od，如图：oaod，oadado，ad平分cab，daeoad，adodae，odae，debc，e90°，ode180°e90°，de是o的切线；（2）ab是o的直径，adb90°，of1，bf2，ob3，af4，ba6dfab，dfb90°，adbdfb，又dbfabd，dbfabd，bdba=bfbd，bd2bfba2

8、×612bd237（2019陕西）如图，o的半径oa6，过点a作o的切线ap，且ap8，连接po并延长，与o交于点b、d，过点b作bcoa，并与o交于点c，连接ac、cd（1）求证：dcap；（2）求ac的长【分析】（1）根据切线的性质得到oap90°，根据圆周角定理得到bcd90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论【解析】（1）证明：ap是o的切线，oap90°，bd是o的直径，bcd90°，oacb，aopdbc，bdcapo，dcap；（2）解：aobc，odob，延长ao

9、交dc于点e，则aedc，oe=12bc，ce=12cd，在rtaop中，op=62+82=10，由（1）知，aopcbd，dbop=bcoa=dcap，即1210=bc6=dc8，bc=365，dc=485，oe=185，ce=245，在rtaec中，ac=ae2+ce2=(6+185)2+(245)2=24558（2020聊城）如图，在abc中，abbc，以abc的边ab为直径作o，交ac于点d，过点d作debc，垂足为点e（1）试证明de是o的切线；（2）若o的半径为5，ac610，求此时de的长【分析】（1）连接od、bd，求出bdac，瑞成addc，根据三角形的中位线得出odbc，推

10、出odde，根据切线的判定推出即可；（2）根据题意求得ad，根据勾股定理求得bd，然后证得cdeabd，根据相似三角形的性质即可求得de【解析】（1）证明：连接od、bd，ab是o直径，adb90°，bdac，abbc，d为ac中点，oaob，odbc，debc，deod，od为半径，de是o的切线；（2）由（1）知bd是ac的中线，adcd=12ac=310，o的半径为5，ab6，bd=ab2-ad2=102-(310)2=10，abac，ac，adbced90°，cdeabd，cdab=debd，即31010=de10，de39（2020上海）如图，abc中，abac，

11、o是abc的外接圆，bo的延长线交边ac于点d（1）求证：bac2abd；（2）当bcd是等腰三角形时，求bcd的大小；（3）当ad2，cd3时，求边bc的长【分析】（1）连接oa利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可（2）分三种情形：若bdcb，则cbdcabd+bac3abd若cdcb，则cbdcdb3abd若dbdc，则d与a重合，这种情形不存在分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可（3）如图3中，作aebc交bd的延长线于e则aebc=addc=23，推出aooh=aebh=43，设oboa4a，oh3a，根据bh2ab2ah2ob2oh2，构建方程求出a即可解决问题【解析】（

12、1）证明：连接oaaabac，ab=ac，oabc，baocao，oaob，abdbao，bac2bad（2）解：如图2中，延长ao交bc于h若bdcb，则cbdcabd+bac3abd，abac，abcc，dbc2abd，dbc+c+bdc180°，8abd180°，c3abd67.5°若cdcb，则cbdcdb3abd，c4abd，dbc+c+cdb180°，10abd180°，bcd4abd72°若dbdc，则d与a重合，这种情形不存在综上所述，c的值为67.5°或72°（3）如图3中，作aebc交bd的延长

13、线于e则aebc=addc=23，aooh=aebh=43，设oboa4a，oh3a，bh2ab2ah2ob2oh2，2549a216a29a2，a2=2556，bh=524，bc2bh=52210（2020金华）如图，ab的半径oa2，ocab于点c，aoc60°（1）求弦ab的长（2）求ab的长【分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得ac的长，然后即可得到ab的长；（2）根据aoc60°，可以得到aob的度数，然后根据弧长公式计算即可【解析】（1）ab的半径oa2，ocab于点c，aoc60°，acoasin60°2×32=3，ab2ac

14、23；（2）ocab，aoc60°，aob120°，oa2，ab的长是：120×2180=4311（2020齐齐哈尔）如图，ab为o的直径，c、d为o上的两个点，ac=cd=db，连接ad，过点d作deac交ac的延长线于点e（1）求证：de是o的切线（2）若直径ab6，求ad的长【分析】（1）连接od，根据已知条件得到bod=13×180°60°，根据等腰三角形的性质得到adodab30°，得到eda60°，求得odde，于是得到结论；（2）连接bd，根据圆周角定理得到adb90°，解直角三角形即可得到

