普通物理热学-李椿-电子教案

第一章温度

♦本章学习目标

1、深刻理解热力学第零定律。

2、理解气体的平衡状态、状态参量等概念。

3、掌握测温原理及经验温标、理想气体温标，理解温度的物理意义。

4、掌握理想气体物态方程及其应用。

♦本章教学内容

1、平衡状态

2、温度

3、气体的物态方程

♦本章重点

理想气体物态方程

♦本章教学学时

计划：6学时实际：7学时（含1学时习题）

§1.平衡态状态参量

一、平衡态

1、系统与外界

热力学系统（简称系统）一一由大量分子原子组成的物体或物体系。

注意：主要研究气体系统，固体和液体系统的热力学问题不在这里研究。

外界一一一个热力学系统所处的外部环境。

2、系统分类

孤立系统：与外界既不交换能量又不交换物质的系统。

开放系统：与外界既交换能量又交换物质的系统。

封闭系统：与外界交换能量而不交换物质的系统。

均匀系（单相系）：系统的各部分完全一样。

非均匀系（复相系）：系统的各部分不同且有界面。

3、平衡态

定义：在不受外界影响（外界对系统既不做功又不传热）的条件下的热力学系统，宏观性

质不随时间变化的状态。

热力学平衡态包括力学平衡、化学平衡、热平衡和相平衡。

这四种平衡都达到才称热力学平衡态。

注意：热力学平衡态与热平衡的区别

热力学平衡

无热流：热学平衡条件，系统内部温度处处相等。

无粒子流：力学平衡条件，系统内部各部分之间、系统与外界之间应达到力学

平衡，通常情况下反映为压强处处相等。

化学平衡：化学平衡条件，即在无外场下系统各部分的化学组成应是处处相等。

可以用P、V、T图来表示。只要上述三个条件一个得不到满足，就是非平衡态，不能用P、V、

T图来表示。

4、讨论

1）事实上，并不存在完全不受外界影响，从而使得宏观性质绝对保持不变的系统，所以平

衡态只是一种理想模型，它是在一定条件下对实际情况的抽象和近似。

2）由于永不停息的热运动，各粒子的微观量和系统的微观态都会不断地发生变化。但只要

粒子热运动的平均效果不随时间改变，系统的宏观状态性质就不会随时间变化。因此，确

切地说平衡态应该是一种热动平衡的状态。

3）在平衡状态下，系统的宏观物理量仍会发生微小的变化，称为涨落。组成系统的微观粒

子数量极大时，这种涨落很小从而可以忽略。在热力学中可以认为平衡状态下系统的宏观

物理量具有确定的数值。

5、平衡态的特点

1）单一性（0,D处处相等；

2）物态的稳定性---与时间无关；

3）自发过程的终点；

4）热动平衡，有别于力平衡。

6、非平衡态

在自然界中，平衡态是相对的、特殊的、局部的与暂时的，不平衡才是绝对的、普遍的、

全局的和经常的。

课后P28思考题1

二、状态参量

一一用确定的物理量作为描述系统状态的变量。

儿何参量：体积

力学参量：压强

化学参量：质量或物质的量

电磁参量：电场强度、电极化强度：磁感应强度，磁化强度

热力学量可分成：广延量和强度量

广延量：与系统的总质量成正比的量。（体积、面积等）

强度量：与系统的总质量无关的量。（压强、电场强度等）

§2.温度

引进一个新的物理量一一温度来表示系统的冷热程度。

气体的温度，宏观上表现为气体的冷热程度，而微观上看它表示的是分子热运动的剧烈程

度。

一、热力学第零定律

热接触：系统间能发生传热的接触。

热平衡：两个系统在发生传热的条件下达到的一个共同的平衡态。

热平衡定律（热力学第零定律）：如果两个热力学系统的每一个都与第三个热力学系统处

于热平衡，则它们彼此也必定处于热平衡。

热平衡定律为建立温度概念提供了实验基础。

注意：决定系统热平衡的宏观性质为温度，即温度是决定一系统是否与其他系统处于热平

衡的宏观性质，特征就在于一切互为热平衡的系统都具有相同的温度。

热力学第零定律的物理意义

・互为热平衡的物体之间必存在一个相同的特征，即它们的温度是相同的。

・热力学第零定律不仅给出了温度的概念，而且指出了判别温度是否相同的方法。

课后P28思考题2,3

二、温标

一一温度的数值表示法

1经验温标

一一在经验上以某一物质属性随温度的变化为依据并用经验公式进行分度的温标。

以液体温度计一摄氏温标为例

原理：利用液体的体积随温度改变的性质制成的。即用液体的体积来标志温度。

选择测温物质，确定测温参量（属性）

经验温标的三要素选定固定点

进行分度，即规定测温参量随温度的变化关系

例：水银温度计

（1）水银一测温物质体积随温度变化一测温属性

（2）冰点一0摄氏度汽点一100摄氏度

（3）确定测温属性（体积）随温度的变化关系：线性变化

课本P10表1T儿种常用的温度计

缺点：采用同一种温标，选取不同的测温物质（或同--种物质的不同测温属性）来测量同

一对象的温度时，所得的结果也并不严格一致。

课后P29思考题4

例题:课后习题P31

4、的电阻温度计的测温泡浸在水的三相点槽内时，钳电阻的阻值为90.35Q,当温度计的测

温泡与待测物体接触时,伯电阻的阻值为90.28Q,试求待测物体的温度,假设温度与粕

电阻的阻值成正比,并规定水的三相点为273.16K。

解:依题给条件可得则

故

5、在历史上，对摄氏温标是这样规定的:假设测温属性獭温度［作线性变化，即，并规定冰

点为t=0V,汽点为t=100Uo设用和品分别表示在冰点和汽点时X的值，试求上式中的常

数a和6。

解：：由题给条件可知

①

②

由②一①得

，③

将③式代入①式得

2、理想气体温标

一一标准温标（为了使温度的测量统一）

气体温度计：

（1）定容气体温度计（气体的体积保持不变，压强随温度改变）

（2）定压气体温度计（气体的压强保持不变，体积随温度改变）

理想气体温标：

以气体为测温物质，利用理想气体状态方程中体积（压强）不变时压强（体积）与温度成

