新教材同步备课2024春高中数学第8章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.3第1课时二面角及平面与平面垂直的判定定理课件新人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.3平面与平面垂直第1课时二面角及平面与平面垂直的判定定理学习任务1．理解二面角及其平面角的概念，会作二面角的平面角，会求简单的二面角的平面角．(数学抽象、数学运算)2．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，会用定理证明垂直关系．(数学抽象、逻辑推理)必备知识·情境导学探新知01如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉．你认为应该怎样刻画面面“夹角”呢？知识点1二面角1．定义：从一条直线出发的__________所组成的图形．2．相关概念：(1)这条直线叫做二面角的__，(2)两个半平面叫做__________．3．画法：两个半平面棱二面角的面4．记法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.5．二面角的平面角：若有(1)O∈l；(2)OA⊂α，OB⊂β；(3)OA⊥l，OB⊥l，则二面角α-l-β的平面角是______．6．平面角是直角的二面角叫做________，二面角的平面角α的取值范围是_____________．∠AOB直二面角0°≤α≤180°思考1．二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？[提示]

无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．思考2．二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，构成二面角的平面角的三要素是什么？[提示]

三要素是“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直．知识点2平面与平面垂直1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．2．画法：3．记作：_____．4．判定定理：如果一个平面过另一个平面的____，那么这两个平面垂直．直二面角α⊥β垂线思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β. (

)(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥β. (

)(3)两平面垂直时，其二面角是直二面角. (

)××√关键能力·合作探究释疑难02类型1二面角的计算问题类型2平面与平面垂直的判定类型1二面角的计算问题【例1】如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A-PD-C的平面角的度数；[解]

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A-PD-C的平面角的度数为90°.(2)求二面角B-PA-D的平面角的大小；[解]

∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角．又由题意知∠BAD＝90°，∴二面角B-PA-D的平面角的度数为90°.(3)求二面角B-PA-C的平面角的大小．[解]

∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B-PA-C的平面角的度数为45°.反思领悟

求二面角的平面角的大小的步骤(1)作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线．(2)证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角．(3)求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小．(4)结论．[跟进训练]1．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P-BC-A的大小．[解]

由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P-BC-A的大小是45°.

角度2

判定定理法判定平面与平面垂直【例3】

(源自湘教版教材)如图，已知△ABC中，AD是边BC上的高，以AD为折痕折叠△ABC，使∠BDC为直角．求证：平面ABD⊥平面BDC，平面ADC⊥平面ABD.[证明]

因为AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC.因为AD⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BDC.已知∠BDC为直角，所以BD⊥DC.又AD∩DC＝D，因此BD⊥平面ADC.因为BD⊂平面ABD，所以平面ADC⊥平面ABD.反思领悟

证明面面垂直常用的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直．(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．[跟进训练]2．如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.[证明]

连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.因为O为AC的中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，所以EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因为EO⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.学习效果·课堂评估夯基础0312341．自二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有条件(

)A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β√1234√2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(

)A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥βC

[∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.]12343．若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是(

)A．相等 B．互补C．相等或互补

D．不确定C

[若方向相同则相等，若方向相反则互补．故选C.]√12344．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．45°

[根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1即为二面角