15、结论【解析】（1）证明：连接od，ac=cd=db，bod=13×180°60°，cd=db，eaddab=12bod30°，oaod，adodab30°，deac，e90°，ead+eda90°，eda60°，edoeda+ado90°，odde，de是o的切线；（2）解：连接bd，ab为o的直径，adb90°，dab30°，ab6，bd=12ab3，ad=62-32=3312（2020泸州）如图，ab是o的直径，点d在o上，ad的延长线与过点b的切线交于点c，e为线段ad上的点，过

16、点e的弦fgab于点h（1）求证：cagd；（2）已知bc6cd4，且ce2ae，求ef的长【分析】（1）连接bd，根据圆周角定理得到adb90°，根据切线的性质得到abc90°，得到cabd，根据圆周角定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论【解析】（1）证明：连接bd，ab是o的直径，adb90°，dab+dba90°，bc是o的切线，abc90°，c+cab90°，cabd，agdabd，agdc；（2）解：bdcabc90°，cc，abcbdc，bcac=cdbc，6ac=46，ac

17、9，ab=ac2-bc2=35，ce2ae，ae3，ce6，fhab，fhbc，aheabc，ahab=ehbc=aeac，ah35=eh6=39，ah=5，eh2，连接af，bf，ab是o的直径，afb90°，aeh+bfhafh+fah90°，fahbfh，afhfbh，fhah=bhfh，fh5=25fh，fh=10，ef=10-213（2020河南）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具三分角器图1是它的示意图，其中ab与半圆o的直径bc在同

18、一直线上，且ab的长度与半圆的半径相等；db与ac垂直于点b，db足够长使用方法如图2所示，若要把men三等分，只需适当放置三分角器，使db经过men的顶点e，点a落在边em上，半圆o与另一边en恰好相切，切点为f，则eb，eo就把men三等分了为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程已知：如图2，点a，b，o，c在同一直线上，ebac，垂足为点b，abob，en切半圆o于f求证：eb，eo就把men三等分【分析】根据垂直的定义得到abeobe90°，根据全等三角形的性质得到12，根据切线的性质得到23，于是得到结

19、论【解析】已知：如图2，点a，b，o，c在同一直线上，ebac，垂足为点b，abob，en切半圆o于f求证：eb，eo就把men三等分，证明：ebac，abeobe90°，abob，bebe，abeobe（sas），12，beob，be是e的切线，en切半圆o于f，23，123，eb，eo就把men三等分故答案为：abob，en切半圆o于f；eb，eo就把men三等分14（2020安徽）如图，ab是半圆o的直径，c，d是半圆o上不同于a，b的两点，adbc，ac与bd相交于点fbe是半圆o所在圆的切线，与ac的延长线相交于点e（1）求证：cbadab；（2）若bebf，求证：ac平分

20、dab【分析】（1）根据圆周角定理得到acbadb90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到ebfe，根据切线的性质得到abe90°，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论【解析】（1）证明：ab是半圆o的直径，acbadb90°，在rtcba与rtdab中，bc=adba=ab，rtcbartdab（hl）；（2）解：bebf，由（1）知bcef，ebfe，be是半圆o所在圆的切线，abe90°，e+bae90°，由（1）知d90°，daf+afd90°，afdbfe，afde，

21、daf90°afd，baf90°e，dafbaf，ac平分dab15（2020河南）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点d是bc上一动点，线段bc8cm，点a是线段bc的中点，过点c作cfbd，交da的延长线于点f当dcf为等腰三角形时，求线段bd的长度小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点d在bc上的不同位置，画出相应的图形，测量线段bd，cd，fd的长度，得到下表的几组对应值 bd/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0cd/cm8.07.77.26.65.9a3

22、.92.40fd/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0操作中发现：“当点d为bc的中点时，bd5.0cm”则上表中a的值是5；“线段cf的长度无需测量即可得到”请简要说明理由（2）将线段bd的长度作为自变量x，cd和fd的长度都是x的函数，分别记为ycd和yfd，并在平面直角坐标系xoy中画出了函数yfd的图象，如图所示请在同一坐标系中画出函数ycd的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当dcf为等腰三角形时，线段bd长度的近似值（结果保留一位小数）【分析】（1）由bd=cd可求bdcda5cm；由“aas”可证badcaf，可得bdcf