正比关系所确定的温标称为理想气体温标。

・定容气体温度计

一一定容气体温度计与待测系统达到热平衡时的温度值

P一一用温度计测得并经修正的气体压强

a一—比例系数，根据选定的固定点来确定

固定点：水的三相点（纯冰、纯水和水蒸气平衡共存的状态）273.16K

一一气体在三相点时的压强

・定压气体温度计

一一气体在三相点时的体积

共同特点：用不同气体建立的温标只有微小的差别，随着气体压强的降低这种差别逐渐消

失，而且在压强趋于零时不同的温标趋于一个共同的极限值。

这个极限温标叫做理想气体温标（气体温标）。

定义式：（体积呸变）

或（压强夕不变）

缺点：对极低的温度（气体的液化点以下）和高温（100（TC是上限）就不适用。

理想气体温标的最低温度：1K

课后P29思考题7

3热力学温标

一一完全不依赖于任何测温物质及其物理属性。

热力学温度T：单位开尔文K

热力学温标是无法实现的理论温标，是通过理想气体温标来实现。

摄氏温标与热力学温标的关系：

摄氏温标和华氏温标的换算关系：

课本P15图1-7热力学温度、摄氏温度和华氏温度的对应关系

温度单位符号固定点的温度值与热力学温度的关通用情况

系

绝对零度冰点三相点汽点

热力学温度KT0.00273.15273.16373.15国际通用

摄氏温标℃t-273.150.000.01100.00国际通用

华氏温标Ftr-459.6732.0032.02212.00英美等国

兰氏温标RTK0.00491.67491.69671.67英美等国

4国际实用温标ITS-90

国际温标的三要素：

1定义固定点；

2规定在不同的待测温度区内使用的标准测温仪器；

3给定在不同的固定点之间标准测温仪器读数与国际温标值之间关系的内插求值公式。

ITS-90的优点：

1更接近于热力学温度

2将最低温度扩展到0.65K

3在整个温度范围内，改进了连续性、精度和再现性

4在某些温度范围内，对分区重复定义的处理方便了使用

5消除了大多数以沸点定义的固定点。

膨胀测温法：玻璃液体温度计、双金属温度计

压力测温法：压力表式温度计、蒸汽压温度计

实用温度计简介电磁学测温法：电阻温度计、温差热电偶温度计、半导体温度计、频率

温度计

声学测温法：声学温度计、噪声温度计

辐射测温法：光学高温计、比色高温计、辐射高温计

自我阅读部分：

附录热力学第零定律与温度

附录1-2水的三相点管

•课后作业题：P311,6

§3.气体的状态方程

或函数关系叫做气体的物态方程

把处于平衡态的某种物质的热力学参量（如压强、体积、温度）之间所满足的函数关系称

为该物质的物态方程或称状态方程。

一、理想气体的状态方程

1、玻意耳定律

一一一定质量气体的温度保持不变时，它的压强和体积的乘积是一个常量：

注意：

(1)温度不变，。呐一常数；温度改变，常数也要改变

(2)夕不太大，座不太低时适用；。越低，遵守得越好。

2、理想气体状态方程

根据玻意耳定律和理想气体温标的定义来确定呜温度刑关系。

设Q为常数馅水的三相点时的数值。

得

在气体压强趋于零的极限情形下：

由，得

阿伏伽德罗定律：在气体压强趋于零的极限情形下，在相同的温度和压强下，1摩尔的任何

气体所占的体积都相同。

令普适气体常数

物态方程：

理想气体物态方程是根据玻意耳定律、理想气体温标的定义和阿伏伽德罗定律求得的，这

三者所反映的都是气体在压强趋于零时的极限性质。

注意：压强越低，物态方程近似程度越高；在压强趋于零的极限情形下，一切气体都严格

地遵从它。

3、普适气体常数R

一般由4701理想气体在冰点()及一个大气压()下的体积来推算:

算出:

课后P29思考题9,10,11,13

课本P19

［例题1］由物态方程求相对分子质量

［例题2］由物态方程求容器体积和漏气质量

［例题3］低温测量的气体温度计原理（了解）

4、混合理想气体的状态方程

道尔顿分压定律：混合气体的压强等于各组分的分压强之和。

某组分的分压强：是指这个组分单独存在时（即在与混合气体的温度和体积相同，并且与

混合气体中所包含的这个组分的物质的量相等的条件下，以化学纯的状态存在时）的压强。

注意：道尔顿分压定律只适用于理想气体（混合气体的压强较低）

道尔顿分压定律的公式表示：

令，得

一一混合理想气体的物态方程

平均摩尔质量胭

二、非理想气体的状态方程（了解）

1.范德瓦耳斯方程

范德瓦耳斯气体：考虑分子间吸力和斥力的作用。

范德瓦耳斯方程：

---Imol气体

——任意质量的气体

a,b--常量，可由实验测定

［例题5］用范德瓦尔斯方程计算，和理想气体的物态方程计算结果比较。

2、昂尼斯方程

或

或都是温度的函数，并与气体的性质有关，分别叫做第一、第二、第三、第四、……位力

系数。

当压强趋于零时，上式变为理想气体物态方程，且/天7

・课后作业题：

P3112,13,26,27

第一章小结

一、平衡态

1、系统的定义和分类

2、平衡态的定义和特点

二、温度

热力学第零定律温度的概念温标经验温标

理想气体温标热力学温标国际实用温标

三、气体的物态方程

1、理想气体的物体方程

①单一成分的理想气体

②混合理想气体

2、非理想气体的物态方程

①范德瓦耳斯方程

②昂内斯方程

习题解答

1、定容气体温度计的测温泡浸在水的三相点槽内时，其中气体的压强为50mmHg。

(1)用温度计测量300K的温度时，气体的压强是多少？

(2)当气体的压强为68mmHg时，待测温度是多少？

解：对于定容气体温度计可知：

(1)

(2)

6、水银温度计浸在冰水中时，水银柱的长度为4.0cm;温度计浸在沸水中时，水银柱的长

度为24.0cm.

