《初中数学总复习资料》中考数学专题复习全攻略：第三节等腰、等边及直角三角形

1、第三节 等腰、等边及直角三角形知识点一：等腰和等边三角形1.等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（1）性质等边对等角：两腰相等，底角相等，即abac bc；三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合; 对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线ad是对称轴.（2）判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；等角对等边：即若bc，则abc是等腰三角形.注意：1.实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：1）、“角平分线+平行线”构造等腰三角形。 2）、“角平分线+垂线”构造等腰三角形。3）、用“垂直平分线”构造等腰三角形；

2、 4）、用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。2.当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 变式练习1：如若等腰三角形abc的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.3.三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 变式练习2：如右图，已知adbc,d为bc的中点，则三角形的形状是等腰三角形.变式练习3：一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为()a. 17 b. 15 c. 13 d. 13或17【解析】a当等腰三角形的腰为3，底为7时，337不能构成三角形；当

3、等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为37717，故这个等腰三角形的周长是17.变式练习4：如图，o为数轴原点，a，b两点分别对应3，3，作腰长为4的等腰abc，连接oc，以o为圆心，co长为半径画弧交数轴于点m，则点m对应的实数为 _变式练习5： 一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为( c )a12 b16 c20 d16或202.等边三角形（1）性质边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即abbcac，bacbc60°；对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定定义：三边都相等的三角形是等边三角形； 三个

4、角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即bd=1/2ab.任一内角 为60°的等腰三角形是等边三角形.即若abac，且b60°，则abc是等边三角形.变式练习1：abc中，b=60°，ab=ac，bc=3，则abc的周长为9.变式练习2： 在等边abc中，点d，e分别在边bc，ac上，若cd2，过点d作deab，过点e作efde，交bc的延长线于点f，求

5、ef的长解：abc是等边三角形，bacb60°，deab，edcb60°，edc是等边三角形，dedc2，在rtdef，def90°，de2，df2de4，ef2.变式练习3： 如图，abc是等边三角形，bd平分abc，点e在bc的延长线上，且ce1，e30°，则bc_2_.知识点二 ：角平分线和垂直平分线1.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等即若1 2，paoa，pbob，则papb.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的 两端点距离相等即若op垂

6、直且平分ab，则papb.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 变式练习：如图，abc中，c=90°，a=30°，ab的垂直平分线交ac于d，交ab于e，cd=2，则ac=6.知识点三：直角三角形的判定与性质1.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即ab90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若b30°则acab；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半即若cd是中线，则cdab.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方即 a2b2c2 .2.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角

7、三角形.即若c90°，则abc是rt；注意：（1）直角三角形的面积s=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论. （3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形即若adbdcd，则 abc是rt(3) 勾股定理的逆定理：若a2b2 c2， 则abc是rt.3.直角三角形相似判定定理1).斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。2).直角三角

8、形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似：射影定理4.证明垂直的方法： （1）证邻补角相等； （2）证明已知直角三角形全等；（3）利用等腰三角形三线合一的性质； （4）勾股定理及其逆定理；变式练习1： 在abc中，ab15，bc14，ac13，求abc的面积某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程 解：如图，在abc中，ab15，bc14，ac13，设bdx，则cd14x，由勾股定理得：ad2ab2bd2152x2，ad2ac2cd2132(14x)2，故152x2132(14x)2，解得：x9.ad12. sabcbc·ad×14×1284.变式练习2：如图，ab6，o是ab的中点，直线l经过点o，1120°