吉林市2024-2025学年度高三第一次模拟测试 （一模）数学试卷（含答案解析）

后附原卷扫描版保密·启用前后附原卷扫描版吉林市普通中学2024-2025学年度高中毕业年级第一次模拟测试数学试题说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.已知复数z=i+1,则|z|=A.0B.1c.2D.22.“cosα<0”是“角α为第二象限角”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知.A={-2,-1,0,1,2},B={x∈N|x²∈A},则A∩B=A.{1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}4.已知向量a=(t+1,-1),b=(2,1),则A.若ab,则t=-12B.若aC.若a⊥b,则t=-32D.若5.在ΔABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=2B,2a=3b,则cosB=高三数学试题第1页(共6页)A.34B.C.236.已知等差数列{log₃aₙ}的公差为1,则aA.1B.3C.9D.277.设样本数据x₁,x₂,…,x₂₀₂₄的平均数为x，标准差为s，若样本数据4x1+1,4x2+1,⋯,4x₂₀₂₄+1A.1B.C.4D.48.已知函数fx=2sinωx+ω0,0<<π2)的部分图象如图所示，若函数f(A.215C.25二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列不等式成立的是A.若ac²>bc²,则a>bB.若a>b,则(ac²>bc²C.若ac²≥bc²,则a≥bD.若a≥b,则ac²≥bc²高三数学试题第2页(共6页)10.如图,在△ABC中,点D为BC的中点,点E为AC上靠近点A的三等分点,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,点G为ADAB.AE是AB在C.D11.已知函数fxA.f(x)是周期函数B.-1<f(x)<1C.f(x)在(0,π)上恰有1个极值点D.关于x的方程fx三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中14题的第一空填对得2分，第二个空填对得3分.12.中国成功搭建了国际首个通信与智能融合的6G外场试验网，并形成贯通理论、技术、标准和应用的全产业链创新环境.某科研院在研发6G项目时遇到了一项技术难题，由甲、乙两个团队分别独立攻关.已知甲、乙团队攻克该项技术难题的概率分别为0.8和0.7，则该科研院攻克这项技术难题的概率为.13.已知集合A={x|x=2n,n∈N·},B={x|x=3",n∈N·},将A∪B中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{an}，则数列{an}的前20项和为.14.已知函数fx=2x-3x-2-ex,gx=2x-3x-(参考数据：ln2≈0.7,ln3≈1.1,ln7≈1.95,ln17≈2.8.)高三数学试题第3页(共6页)四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)在新时代改革开放的浪潮中，吉林省践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”的发展理念，绘就了“一山一水一通道”的四季旅游璀璨画卷，形成了“一山两湖三江四季”的旅游IP矩阵.吉林某校为促进学生对家乡山水人文的了解，组织学生参加知识竞赛，比赛分为初赛和决赛，根据初赛成绩，仅有30%的学生能进入决赛.现从参加初赛的学生中随机抽取100名，记录并将成绩分成以下6组：[40，50)，[50，60)，[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如下图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值，并由此估计进入决赛学生的初赛成绩最低分；(Ⅱ)从样本成绩在[60，90)内的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中任意抽取2人访谈，求至多有一人成绩在[60，70)内的概率.高三数学试题第4页(共6页)16.(本小题满分15分)已知幂函数fx=xαα(Ⅰ)求关于x的不等式.f2(Ⅱ)若存在x使得f(x),f(tx),f(lnx)成等比数列，求正实数t的取值范围.17.(本小题满分15分)已知等差数列an的前n项和为Sn,(Ⅰ)求数列an(Ⅱ)求数列-1ⁿ⁺¹Sn的前(Ⅲ)求数列an+2Sn高三数学试题第5页(共6页)18.(本小题满分17分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(Ⅰ)若C=π4,b=(Ⅱ)求证:2(Ⅲ)当tanA-119.(本小题满分17分)已知函数f(Ⅰ)当a=0时,若f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=(Ⅱ)(i)证明:曲线.y=(ii)若f(x)>1当且仅当x>0,求a的取值范围.