(1)在室温22.0℃时，水银柱的长度为多少？

(2)温度计浸在某种沸腾的化学溶液中时，水银柱的长度为25.4cm,试求溶液的温度。

解：设水银柱长/与温度械线性关系：

L=at+b当t=Ot时则X。必

.,.b=l代入上式L=at+1

当力乙时贝

•»3=(Li~~Lg)/ti

(1)L===8.4(cm)

(2)/=(C-Lo)/a==107V

12、一定质量的气体在压强保持不变的情况下，温度由50C升到100C时，其体积将改变百

分之几？

解：根据方程

则体积改变的百分比为15.5%

13、-氧气瓶的容积是32£,其中氧气的压强是/3%防，规定瓶内氧气压强降到,施加时就

得充气，以免混入其他气体而需洗瓶，今有•玻璃室，每天需用，诙勿氧气4。。£,问一瓶

氧气能用几天。

解：先作两点假设：

（1）氧气可视为理想气体（2）在使用氧气过程中温度T不变，则：

由可有

每天用掉的氧气质量为

瓶中剩余氧气的质量为

•••（天）

19、求氧气在压强为的切、温度为27c时的密度。

解：已知氧的俯：3题?

14、水银气压计中混进了一个空气泡，因此它的读数比实际的气压小，当精确的气压计的

读数为7M他时，它的读数只有74物吸。此时管内水银面到管顶的距离为偏问当此

气压计的读数为734加加％时，实际气压应是多少。设空气的温度保持不变。

解：设管子横截面为S,在气压计读数为九二74刎％和力=73为哪时，管内空气压强分别为

0,和R，根据静力平衡条件可知，，且p=768mmHg,l=80nim

由于7、m不变

根据方程

有，而

21、一打气筒，每打一次可将原来压强为，温度为，体积的空气压缩到容器内。设容器的

容积为，问需要打儿次气，才能使容器内的空气温度为，压强为。

解：打气后压强为：，题上未说原来容器中的气体情况，可设原来容器中没有空气，设所

需打气次数为，则，

(1)

(2)