23、，即可求解；（2）由题意可画出函数图象；（3）结合图象可求解【解析】（1）点d为bc的中点，bd=cd，bdcda5cm，故答案为：5；（2）点a是线段bc的中点，abac，cfbd，fbda，又badcaf，badcaf（aas），bdcf，线段cf的长度无需测量即可得到；（3）由题意可得：（4）由题意画出函数ycf的图象；由图象可得：bd3.8cm或5cm或6.2cm时，dcf为等腰三角形16（2020德州）如图，点c在以ab为直径的o上，点d是半圆ab的中点，连接ac，bc，ad，bd过点d作dhab交cb的延长线于点h（1）求证：直线dh是o的切线；（2）若ab10，bc6，求ad，b

24、h的长【分析】（1）连接od，根据圆周角定理得到aod=12aob90°，根据平行线的性质得到odh90°，于是得到结论；（2）连接cd，根据圆周角定理得到adbacb90°，推出abd是等腰直角三角形，得到ab10，解直角三角形得到ac=102-62=8，求得caddbh，根据平行线的性质得到bdhobd45°，根据相似三角形的性质即可得到结论【解析】（1）证明：连接od，ab为o的直径，点d是半圆ab的中点，aod=12aob90°，dhab，odh90°，oddh，直线dh是o的切线；（2）解：连接cd，ab为o的直径，adba

25、cb90°，点d是半圆ab的中点，ad=db，addb，abd是等腰直角三角形，ab10，ad10sinabd10sin45°10×22=52，ab10，bc6，ac=102-62=8，四边形abcd是圆内接四边形，cad+cbd180°，dbh+cbd180°，caddbh，由（1）知aod90°，obd45°，acd45°，dhab，bdhobd45°，acdbdh，acdbdh，acbd=adbh，852=52bh，解得：bh=25417（2020长沙）如图，ab为o的直径，c为o上一点，ad与过c

26、点的直线互相垂直，垂足为d，ac平分dab（1）求证：dc为o的切线（2）若ad3，dc=3，求o的半径【分析】（1）如图，连接oc，根据已知条件可以证明ocadac，得adoc，由addc，得ocdc，进而可得dc为o的切线；（2）过点o作oeac于点e，根据rtadc中，ad3，dc=3，可得dac30°，再根据垂径定理可得ae的长，进而可得o的半径【解析】（1）如图，连接oc，oaoc，oacoca，ac平分dab，dacoac，ocadac，adoc，addc，ocdc，又oc是o的半径，dc为o的切线；（2）过点o作oeac于点e，在rtadc中，ad3，dc=3，tand

27、ac=dcad=33，dac30°，ac2dc23，oeac，根据垂径定理，得aeec=12ac=3，eaodac30°，oa=aecos30°=2，o的半径为218（2020襄阳）如图，ab是o的直径，e，c是o上两点，且ec=bc，连接ae，ac过点c作cdae交ae的延长线于点d（1）判定直线cd与o的位置关系，并说明理由；（2）若ab4，cd=3，求图中阴影部分的面积【分析】（1）连接oc，根据ec=bc，求得cadbac，根据等腰三角形的性质得到bacaco，推出adoc，根据平行线的性质得到occd，于是得到cd是o的切线；（2）连接oe，连接be交o

28、c于f，根据垂径定理得到ocbe，bfef，由圆周角定理得到aeb90°，根据矩形的性质得到efcd=3，根据勾股定理得到ae=ab2-be2=42-(23)2=2，求得aoe60°，连接ce，推出ceab，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论【解析】（1）证明：连接oc，ec=bc，cadbac，oaoc，bacaco，cadaco，adoc，adcd，occd，cd是o的切线；（2）解：连接oe，连接be交oc于f，ec=bc，ocbe，bfef，ab是o的直径，aeb90°，feddefc90°，四边形defc是矩形，efcd=3，be23，ae