双击打开原卷扫描版命题、校对：高三数学核心组高三数学试题第6页(共6页)吉林地区普通高中2024—2025学年度高三年级第一次模拟考试数学学科参考答案一、单选题：本大题共8题，每小题5分，共40分.12345678CBBDADCB二、多选题：本大题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.91011ADBCBCD10.D教学提示(法一)平面向量基本定理+三点共线BG设A,G,D三点共线,所以43λ=1即因为(法二)平面向量基本定理+三点共线设BGCGCG由对应项系数相等求出λ，μ.(法三)坐标法(法四)过点D作DF平行于BE,交AC于点F,易得DF=GE(法五)由梅涅劳斯定理得11⋅BG11.教学提示B.因为eˣ≥x+1≥x+|sinx|,所以eˣ-C.f'x=cosx-sinxex-xcosx+sinxex-x2,令D.关于x的方程fx=13的实数解的个数可转化为hx=eˣ-x图象与m参考h1故当x≥0时，h(x)与m(x)的图象恰有两个公共点，当x<0时,h(x)与m(x)的图象无公共点.综上，关于x的方程fx三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中14题的第一空填对得2分，第二个空填对得3分.12.0.9413.34514.2(2分),6(3分)14.教学提示x1,ex1)与点因为点(所以2+(1x28.5<利用零点存在性定理并结合参考数据可得又6.5-16四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.【解析】(1)因为(0.010+0.025+0.030+a+0.010+0.005)×10=1所以α=0.020.-------------------------------------2分(注：a=0.02本次不扣分，教学中注意强调格式的规范性.)根据初赛成绩，仅有30%的学生能进入决赛，则估计进入决赛学生的初赛成绩最低分为初赛成绩的第70百分位数.因为(0.010+0.025+0.030)×10=0.65<0.70(0.010+0.025+0.030+0.020)×10=0.85>0.70所以第70百分位数在区间[70，80)内.(法一)设第70百分位数为x，则0.65+(x-70)×0.020=0.70,所以×=72.5.所以估计进入决赛学生的初赛成绩最低分为72.5分.……………6分(法二)因为70所以估计进入决赛学生的初赛成绩最低分为72.5分.-------------------6分(Ⅱ)由题知,成绩在区间[60,70),[70,80),[80,90)内学生人数的频率比为3:2:1,则在区间[60,70)内抽取3人,记为‘a在区间[70,80)内抽取2人,记为b₁,b₂;在区间[80,90)内抽取1人,记为C.从这6人中抽取2人访谈，试验的样本空间Ω={a₁a₂,a₁a₃,a₁b₁,a₁b₂,a₁C,a₂a₃,a₂b₁,a₂b₂,a₂c,a₃b₁,a₃b₂,a₃c,b₁b₂,b₁c,b₂c}其中共有15个样本点.----------------------------10分设事件A=“至多有一人成绩在[60，70)内”，(法一)事件A={a₁b₁,a₁b₂,a₁c,a₂b₁,a₂b₂,a₂c,a₃b₁,a₃b₂,a₃c,b₁b₂,b₁c,b₂c},则n(A)=12,所以P所以至多有一人成绩在[60，70)内的概率为45…………………13(法二)事件A=a1a1a1a3所以至多有一人成绩在[60，70)内的概率为.……………13分4(注：利用组合数求试验样本空间中的样本点个数，不列举也给分.)16.【解析】(1)由f9=9ᵃ=3得α=12故fx=x.----------------------2分由题2x-1<x,故(注：忽略定义域扣1分.)(Ⅱ)由题f2tx即关于x的方程t=lnxx在(令gx=lnxxx1)则当x>1时,y=t则g令g'x=0,令g'x<0,令g'x>0,得1故g(x)在(1,e]上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.…………………--------12分当x=e时,g(x)取得极大值g又g(1)=0,当x→+∞时,g(x)→0,所以正实数t的取值范围是…………………~--15分((0,18(注：1.学生需要掌握基本初等函数解析式；2.第二问x的范围有误，扣2分；3.解答过程第二问需描述函数g(x)图象的变化趋势，未说明但答对，本次不扣分.具体答题过程可参考人教A版选择性必修二P95-例7.)17.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,则2a1+4d=所以数列{an}的通项公式为(an=2()由(Ⅰ)可知Sn=n则-所以H=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+…+(2n-1-2n)(2n-1+2n)-----------8分=-n2n(Ⅲ由(Ⅰ)(□得an+2所以Γn=1(注：或表述为Tn=18.【解析】(IO在△ABC中,由C=π4得tanC=1,所以tanA=3tanC因为anB所以B为锐角，从而sin同理可得inA=又b=tanc=所以S=12(注)也可由正弦定理，得a=所以S=12(Ⅲ(法一)因为tanA=3tanC,所以sinAcosA=3sina⋅a2即a整理得2a²-2(法二)过点B作BD⊥AC,垂足为D.因为tanA=3tanC,所以BDAD=3⋅BD又因为AD+CD=4AD=b,所以AD=因为BC所以a2-3b即2a²-2(Ⅲ)因为tanA=3tanC,所以tan从而tanA-1因为tanA,tanC同号,则0<A<π2所以tan当且仅当tanC即当tanA-1tanB取最小值3219.【解析】IO当a=0时,(f0=b,f'0=b-(Ⅱ)(i)证明:因为f(x)定