考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结

1、考研积分上限的函数（变上限积分）知识点形如上式的积分，叫做变限积分。注意点：1、在求导时，是关于x求导，用课本上的求导公式直接计算。2、在求积分时，则把x看作常数，积分变量在积分区间上变动。（即在积分内的x作为常数，可以提到积分之外。）关于积分上限函数的理论定理1如果在上连续，则在（a，b）上可积，而可积，则在上连续。定理2如果在上有界，且只有有限个间断点，则在（a，b）上可积。定理3如果在上连续，则在上可导，而且有=注：（）从以上定理可看出，对作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数经过求导后，其导

2、函数甚至不一定是连续的。 （）定理（3）也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。重要推论及计算公式：推论1 <变上限积分改变上下限，变号。>推论2 <上限是复合函数的情况求导。>推论3 <上下限都是变的时候，用上限的减去下限的。>题型中常见积分限函数的变形和复合情况：（1）比如 (被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面

3、来.)在求时，先将右端化为的形式，再对求导。分离后左边的部分要按照(uv)=uv + uv进行求导！（重点）（2）比如 ( f 的自变量中含x, 可通过变量代换将x 置换到f 的外面来)在求时，先对右端的定积分做变量代换（把看作常数），此时，时，；时，这样，就化成了以作为积分变量的积分下限函数：，然后再对x求导。( 3 ) 比如 (这是含参数x的定积分, 可通过变量代换将x 变换到积分限的位置上去)在求时，先对右端的定积分做变量代换（把看作常数），此时，时，；时，于是，就化成了以作为积分变量的积分上限函数：，然后再对x求导。有积分限函数参与的题型举例（1） 极限问题：例1 （提示：0/0型，用

4、洛必达法则，答：12）例2 （提示：洛必达法则求不出结果，用夹逼准则，0=<|sinx|=<1。 答：）例3 已知极限，试确定其中的非零常数（答：）（2） 求导问题例4 已知 求 (参数方程，你懂的！答:)例5 已知 求 (答: )例6 求 (答: )例7 设在内连续且 求证 在内单调增加. （同济高数课本Unit5-3例题7）（3） 最大最小值问题例8 在区间上求一点, 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小.Oey = ln xxy11(提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和:, 然后求出,再求出其驻点. 答:.)例9 设，为正整数. 证明 的最大值不超过 (提示:先求出函数的

5、最大值点, 然后估计函数最大值的上界.)(4) 积分问题例10 计算，其中.(提示: 当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时, 总是用分部积分法求解, 且取为积分上限函数. 答: )例11 设在内连续, 证明 (提示: 对右端的积分施行分部积分法.)例12 设 求在内的表达式.(说明: 这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到. 求表达式时, 注意对任一取定的, 积分变量在内变动.答: )(5) 含有未知函数的变上限定积分的方程（称为积分方程）的求解问题例13 设函数连续，且满足 求(答: ) （说明：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，然后求解. 注意初值

6、条件隐含在积分方程内. 答: ） 例14 设为正值连续函数, 且对任一, 曲线在区间上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积, 求此曲线方程.(说明: 根据题设列出的方程将含有的积分上限函数. 答: (6) 利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等.例15 设均在上连续, 证明以下的Cauchy-Swartz 不等式:说明: 本题的通常证法是从不等式出发, 由关于的二次函数非负的判别条件即可证得结论. 但也可构造一个积分上限函数, 利用该函数的单调性来证明. 提示如下:令 则 求出并证明 从而单调减少, 于是得 由此可得结论. 这种证法有一定的通用性. 例如下例. 例16 设在0,1上连续且单调减少. 证明: 对任一 有 (提示: 即证 于是作 只需证单调减少即可得结论.) 利用积分上限函数构造辅助函数, 还常用于证明与微分中值定理有关的某些结论. 比如下题. 例17 设在上连续. 求证: 存在, 使 . (提示: 令. 对在上用Rolle定理即可证得结论)关于积分限函数的奇偶性与周期性定理4 设连续，.如果是奇（偶）函数，则是偶（奇）函数；如果是周期为的函数，且,则是相同周期的周期函数.