29、=ab2-be2=42-(23)2=2，ae=12ab，abe30°，aoe60°，boe120°，ec=bc，coeboc60°，连接ce，oeoc，coe是等边三角形，ecoboc60°，ceab，sacescoe，ocd90°，oce60°，dce30°，de=33cd1，ad3，图中阴影部分的面积sacds扇形coe=12×3×3-60×22360=332-2319（2020衡阳）如图，在abc中，c90°，ad平分bac交bc于点d，过点a和点d的圆，圆心o在线段a

30、b上，o交ab于点e，交ac于点f（1）判断bc与o的位置关系，并说明理由；（2）若ad8，ae10，求bd的长【分析】（1）连接od，根据平行线判定推出odac，推出odbc，根据切线的判定推出即可；（2）连接de，根据圆周角定理得到ade90°，根据相似三角形的性质得到ac=325，根据勾股定理得到cd=ad2-ac2=82+(325)2=8415，根据相似三角形的性质即可得到结论【解析】（1）bc与o相切，理由：连接od，oaod，oadoda，ad平分bac，badcad，odacad，odac，c90°，odc90°，odbc，od为半径，bc是o切线；

31、（2）连接de，ae是o的直径，ade90°，c90°，adec，eaddac，adeacd，aead=adac，108=8ac，ac=325，cd=ad2-ac2=82-(325)2=245，odbc，acbc，obdabc，odac=bdbc，5325=bdbd+245，bd=120720（2020淮安）如图，ab是o的弦，c是o外一点，ocoa，co交ab于点p，交o于点d，且cpcb（1）判断直线bc与o的位置关系，并说明理由；（2）若a30°，op1，求图中阴影部分的面积【分析】（1）根据等边对等角得cpbcbp，根据垂直的定义得obc90°，

32、即obcb，则cb与o相切；（2）根据三角形的内角和定理得到apo60°，推出pbd是等边三角形，得到pcbcbp60°，求得bc1，根据勾股定理得到ob=oc2-bc2=3，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论【解析】（1）cb与o相切，理由：连接ob，oaob，oaboba，cpcb，cpbcbp，在rtaop中，a+apo90°，oba+cbp90°， 即：obc90°，obcb，又ob是半径，cb与o相切；（2）a30°，aop90°，apo60°，bpdapo60°，pccb，pbd是等边三角

33、形，pcbcbp60°，obppob30°，oppbpc1，bc1，ob=oc2-bc2=3，图中阴影部分的面积sobcs扇形obd=12×1×3-30×(3)2360=32-421（2020南京）如图，在abc中，acbc，d是ab上一点，o经过点a、c、d，交bc于点e，过点d作dfbc，交o于点f求证：（1）四边形dbcf是平行四边形；（2）afef【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出bacb，根据平行线的性质得出adfb，求出adfcfd，根据平行线的判定得出bdcf，根据平行四边形的判定得出即可；（2）求出aefb，根据圆内接四边形

34、的性质得出ecf+eaf180°，根据平行线的性质得出ecf+b180°，求出aefeaf，根据等腰三角形的判定得出即可【解析】证明：（1）acbc，bacb，dfbc，adfb，baccfd，adfcfd，bdcf，dfbc，四边形dbcf是平行四边形；（2）连接ae，adfb，adfaef，aefb，四边形aecf是o的内接四边形，ecf+eaf180°，bdcf，ecf+b180°，eafb，aefeaf，aeef22（2020辽阳）如图，在平行四边形abcd中，ac是对角线，cab90°，以点a为圆心，以ab的长为半径作a，交bc边于点

35、e，交ac于点f，连接de（1）求证：de与a相切；（2）若abc60°，ab4，求阴影部分的面积【分析】（1）证明：连接ae，根据平行四边形的性质得到adbc，adbc，求得daeaeb，根据全等三角形的性质得到deacab，得到deae，于是得到结论；（2）根据已知条件得到abe是等边三角形，求得aebe，eab60°，得到caeacb，得到cebe，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论【解析】（1）证明：连接ae，四边形abcd是平行四边形，adbc，adbc，daeaeb，aeab，aebabc，daeabc，aedbac（aas），deacab，cab90

36、76;，dea90°，deae，ae是a的半径，de与a相切；（2）解：abc60°，abae4，abe是等边三角形，aebe，eab60°，cab90°，cae90°eab90°60°30°，acb90°b90°60°30°，caeacb，aece，cebe，sabc=12abac=12×4×43=83，sace=12sabc=12×83=43，cae30°，ae4，s扇形aef=30×ae2360=30×4236