将得：次

26、按重量计，空气是由的氮，的氧，约的就组成的(其余成分很少，可以忽略)，计

算空气的平均分子量及在标准状态下的密度。

解：设总质量为勿的空气中，氧、氮、晁的质量分别为例，m氟、氮、氮的分子量分别

为M"总%

空气的摩尔数

则空气的平均摩尔质量为

即空气的平均分子量为28.9

空气在标准状态下的密度

27、把的氮气压入•容积为的容器，容器中原来已充满同温同压的氧气。试求混合气体

的压强和各种气体的分压强，假定容器中的温度保持不变。

解：根据道尔顿分压定律可知又由状态方程且温度、质量不变。

第二章气体分子运动论的基本概念

♦本章学习目标

1、深刻理解物质的微观结构和理想气体的微观模型。

2、理解理想气体的压强与温度的微观本质。

3、了解常用的分子简化模型，应用势能曲线研究分子碰撞过程。

♦本章教学内容

1、物质的微观模型

2、理想气体的压强

3、温度的微观解释

4、分子力

5、范德瓦耳斯气体的压强

♦本章重点

1、压强公式和温度公式

2、理想气体的微观模型，范德瓦耳斯气体的压强

♦本章教学学时

计划：8学时实际：7学时（含1学时习题）

§1.物质的微观模型

分子动理论是从物质的微观结构出发来阐明热现象的规律。

1宏观物体是由大量微粒-分子（或原子）组成的

物质由大量分子所组成的论点是指宏观物体是不连续的，它由大量分子或原子（离子）所组成的。

物。/物质中的分子数，即阿伏伽德罗常量

二、物体内的分子在不停地运动着，这种运动是无规则地，其剧烈程度

与物体的温度有关

扩散现象说明：一切物体（气体、液体、固体）的分子都在不停地运动着。

实验观察：扩散现象，布朗运动

布朗运动并非分子的运动，但它能间接反映出液体（或气体）内分子运动的无规则性。

无规则：由于分子之间的相互碰撞，每个分子的运动方向和速率都在不断地改变；任何时刻，在液体或气体

内部，沿各个方向运动的分子都有，而且分子运动的速率有大有小。

分子的热运动：分子的无规则运动。（与物体的温度有关）

涨落现象：偏离统计平均值的现象。

例：某随机变量的平均值，则在附近的偏差为，，均方偏差不等于零，其相对均方根偏差称为涨落。

一个由大量子系统组成的系统，其可测的宏观量是众多子系统的统计平均效应的反映。但系统在每一时刻的

实际测度并不都精确地处于这些平均值上，而是或多或少有些偏差，这些偏差就叫涨落，涨落是偶然的、杂

乱无章的、随机的。

三、分子之间有相互作用力

1吸引力和排斥力

很多物质的分子引力作用半径约为直径的两倍作用，超过这•距离，分子间相互作用力已很少。

排斥力作用半径就是两分子刚好“接触”时两质心间的距离。

排斥力发生作用的距离比吸引力发生作用的距离还要小。

2、分子力与分子热运动

分子力是一种电磁相互作用力，故它是一种保守力，它应该有势能，称为分子作用力势能。（分子力是由一

个分子中所有的电子和核与另一个分子中所有的电子和核之间复杂因素所产生的相互作用的总和。）

总结:一切宏观物体都是由大量分子（或原子）组成的；所有的分子都处在不停的、无规则热运动中；分子

之间有相互作用力。

分广力的作用将使分广聚集在•起，在空间形成某种规则的分布（有序排列），而分子的无规则运动将破坏

这种有序的排列，使分子分散开。

温度升高温度升高

固体状态液体状态气体状态

§2.理想气体的压强

一、理想气体的微观模型

理想气体的微观模型具有以下特点：

（1）分子木身的线度比起分子之间的平均距离来可以忽略不计，即对分子可采用质点模型。（气体分子间距

大约是分子本身线度的io倍。）

（2）除碰撞的一瞬间外，分子之间以及分子与容器壁之间相互作用力可忽略不计。分子所受的重力也可以忽

略。分子在两次碰撞之间做自由的匀速直线运动。

（3）分子与容器壁以及分子之间的碰撞属于牛顿力学中的完全弹性碰撞，即气体分子的动能不因碰撞而损失。

综上所述，经过抽象与简化，理想气体可以看成是一群彼此间无相互作用的无规运动的弹性质点的集合,

这就是理想气体的微观模型。

在常温下，压强在数个大气压以下的气体，一般都能很好地满足理想气体方程。

课本P53思考题1

二、理想气体的压强公式

1、关于气体分子集体的统计假设

对于平衡态下的理想气体系统中的大量分子，可作如下统计假设：

1无外场时，分子在各处出现的概率相同，即容器中单位体积内的分子数处处相等。一分子数密度

2由于碰撞，分子可以有各种不同的速度，速度取向各方向等概率，分子速度在各个方向分量的各种

统计平均值相等。（；）

2、理想气体压强公式

（1）定性解释

压强：密闭容器（如气缸）内的气体对容器的器壁有压力作用，作用在单位面积器壁上的压力。

从气体动理论的观点看来：气体在宏观上施于器壁的压强，是大量分子对器壁不断碰撞的结果。

最早使用力学规律来解释气体压强的科学家是伯努利。他认为：气体压强是大量气体分子单位时间内给予器

壁单位面积上的平均冲量。

(2)定量推导

前提：平衡态、忽略重力、分子看成质点(只考虑分子的平动)

设在任意形状的容器中贮有•定量的理想气体，体积为匕共含有八个分子，单位体积内的分子数为〃力/匕每

个分子的质量为侬分子具有各种可能的速度，把分子分成若干组，每组内的分子具有大小相等、方向一致

的速度，并假设在单位体积内各组的分子数分别为〃“"2,…，贝上

设某一分子以速度运动并与曲面碰撞，碰撞后速度变为。

推导过程：

(1)计算单个分子速度为与器壁M面碰撞一次的过程中施于曲面的冲量：

(2)4时间内速度为能与口面发生碰撞的分子总数：

(M为底，为高，为轴的斜形柱体的体积内，的分子。)

34时间内速度为能与曲面发生碰撞的分子对必面的冲量：

4八时间内所有分子对力面的总冲量：

5器壁所受的宏观压强：

(6)为了使结果的物理意义更明确，对压强表示式进行化简。

根据统计假设，所以

应用这一关系，得到理想气体的压强公式：

式中是气体分子平均平动动能。

一一表征三个统计平均量之间相互联系的一个统计规律，而不是一个力学规律。

气体压强是系统中所有分子对器壁碰撞的平均效果，是大量分子热运动的集体表现。压强是大量分子对时间、

对面积的统计平均结果。

压强的物理意义:

注意的问题:一是容器的各个器壁上的压强都是相等的。二是压强公式与容器大小无关，还与容器的形状无

关。

上述表明:气体的压强与分子数密度和平均平动动能都成正比。这个结论与实验是高度致的，它说明了我

们对压强的理论解释以及理想气体平衡态的统计假设都是合理的。

压强的单位:

［例题］某理想气体的压强P=l.00X10-%切7,密度,=1.24X107kg/d,求气体分子的方均根速率（即方均速

率的平方根）。若该气体为双原子理想气体，且温度为£=。口问该气体是何种气体？

解：按压强公式，方均根速率为：

气体的密度与分子的数密度和分子的质量/施关系为：

将其代入上式，即得

由理想气体的物态方程，可得

故气体的摩尔质量

所以，该气体是摩尔质量的N或4

课本P54思考题6,7,8

§3.温度的微观解释

2温度的微观解释

1、理想气体的温度公式

理想气体的压强公式：

理想气体的物态方程：

由,，一阿伏伽德罗常量（1摩尔气体所含的分子数）

得：

令一一玻耳兹曼常量

得平衡态下理想气体的温度公式：或

温度的微观解释：标志着物体内部分子无规则运动的剧烈程度。温度越高就表示平均说来物体内部分子热运

动越剧烈。温度是由大量分子热运动的集体表现，也是含有统计意义，对于少数或单个分子谈温度是没有意

义的。

理想气体的温度公式表明:气体分子的平均平动动能惟一决定于温度，并与热力学温度成正比。在相同的温

度下，气体分子的平均平动动能相同而与气体的种类无关。也就是说，如果有一团由不同种类的气体混合而

成的气体处于热平衡状态，不同的气体分子的运动可能很不相同，但它们的平均平动动能却是相同的。

课本P45

［例题1］求气体分子的平均平动动能。

［例题2］在多高温度下，气体分子的平均平动动能等于一个电子伏特？

温度7=3仇%的气体分子的平均平动动能为多少个电子伏特？

解：按照温度公式

2、方均根速率

由，，

得气体分子的方均根速率：

［例题3］计算氢分子的方均根速率。

课本P54思考题11,13,14,15,16

二、对理想气体定律的推证

由分子动理论的一般规律出发一一确定理想气体的宏观规律

（压强公式，温度公式）

1阿伏伽德罗定律

将代入压强公式得：

可见：在相同的温度和压强下，各种气体在相同的体积内所含的分子数相等。

一一阿伏伽德罗定律。

例：在标准状态下，，时，任何气体在1层中含有的分子数都等于：

2、道尔顿分压定律

设有几种不同的气体，混合地贮在同一容器中，它们的温度相同，根据理想气体的温度公式，得:

设单位体积内所含各种气体的分子数分别为则单位体积内混合气体的总分子数为：

代入压强公式，得到混合气体的压强为：

上式说明：混合气体的压强等于组成混合气体的各成份的分压强（单独存在）之和。

―道尔顿分压定律

［例题4］求每立方米内的分子数。

・课后作业题：

P553,5,9,12

§4.分子力

分子热运动和分门诃的相互作用是决定物质各种热学性质的基本因素。

3分子之间存在相互作用力一一分子力

：斥力和引力互相抵消，合力为零（平衡位置）

：强大的斥力作用范围，且r增加，/急剧增加

：强大的引力作用范围，且工增加时，碗增加再减少

图2-7（b）是分子势能曲线

:,势能有极小值

：势能曲线有很陡的负斜率，很强的斥力

：势能曲线的斜率是正的，引力

根据势能曲线说明两个分子的相互“碰撞”过程

二、简化模型

(1)体积趋向于零的刚球模型

作为两分子质心间距离加函数的势能满足以下关系：

,当

,当

其势能曲线如图2-8(a)所示，对应的物态方程是理想气体方程。

(2)刚球模型

,当

,当

其势能曲线如图2-8(6)所示

(3)苏则朗模型

,当

,当

即把分子看作相互有吸引力的刚球，其势能曲线如图2-8(c)所示

注意

(1)何视为分子力程；数量级在数量级，可看为分子直径(有效直径)。

(2)分子力是电性力，大于万有引力

§5.范德瓦耳斯气体的压强

理想气体：7较高，。较小时，满足理想气体的物态方程；

真实气体：7较低，。较大时，不满足理想气体的物态方程。

找真实气体物态方程的途径：从实验中总结出经验的或半经验的公式；修改理想气体模型，在理论上导出物

态方程。1873年，范德瓦尔斯用简洁的物理模型导出了真实气体的物态方程--范德瓦尔斯方程。

问题：理想气体模型忽略了分子的体积(分子间的斥力)和分子间的引力。理想气体状态方程在低温高压时

偏差很大，找真实气体的状态方程成为当时的热门课题。

研究方法：

1实验一规律（经验公式）一准确性高但应用范围狭窄

2建立模型一统计运算一统计规律一应用范围广，但准确性与模型有关

3两者结合，互相修正、补充

范德瓦耳斯的想法：

1、高压下，分子线度不可忽略一一体积要修正

2、低温、高压下，分子间相互作用力不可忽略一一压强要修正

范德瓦耳斯气体的模型：

（1）分子是直径为"的刚球；

（2）在d上的范围内，分子间有恒定引力。这就是有引力的刚球分子模型。

一、分子体积所引起的修正

加。/理想气体的压强为：

一一每个分子可以自由活动的空间的体积

如果把分子看作有一定体积的刚球，则每个分子能自由活动的空间不再等于容器的容积。

理想气体的压强修正为：

体积修正：

戾考虑到分子本身体积后而对气体体积的修正量，理论上证明：

为/0。/气体内所有分子体积的总和

为加。/理想气体内所有分子体积的总和

气体的诺贝尔方程：

vm/气体的诺贝尔方程：

由于分子有一定的体积，分子与器壁的碰撞将比不计分子体积时的碰撞更频繁，因而使压强增大。

二、分子间引力所引起的修正

考虑分子间的引力，分子在靠近器壁区域中受到向内的拉力，将使它在垂直于器壁方向上的动量减小，因而

器壁实际受到的压强比经过体积修正的值还要小一些。气体施于器壁的压强实际为

一一气体的内压强

内压强：气体表面层单位面积上所受内部分子的引力。

=（单位时间内与单位面积器壁相碰的分子数）

又

得

比例系数a：由气体的性质决定，反映气体分子引力的一个常量。表示10。/气体在占有单位体积时，由于分子

间相互吸引作用而引起的压强减小量。

适用于10。/气体的范德瓦耳斯方程：

范德瓦耳斯方程

①10。/气体的范德瓦耳斯方程：

②V00/气体的范德瓦耳斯方程：

③质量为0的真实气体的范德瓦耳斯方程：

课本P54思考题17,18,19

第二章小结

一、两个微观模型

1、物质的微观模型

2、理想气体的微观模型

二、两个公式

1、理想气体的压强公式

2、理想气体的温度公式

三、真实气体

1、微观模型

分子力和分子势能

2、真实气体的物态方程一一范德瓦耳斯方程

习题解答

3、■-容积为11.2L的真空系统已被抽到1.0X10%mHg的真空。为了提高其真空度，将它放在300℃的烘

箱内烘烤，使器壁释放出吸附的气体。若烘烤后压强增为1.0X10%mHg,问器壁原来吸附了多少个气

体分子。

解：设烘烤前容器内分子数为/%,烘烤后的分子数为川。根据上题导出的公式则有：

因为3与0相比差数量，而烘烤前后温度差与压强差相比可以忽略，因此与相比可以忽略

个

5、一容器内有氧气，其压强p=LOatm,温度为t=27"C,求

(1)单位体积内的分子数：

(2)氧气的密度；

(3)氧分子的质量；

(4)分子间的平均距离；

(5)分子的平均平动能。

解：⑴

(2)

(3)

