全等三角形及三角形全等判定(一)

1、精 华 名 师 辅 导教学内容：全等三角形及三角形全等判定( 一)【基础知识精讲】1.关于全等形及全等三角形全等形是指能重合的两个图形，而全等三角形是指能完全重合的两个三角形，其中，重合的顶点对叫应顶点，边叫对应边，角叫对应角.全等通常用“”符号表示.由以上概念可知全等形的性质，全等形对应边、角相等 .进而可扩广为全等形对应线段(对应中线、 高等 )相等 .全等三角形是我们最常用的全等形，它具有全等形的所有性质，在全等三角形中，对于对应二字较为强调，找准对应顶点， 进而确定对应边是正确解决全等三角形有关问题的关键. 2.关于三角形全等判定(一) 3.4、5-1 边角边公理 (简写写“边角边”或

2、“sas”)有两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 .公理中，不仅要求两边对应相等，而且一定要两边的“夹角”对应相等，否则两三角形不一定全等 (如图 3.4、5-1) abc和 abc中， ab=a c，ac=a b ， b= c ，虽有两边及一个内角相等，但由于内角不是两边的夹角，这两个三角形并不全等. 3.全等性质及判定的作用两图形全等要求对应角、对应边相等、因而三角形全等的性质及判定为我们证明线段、角相等提供了很好的工具、若要证两条线段(或两个角 )相等，可考虑将要证的线段(角)分别放于两个三角形中，并使它们在对应位置上，再通过证明这两个三角形全等，从而达到证线段(角)相等的目的 .

3、 【重点难点解析】重点 ：在对于“对应”二字的理解；难点 ：在判定一中对“夹角”的准确把握，找到两个三角形全等后，根据对图形的观察，确定对应顶点，进而找出对应边、角很重要.而利用判定一时不能只找出两边及一个角相等即用所谓“边边角”来证题. 例 1 如下图 3.4、5-2，两个三角形全等，若按对应顶点写在对应位置上. (1)应写为 abc . (2)找出对应边和对应角，ab= ， bc= ， ca= ， abc= . acb= , bac= . 分析若将两三角形重合，则abc 中的点 a 与 cda 中的点 c 重合，点c 与点 a重合，点 b 与点 d 重合 .故 abc cda ，ab=cd

4、 bc=da ac=ca. abc- cda ，acb= cad ， bac= dca. （解略）例 2 如图 3.4、5-3， abc 中， ab=ac, 求证 b=c. 图 3.4、5-3 分析欲证 b=c，要将 b， c 分别放入两个三角形，通过证三角形全等达到目的，考虑将 abc 对折，使b、c 两点重合而得的折痕ad ，刚好将 bac 平分，可考虑辅助线为 abc 的角平分线ad. 证作 abc 的角平分线ad ，在 abd 和 acd 中， ab=ac 1=2， ad=ad abd acd(sas) b= c. 例 3 如图 3.4、5-4， afde，af=de ，abdc，ab

5、=dc. 求证 fb=ec. 图 3.4、5-4 分析欲证 fb=ec， 只需证 abf dce 即可，而在这两个三角形af=de ， ab=de ，故只需证夹角fab= edc 即可 . 证延长 da 至 g， fa fd，ab dc 1=2, 3=4fab= edc. 在 fab 和 edc 中， fa=ed ， fab= edcab=dc fab edc fb=ec. 例 4 如图 3.4、5-5，已知 ab=dc ， bad= cda. 求证 1=2. 图 3.4、5-5 分析欲证 1=2,若将 1， 2 分别置于 abe 和 dce 中证全等，条件不充足，则上述两三角形中，aeb 与

6、 dec 为一对对顶角，故只需证abe= dca 即可，进而将 abe ， dce 分别置于 abd 与 dca 中，通过证全等达到目的. 证在 abd 和 dca 中， ab=dc ， bad= cad ，ad=da abd dca ， b=c，又 1+aeb+ b= 2+dec+c=180aeb= dec, b= c 1=2 本题还可在得到abd dca 后，得出 3=4 再利用已知bad= cda ，两式相减，可得1=2. 【难题巧解点拨】例 1 如图 3.4、5-6，oa=ob ，oc 平分 aob ，ab 交射线oc 于 d，求证 cab=cba. 图 3.4、5-6 本图中有多对三

7、角形全等，合理利用这些全等三角形是本题之关键，欲得结论，可先考虑证 acd bcd ，而这一对三角形权有对应边cd 为公共边，其余所需条件得通过证 aco bco 来达到目的 . 证： aoc 和 boc 中， oa=ob ， 1= 2 oc=oc aoc boc. aco= bco ac=bc acd= bcd 在 acd 和 bcd 中， ac=bc acd= bcd cd=cd acd bcd cab= bac. 另外本题还可利用cao cbo 来达目的 .即证得 cao cbo 后，得 cao= cbo，同理可证dao dbo ，得 oad= obd， -得到结论 . 例 2 如图 3