37、0=43，s阴影saces扇形aef43-4323（2020菏泽）如图，在abc中，abac，以ab为直径的o与bc相交于点d，过点d作o的切线交ac于点e（1）求证：deac；（2）若o的半径为5，bc16，求de的长【分析】（1）连接ad、od先证明adb90°，edo90°，从而可证明edaodb，由odob可得到edaobd，由等腰三角形的性质可知cadbad，故此ead+eda90°，由三角形的内角和定理可知dea90°，于是可得到deac（2）由等腰三角形的性质求出bdcd8，由勾股定理求出ad的长，根据三角形的面积得出答案【解析】（1）证明

38、：连接ad、odab是圆o的直径，adb90°ado+odb90°de是圆o的切线，oddeeda+ado90°edaodbodob，odbobdedaobdacab，adbc，cadbaddba+dab90°，ead+eda90°dea90°deac（2）解：adb90°，abac，bdcd，o的半径为5，bc16，ac10，cd8，ad=ac2-cd2=102-82=6，sadc=12addc=12acde，de=addcac=6×810=24524（2020天津）在o中，弦cd与直径ab相交于点p，abc63

39、°（）如图，若apc100°，求bad和cdb的大小；（）如图，若cdab，过点d作o的切线，与ab的延长线相交于点e，求e的大小【分析】（1）由三角形的外角性质得出c37°，由圆周角定理得badc37°，adcb63°，adb90°，即可得出答案；（2）连接od，求出pcb27°，由切线的性质得出ode90°，由圆周角定理得出bod2pcb54°，即可得出答案【解析】（1）apc是pbc的一个外角，capcabc100°63°37°，由圆周角定理得：badc37°

40、，adcb63°，ab是o的直径，adb90°，cdbadbadc90°63°27°；（2）连接od，如图所示：cdab，cpb90°，pcb90°abc90°63°27°，de是o的切线，deod，ode90°，bod2pcb54°，e90°bod90°54°36°25（2020凉山州）如图，o的半径为r，其内接锐角三角形abc中，a、b、c所对的边分别是a、b、c（1）求证：asina=bsinb=csinc=2r；（2）若a60&

41、#176;，c45°，bc43，利用（1）的结论求ab的长和sinb的值【分析】（1）证明：作直径be，连接ce，如图所示：则bce90°，ea，根据三角函数的定义得到sinasine=bcbe=a2r，求得asina=2r，同理：bsinb=2r，csinc=2r，于是得到结论；（2）由（1）得：absinc=bcsina，得到ab=43×2232=42，2r=4332=8，过b作bhac于h，解直角三角形得到acah+ch2（2+6），根据三角函数的定义即可得到结论【解析】（1）证明：作直径be，连接ce，如图所示：则bce90°，ea，sinasi

42、ne=bcbe=a2r，asina=2r，同理：bsinb=2r，csinc=2r，asina=bsinb=csinc=2r；（2）解：由（1）得：absinc=bcsina，即absin45°=43sin60°=2r，ab=43×2232=42，2r=4332=8，过b作bhac于h，ahbbhc90°，ahabcos60°42×12=22，ch=22bc26，acah+ch2（2+6），sinb=ac2r=2(2+6)8=2+6426（2020深圳）如图，ab为o的直径，点c在o上，ad与过点c的切线互相垂直，垂足为d连接bc并延

43、长，交ad的延长线于点e（1）求证：aeab；（2）若ab10，bc6，求cd的长【分析】（1）证明：连接ac、oc，如图，根据切线的性质得到occd，则可判断ocad，所以ocbe，然后证明be，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到acb90°，则利用勾股定理可计算出ac8，再根据等腰三角形的性质得到cebc6，然后利用面积法求出cd的长【解析】（1）证明：连接ac、oc，如图，cd为切线，occd，cdad，ocad，ocbe，oboc，ocbb，be，aeab；（2）解：ab为直径，acb90°，ac=102-62=8，abae10，acbe，cebc6，12cda