(4)设分子间的平均距离为

因每个分子平均分配到自由活动体积为

(5)分子的平均平动能为：

8、质量为/四的氮气，当压强为体积为77。比/时，其分子的平均平动能是多少？

解：；而

9、质量为520g,温度为/&Of的氨气装在容积为/。.位的封闭容器内，容器以卜=2%小的速率作匀

速直线运动。若容器突然静止，定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能，则平衡后氮气的温度

和压强将各增大多少？

解：由于容器以速率M乍定向运动时，每一个分子都具有定向运动，其动能等于，当容器停止运动时,

分子定向运动的动能将转化为分子热运动的能量，每个分子的平均热运动能量则为

因为容器内氮气的体积一定，所以

故，又由

得：

11、试计算氢气、氧气和汞蒸气分子的方均根速率，设气体的温度为300K,已知氢气、氧气和汞蒸气

的分子量分别为2.02、32.0和201。

解

12、气体的温度为7=273K,压强为p=l.00X102atm,密度为P=1.29X10%

(1)求气体分子的方均根速率。

(2)求气体的分子量，并确定它是什么气体。

解：(1)——

该气体为空气

第三章气体分子热运动速率和

能量的统计分布律

♦本章学习目标

1、理解麦克斯韦速率分布函数和速率分布曲线的物理意义；

2、掌握气体分子热运动的平均速率，方均根速率和最概然速率。

3、了解玻耳兹曼能量分布。

4、理解分子运动自由度的概念，掌握能量按自由度均分定理，明确气体内能的微观意义。

掌握理想气体的内能公式。

5、通过理想气体的定容摩尔热容的理论值与实验值的比较，明确经典理论的困难以及对量

子论建立的作用。

♦本章教学内容

1、气体分子的速率分布律

2、用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律

3、玻尔兹曼分布律重力场中微粒按高度的分布

4、能量按自由度均分定理

♦本章重点

麦克斯韦速率分布律和速度分布律

♦本章教学学时

计划：8学时实际：12学时（含1学时习题）

补充数学知识

一、概率的基本性质

1、概率的定义

随机事件：在一定条件下，如果某一现象或某一事件可能发生也可能不发生，这样的事件

称为随机事件。

若在相同条件下重复进行同一个试验，在总次数促够多的情况下（N-8）,计算所出现

某一事件的次数瓦，则这一事件出现的百分比就是该事件出现的概率：

分布函数的物理意义通常可以用两种完全等价的方式来阐明。其一是，掷出数值的次数占

总投掷次数A的比率；其二是，任意投掷一次，掷出数值为的概率（可能性）。

2、等概率性

一一在没有理由说明哪一事件出现概率更大些（或更小些）的情况下，每一事件出现的概

率都应相等。

统计物理学实质上只包含等概率原理这一个基本假定：如果对于系统的各种可能的状态没

有更多的知识，就可暂假定一切状态出现的概率相等。

3、概率的基本法则

（1）概率相加法则

一一〃个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和。

（2）概率相乘法则

一一同时或依次发生的，互不相关（相互统计独立）的事件发生的概率等于各个事件概率

之乘积。

二、随机变量的概率分布函数

一一如果一变量在一定条件下，能以确定的概率取各种不同的数值，则该变量称为随机变

量。（分为离散型和连续型）

随机变量的概率分布：随机变量的取值及其与相应的概率之间的关系。

离散型：

为随机变量x的概率分布，满足条件：

①

②归一化条件

连续型：随机变量x可取某一区间内的一切数值。

（）随机变量X取值在xi+dx内的概率少⑴为：

一一概率密度满足条件：

①

②归一化条件

对于取连续值的随机变量，其概率随随机变量值的变化的分布规律不是由概率分布函数来

表述，而是由概率密度函数来表述，概率密度函数给出了随机变量出现的概率分布，也称

为随机变量的分布函数。

离散量与连续量的分布函数

§1.气体分子的速率分布律

研究平衡态下气体分子速率的统计分布规律，阐明统计规律的一些性质和特点。

1速率分布函数

1、速率分布函数的定义

在平衡态下，气体分子速率的大小各不相同。由于分子的数目巨大，速率丫可以看作在

0~8之间连续分布的。此时分子的速率分布函数应该这样来定义：

1假设系统的总分子数为此

2在速率之间的分子数为成V；

3来表示在速率「〜"ds之间的分子数占系统总分子数的比率；或者对于任意一个分子来

说，这是它的速率处于/〜"dv之间的概率。

4由于和速率区间力的大小成正比（即d礴大则越大），通常用来反映气体分子的速率分

布，它与所取区间"小）大小无关而仅与速率帝关。我们把这个比值定义为平衡态下的

速率分布函数：

表示分布在速率-附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率。对于处在一定温度下的

气体，它只是速率/的函数。

2、速率分布函数的物理意义

一一在速率印付近，单位速率区间内的分子数占系统总分子数八的比率；或者说，对于任意

一个分子而言，它的速率刚好处于他附近单位速率区间内的概率，故也称为分子速率分布

的概率密度。

对于任意一个分子来说，它的速率是多大是偶然的，但却具有一定的概率分布。只要

给出了速率分布函数，整个分子的速率分布就完全确定了。

3、速率分布函数的应用

由速率分布函数可求出：

y〜y+dK区间的分子数：

V〜"dl/g间的分子数在总数中占的比率，即一个分子的速率在“〜K4岳间的概率：

在速率分布函数的曲线上，它表示曲线下一个微元矩形的面积。（此意义在速率分布曲线

部分讲）

区间的分子数可以用积分表示为：

区间的分子数在总数中占的比例，即一个分子的速率在区间的概率：

在分布曲线上，它表示在间曲线下的面积。（此意义在速率分布曲线部分讲）

令，则即为全部分子数/V；故有

此式称为速率分布函数的归一化条件，表示所有分子与分子总数的比率为1,即一个分

子速率在区间的概率为1。在分布曲线上，它表示在区间曲线下的面积为1。（此意义在速

率分布曲线部分讲）

课本P82思考题2（1）、（2）、（3）、（4）

二、麦克斯韦速率分布律

1、麦克斯韦速率分布律

在平衡状态下，分布在任一速率区间内的分子的比率为:

即速率分布函数为：

这个函数表达的速率分布规律叫做麦克斯韦速率分布律。式中，物理想气体平衡态的

热力学温度，如为每个气体分子的质量，A为玻耳兹曼常量。

2、速率分布曲线

从下面的曲线（速率分布曲线）观察的气体分子速率分布的特点。

曲线下矩形面积的物理意义：

1图中任一区间内曲线下的窄条面积表示速率分布在这区间内分子的比率；

②图中任一有限范围内曲线下的面积则表示在这个范围内分子的比率；

③由归一化条件，在区间曲线下的面积为1。

3、最概然速率

最概然速率一一极大值对应的速率

物理意义：在附近单位速率区间内的分子数占系统总分子数的比率最大；或者说，对

于一个分子而言，它的速率刚好处于附近单位速率区间内的概率最大。

要确定，令

解出：

即温度越高，越大；分子的质量越大，越小。

上式规律表明对于给定的气体（即加一定），分布曲线的形状随温度而变；在同一温度下,

分布曲线的形状因气体的不同（即力不同）而异。如图3-2（a）,不同温度下的分布曲线。

同样实线对应分子质量（或相对分子质量）较大的气体，虚线对应于分子质量（或相对分

子质量）较小的气体，则图3-2表示，不同种类气体的分布曲线。

3、涨落现象

假设分布在某一速率区间内的分子数的统计平均值为，则实际分子数对于这一统计平均值

的偏离范围，即涨落幅度基本上是，而涨落的百分数就是。由此可知，分子数越大，涨落

的百分数就越小，即相对地说涨落现象越不显著；反之，涨落的百分数就越大，统计规律

的结论就失去了意义。因此，麦克斯韦速率分布律只对大量分子组成的体系才成立。

麦克斯韦速率分布律只适用于气体的平衡态。

课本P82思考题3、4、

补充数学知识

三、统计平均值一一数学期望

1、离散型随机变量

一般来说，假定某量有心卜测量值，测量结果为©的有可个，为对的有也个，…为治的有

“个，按照求平均值的方法，该量测量的平均值应该是

同理，该量测量的方均值（先平方后再求平均值）应该是

实际上只要把上面的式中的用来代替就达到上式。

2、连续型随机变量

统计平均值：

方均值：

四、方差（涨落）

——表示随机变量X的取值在平均值附近分散的程度。

（或描述X在其统计平均值上下涨落的平均幅度。）

三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值

1、分子的平均速率

一一大量分子的速率的算术平均值。

将速率分布函数代入上式积分，得：

补充提示：

任意区间内的平均速率：

2、分子的方均根速率

分子速率平方的平均值：

分子的方均根速率：

补充提示：

任意区间内的速率平方的平均值:

从上述三式可以清楚地看出，为了计算，或，实际上只要给定速率分布函数就可以了，

可见速率分布函数的重要性。

3、最概然速率

最概然速率、平均速率和方均根速率统称为速率分布的特征速率。都与成正比，与或

成反比。三种速率中，最大，次之，最小。当气体的温度环口摩尔质量廨目同时，：：=1.41:

1.60:1.73

课本P82思考题2(5)、(6),6,7,8

・课后作业题：

课本P831,2,5,6课本P8412,13(做课堂例题处理)

作业为例1和例2

［例1］对于给定的理想气体，试分别求，和的速率附近与最概然速率的附近相比，在相同的

速率小区间内的分子数比。

解：由，可得任意速率区间内的分子数

当很小时，在该速率区间内近似不变，可将上式简化为

因而，当速率分别为r和%时，由相同，有

理想气体的分子速率，遵守麦克斯韦速率分布。由可得

以最概然速率代入上式，又有

分别以，和代入上式，可以算出：

时，

时，

时，

显然，速率越是偏离最概然速率，区间内的分子数越少。

［例2］一由N个粒子组成的系统，平衡态下粒子的速率分布曲线如下图所示。试求:

(1)速率分布函数；

(2)速率在0〜%/范围内的粒子数；

(3)粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。

解：(1)按上图所示的速率分布曲线形状，应有

0

0

A为0〜%之间直线段的斜率。由速率分布函数的归一化条件，可得

故速率分布函数为()

0

(2)速率在范围内的分子数为：

(3)由和，可得粒子的平均速率

方均速率：

故方均根速率:

最概然速率是具有最大值，即速率分布曲线峰值所对应的速率。由图中的速率分布曲

线，可得

四、麦克斯韦速度分布律

以上讨论的是气体分子按速率分布的规律，对分子的速度的方向未作任何确定。下面进一

步介绍气体分子按速度分布的规律。

1、速度空间

一一以为轴的直角坐标（或以为坐标的球坐标系）所确定的空间。

速度空间中一个点代表什么：从原点向某一点画出一矢量，该矢量的大小和方向就是所对

应的速度矢量。

速度空间中的一个微分体积元表示：速度矢量的取值范围在，，范围内的所有那些速度矢

量的整体，而是该立方体微分元中最靠近原点的那一点的坐标。

2、麦克斯韦速度分布律

①麦克斯韦速度分布函数

分子速度在区间内的概率：

分子速度在附近单位区间内的概率：

在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时,速度分量在区间内，在区间内，在

区间内的分子的比率为：

一一麦克斯韦速度分布律

则速度分量，，在附近单位区间内的分子的比率为：（概率分布密度）

一一麦克斯韦速度分布函数

②速度分量的分布函数

由概率相乘法则：，同时相互独立

则

即

速度分量的分布函数:

速度分量的分布函数

同理有的分布函数

的分布函数

由速度分量的分布函数描绘出的速度分量的分布曲线如左图，图中曲线下的矩形阴影部分

面积为：

也可通过积分求解：

由积分表求出：

得到各速度分量的分布函数。

③注意点

适用范围：麦克斯韦在导出速度分布律过程中没有考虑到气体分子间的相互作用，故这一

速度分布律只适用于处于平衡态的理想气体。

归一化条件：

最概然速度的概念：速度分布中概率取极大时的速度就是最概然速度。由麦克斯韦速度分

布律可得出，时，概率取极大。则最概然速度就是速率为零处的速度，或者说是速度矢量

等于零处的速度。与最概然速率是两个完全不同的概念。

［思考题］分析以下各式的物理意义

①表示：速度空间中任何位置处的概率密度

②表示:速度空间中的分子数密度

③表示：三个速度分量在，，范围内的概率或速度矢量端点落在速度空间中体积元内的

分子数占总分子数的比率。

④表示：意义与相同。

⑤表示：三个速度分量在，，而范围内的概率；也表示速度矢量端点落在速度空间中截

面积为，其棱平行于轴的无穷长柱体中分子数与总分子数之比。

⑥表示：三个速度分量在，而，范围内的概率；也表示速度矢量端点落在速度空间中垂直

于轴厚度为的无穷薄平板中的分子数与总分子数之比。

3、从麦克斯韦速度分布律导出速率分布

速率分布律是速度分布律的特殊情形，是由速度分布律导出的。

在平衡状态下，分布在任一速率区间内的速度矢量端点都落在半径为％厚度为"渊球壳层

内。

球壳层的体积：，同时

代入麦克斯韦速度分布律：中

得到麦克斯韦速率分布律：

4、由麦克斯韦速度分布律导出气体分子碰壁数及气体压强公式

①用麦克斯韦速度分布律求每秒碰到单位面积器壁上的气体分子数（泻流问题）

见课本P63的例题得出每秒碰到单位面积器壁上的气体分子数：

泻流：从小孔跑出的气体分子数对容器内的气体平衡状态的影响可以忽略，则容器壁小孔

的漏气现象称为泻流。通常小孔截面的线度不大于气体分子的平均自由程，小孔的

漏气就满足泻流条件。

2推导理想气体的压强公式

在九时间内速度在，，范围内，碰撞在M面元上的分子数：

速度分量为的气体分子对面元必的冲量：

考虑的分子才能碰上曲面，，则气体分子对M面的总冲量为：

压强为：

证明结果与第二章结果相同。

以上证明中并未使用麦克斯韦速度分布函数，说明压强公式具有普适性。只要是非相对论

的()无相互作用的系统，上式总能适用。

如果从分子速率防离散量出发：

每秒碰到单位面积器壁上的气体分子数：

压强：()

・课后作业题：

课本P847,10

五、误差函数(自我阅读)