8、.4、5-7,以 abc 的边 ab ，ac 为直角边向形外作等腰直角三角形abd和 ace.求证 (1)be=dc (2)b cd. 图 3.4、5-7 分析本题主要在于对图形的观察，要证be=cd ，只需证 dac bae ，此时由已知等腰直角三角形da=ba ， ca=ea ， 而它们的夹角正好都等于90+bac. 要证 becd，只需证 be， cd 在交点 f 处的四个角中有一个为直角，而考虑dab= cae=90 故只需证 cfe=cae 即可 . 证(1)等腰 rtabd 和等腰 rtace dab= eac=90 dac= bae. 在 dac 和 bae 中， ab=ad b

9、ae= dac ae=ac dac bae be=dc. (2) dac bae 1=2 又 1+3+eac= 2+4+ cfe=1803=4 cfe=eac=90 becd. 例 3 如图 3.4、5-8，已知 cd 为 rtabc 斜边中线，求证cd=21ab. 图 3.4、5-8 分析将与中点相关的线段延长一倍是解决与中点相关的问题的重要手段这一. 证人延长 cd 至 e，使 cd=de，连 be. ad=db ， 1=2 cd=de a= dbe ac=be. ac be, acb+ ebc=180 acb=90 acb= ebc=90在 acb 与 ebc 中， ac=be ， ac

10、b= ebc=90,bc=cb. acb ebc(sas) ab=ec=2cd cd=21ab. 点评 将中线延长一倍后证全等是本题基本思路，这一添设辅助线的方法是常用的解决有关中点问题的重要方法这一. 【同步达纲练习】一、判断 (3 分 8=24 分 ) ( )1.有两边的一个内角相等的两个三角形全等. ( )2.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等. ( )3.周长相等的两个三角形全等. ( )4.两个三角形全等，最小的内角一定是对应角. ( )5.线段 ac ，bd 相交于 o，且在 o 点处被相互平分，则ab=cd ，ad=bc. ( )6.全等三角形的角相等. ( )7.共底等高的两

11、个三角形全等. ( )8.abc 中， b= c，另 a b c abc, 且 a b c中有一个角为95，则这个角一定为底角b.二、填空 (5 分 6=30 分 ) 1.若 abc a b c, a b c a b c ,则 abc与 a b c关系是 . 2.若 abc abc，a 与 a，b 与 b，c 与 c为对应顶点， 且 b=60 , a-c=56,则 a= ， c = . 3.abc 与 def 中，ab=de ， ac=df ， 若要使两三角形全等，还需=. 图 3.4、5-10 4.如图 3.4、5-10，a、f、b 共线， e 在 dc 上， ac， bd，ef 都过点 o

12、，且 oa=oc ，ob=od ，oe=of，则图中全等三角形共有对，相等的角共有对. 5.若 ad bc 于 d，且 bd=cd ，ab=6 ，则 ac= . 6.若 ad bc 于 d，且 bd=cd ，abc=72 ,则 bca= ，bac= . 三、选择 (5 分 6=30 分 ) 1.如图 3.4、5-11,ad bc 于 d，bd=dc ，e 在 ad 上，则图中全等的三角形共( ) a.1 对b.2 对c.3 对d.4 对2.如图 3.4、5-12，e 在 ab 上， f 在 ac 上，且ae=af ，ab=ac ，bf=5，oe=1，则oc 长为 ( ) a.1 b.2 c.3

13、 d.4 图 3.4、5-11 图 3.4、5-12 3.上图中，若 boc=80 , b=25，则 a 为( ) a.30b.40c.50d.604.如图 3.4、5-13,ac,bd 交于 o，且 oa=oc ，ob=od ，则图中全等三角形有( ) a.2 对b.3 对c.4 对d.5 对图 3.4、5-13 5.abc 中， ab=bc=ca ， a= b= c，ae，cd 为中线，则图中与abe 全等的三角形共有 ( ) a.1 个b.2 个c.3 个d.4 个6.四边形 abcd 中， ad bc,ad=bc, a=120 ,则 c 为 ( ) a.105b.120c.135d.1

14、50四、如图3.4、5-14,ac=bd, 1=2,求证 dac= dbc.(6 分) 图 3.4、5-14 五、如图3.4、5-15，da=ae ，da ae,ba=ac,baac.求证 (1)be=dc.(2)be dc.（6 分）图 3.4、5-15 【素质优化训练】1.如图 3.4、5-16，ac=ab ，ae=ad ，b、e、 d 共张， 1=2，求证 ae 平分 ced. 图 3.4、 5-16 2.ad 为 abc 的中线，且ab=5 ，ac=9 ，求 ad 的取值范围 . 参考答案：【同步达纲练习】一、 1.2.3.4.5.6.7.8.二、 1. abc abc2.84283. bac= edf 4.3 对7 对 5.6 6.7236三、 1.c 2.d 3.a 4.c 5.c 6.b 四、 ac=bd ， 1=2 ab=ba abc bad dab= abc dac= dbc. 五、 (1)da=ae dac= bae=90 -cae ac=ab adc aeb b