44、e=12acce，cd=6×810=24527（2020陕西）如图，abc是o的内接三角形，bac75°，abc45°连接ao并延长，交o于点d，连接bd过点c作o的切线，与ba的延长线相交于点e（1）求证：adec；（2）若ab12，求线段ec的长【分析】（1）连接oc，由切线的性质可得oce90°，由圆周角定理可得aoc90°，可得结论；（2）过点a作afec交ec于f，由锐角三角函数可求ad83，可证四边形oafc是正方形，可得cfaf43，由锐角三角函数可求ef12，即可求解【解析】证明：（1）连接oc，ce与o相切于点c，oce90&

45、#176;，abc45°，aoc90°，aoc+oce180°，adec（2）如图，过点a作afec交ec于f，bac75°，abc45°，acb60°，dacb60°，sinadb=abad=32，ad=12×23=83，oaoc43，afec，oce90°，aoc90°，四边形oafc是矩形，又oaoc，四边形oafc是正方形，cfaf43，bad90°d30°，eaf180°90°30°60°，taneaf=efaf=3，ef=3

46、af12，cecf+ef12+4328（2020天水）如图，在abc中，c90°，ad平分bac交bc于点d，点o在ab上，以点o为圆心，oa为半径的圆恰好经过点d，分别交ac、ab于点e、f（1）试判断直线bc与o的位置关系，并说明理由；（2）若bd23，ab6，求阴影部分的面积（结果保留）【分析】（1）连接od，求出odac，求出odbc，根据切线的判定得出即可；（2）根据勾股定理求出od2，求出ob4，得出b30°，再分别求出odb和扇形dof的面积即可【解析】（1）证明：连接od，如图：oaod，oadoda，ad平分cab，oadcad，cadoda，acod，o

47、dbc90°，即bcod，又od为o的半径，直线bc是o的切线；（2）解：设oaodr，则ob6r，在rtodb中，由勾股定理得：od2+bd2ob2，r2+（23）2（6r）2，解得：r2，ob4，od=ob2-bd2=42-(23)2=2，od=12ob，b30°，dob180°bodb60°，阴影部分的面积ssodbs扇形dof=12×2 3×2-60×22360=23-2329（2020内江）如图，ab是o的直径，c是o上一点，odbc于点d，过点c作o的切线，交od的延长线于点e，连结be（1）求证：be是o的切线

48、；（2）设oe交o于点f，若df2，bc43，求线段ef的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积【分析】（1）连接oc，如图，根据垂径定理由odbc得到cdbd，则oe为bc的垂直平分线，所以ebec，证明oceobe（sss），得出obeoce90°，根据切线的判定定理得be与o相切；（2）设o的半径为x，则odx2，obx，由勾股定理得出（x2）2+（23）2x2，解得x4，求出oe的长，则可求出ef的长；（3）由扇形的面积公式可得出答案【解析】（1）证明：连接oc，如图，ce为切线，occe，oce90°，odbc，cdbd，即od垂直平分bc，eceb，在oc

49、e和obe中oc=oboe=oeec=eb，oceobe（sss），obeoce90°，obbe，be与o相切；（2）解：设o的半径为x，则odofdfx2，obx，在rtobd中，bd=12bc23，od2+bd2ob2，（x2）2+（23）2x2，解得x4，od2，ob4，obd30°，bod60°，oe2ob8，efoeof844（3）boe60°，obe90°，在rtobe中，be=3ob43，s阴影s四边形obecs扇形obc2×12×4×43-120×42360，163-16330（2020武

50、威）如图，o是abc的外接圆，其切线ae与直径bd的延长线相交于点e，且aeab（1）求acb的度数；（2）若de2，求o的半径【分析】（1）连接oa，先由切线的性质得oae的度数，再等腰三角形的性质得oababee，再由三角形内角和定理求得oab，进而得aob，最后由圆周角定理得acb的度数；（2）设o的半径为r，再根据含30°解的直角三角形的性质列出r的方程求解便可【解析】（1）连接oa，ae是o的切线，oae90°，abae，abeaeb，oaob，abooab，oababee，oab+abe+e+oae180°，oababee30°，aob180°oababo120°，acb=12aob60°；（2）设o的半径为r，则oaodr，oer+2，oae90°，e30°，2oaoe，即2rr+2，r2，故o的半径为231（2020福建）如图，ab与o相切于点b，