速度分量在区间内的分子数：

速度分量在区间内的分子数：

令

则，即分子的最概然速率

定义误差函数，则

由课本P81附录3-2误差函数简表可查不同Mf对应的近似值。

例题：计算速度x分量在区间内的分子数。

六、统计规律性和涨落现象

1、统计规律性

（1）什么是统计规律性？

统计规律性是对大量偶然事件整体起作用的规律，它表现了这些事物整体的本质和必然的

联系。对于由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时，必须用统计的方法。

（2）统计规律的特点：

①只对大量偶然的事件才有意义。

②它是不同于个体规律的整体规律（量变到质变）。

③大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。

④统计规律是以动力学规律为基础的，统计规律不可能脱离由动力学规律所决定的个别事

件而单独存在。

⑤统计规律永远伴随着涨落现象。

2、涨落现象

测量值与统计值之间总有偏差。处在平衡态的系统的宏观量，如压强,,不随时间改变,

但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样，分子数越多，涨落就越小。布朗

运动是可观测的涨落现象之一。

课本P83思考题14,15

§2.用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律

一、分子射线

实验中气体•般用金属（如银、被、针等）蒸气。蒸气压由金属材料的性质和加热温度决

定。

二、葛正权实验

此实验的主要困难是：钮蒸气中同时含有单原子分子由、双原子分子及和少量三原子分子

Bh,而这三种组分的含量却是未知的。若加上这三种组分的含量（指每种组分的物质的量

和总物质的量的百分比）分别为44乐54%和2队则实验结果与麦克斯韦速率分布律很好地

符合。

三、密勒和库士实验

比较精确地验证麦克斯韦速率分布定律的实验是1955年进行的密勒一库什实验。实验

装置如图。

密勒一库什实验装置

整个装置都放在抽成高真空的容器内。实验时，圆柱体以一定的角速度3旋转，从加热

的蒸气源逸出后进入沟槽的分子中，只有那些沿轴向通过距离/所用时间恰好等于圆柱体转

动角度9所需时间的分子，即速率满足如下关系的分子才能沿着沟槽进入探测器：

或

而其它速率的分子都会先后沉积在沟槽的侧壁上。事实上，由于沟槽有一定的宽度，相当

于张角S有一定的偏差范围。实际进入探测器的分子的速率，将包含在的范围内。改变3的

大小，就能测出不同速率范围的钻分子射线强度，从而得到不同速率范围的分子数比率。

实验表明，如果根据实验条件对实验数据进行必要的拟合，那么实验结果与麦克斯韦速率

分布是符合得相当好的。

（此部分由学生课后自我阅读，查找相关资料，练习写小论文，论述用实验验证麦克斯韦

速度分布律的实验原理。）

§3.玻耳兹曼分布律重力场中微粒按高度的分布

授课思路：

麦克斯韦速度分布律一考虑分子按速度的分布（按动能分布）

在保守场中一考虑分子按空间分布（按势能分布）

特殊化特殊化

-＞玻耳兹曼分布律f分子按势能的分布律f重力场中气体分子按高度

各种速度重力场

分布的规律一等温气压公式一近似估算不同高度处的大气压强或判断上升高度

一、玻耳兹曼分布律

以下讨论玻耳兹曼把麦克斯韦分布律推广到分子在保守场（如重力场）中运动的情形。

由麦克斯韦速度分布律得：

将式中，用分子的动能表示，则上式变为:

如果把气体放在保守力场中，那么气体分子不仅有动能，而且还有势能。一般说来，

动能是速率的函数，即，而势能则是分子在空间位置坐标的函数，即。

因此，在有力场的情况下，如果我们既要考虑分子按速率的分布（即按动能分布），

也要考虑分子按空间的分布（即按势能分布），那么一个合理的考虑是，上式因子中的应

当用粒子的总的能量来代替。玻耳兹曼从这个观点出发，进一步运用统计物理学基本原理

得至I」，分子速度处于，，区间内，坐标处于*〜的空间体积元〃

内的分子数为

一一玻耳兹曼能量分布律

式中，〃成示在势能处单位体积内所含各种速度的分子数。

从上式很容易地看出，当气体的温度给定时，在确定的速度区间和坐标区域内，分子

数只取决于因子，称为概率因子。分子的能量越大，概率因子越小，分子数就越少。从统

计意义上看，这说明气体分子占据能量较低状态的概率，比占据能量较高状态的概率为大。

一般来说，气体分子占据基态（最低能量状态）的概率要比占据激发态（较高能量状态）

的概率大得多。

考虑归一化条件：

上式可写作：

表示分布在坐标区间*〜办，y—y+dy,z~z+dz内具有各种速度的分子总数。

分布在坐标区间x〜x+Moy〜y+dy,z〜内单位体积内的分子数：

——分子按势能的分布律（玻尔兹曼分布律的常用形式）

玻尔兹曼分布律对任何物质的微粒（气体、液体、固体的原子核分子、布朗粒子等）在任

何保守力场（重力场、电场）中运动的情形都成立。

二、重力场中微粒按高度的分布

气体分子受到无规则热运动和重力两种互相对立的作用，两种作用达到平衡时，气体

分子在空间作非均匀分布，分子数随高度减小。典型的例子就是地球周围的大气因受地球

重力场的作用，其分子数密度随高度升高而减小。由于压强，故压强也随高度减小。

根据玻耳兹曼能量分布律，可以推出气体分子在重力场中按高度分布的规律。取坐标轴Z

铅直向上，设z=0处单位体积内的分子数为％,则分布在高度为Z处体积元办:力力内的分子

数为：

而分布在高度/处单位体积内的分子数为：

把气体看作理想气体，则在一定温度下，其压强与分子数密度〃成正比：

得出等温过程中，压强随高度的变化关系：

一一等温气压公式

上式可用于近似地估算不同高度处的大气压强,因为在地面附近大气的温度是随高度变

化，只有在高差不大的范围内计算结果才与实际符合。

由上式可根据地面和高空处的压强与温度，来估算所在高空离地面的高度。

［课堂例题］P85课后作业

22、上升到什么高度处大气压强减为地面的75%?设空气的温度为0℃。

解：由题意知：，

23、设地球大气是等温的，温度为£=£。°C,海平面上的气压为0产75如加能，令测得某山

顶的气压0=59施泌fe,求山高。已知空气的平均分子量为28.97。

解：

・课后作业题：

课本P8521

§4.能量按自由度均