人教版九年级上册22、3实际问题与二次函数教案

1、22.3 实际问题与二次函数教学目标：1.能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决面积最大值问题；2.能根据实际意义求出自变量的取值范围；3.在探究二次函数的实际意义中学会分析问题，体会数学建模思想以及数学与生活的紧密联系性。教学重点：将实际问题转化为二次函数问题，并能用配方法或公式法求出顶点坐标。教学难点： 准确求出自变量的取值范围。教学准备： 多媒体教学过程设计：一、设计问题，创设情境师：八年级我们学习了一次函数，同学们回顾一下： 我们都是从哪些方面研究一次函数？学生回答师：类比一次函数的学习过程， 我们已经学习了二次函数的定义、图像与性质，本节课我们将要学习实际问题与

2、二次函数在正式学习新课之前， 请大家看下面问题：出示问题 1：用总长为 40m 的篱笆围成矩形场地，（1）怎样围成一个面积是75m2的矩形场地？（2）能否围成一个面积是150m2的矩形场地，若能，说出围法；若不能，说明理由。学生独立完成，教师巡视指导，完成后，学生讲解做法，教师适当引导，若存在问题，其他学生补充（3）设矩形一边的长度为xm，面积为 ym2，求矩形的最大面积。师生活动： 引导学生写出函数关系式， 教师出示函数图像， 学生结合图像求出矩形的最大面积追问：能否围成面积为130m2，80m2的矩形，你能马上判断出来吗？学生判断设计说明 ：学生在接触实际问题与二次函数之前，已经学习了实际

3、问题与一元二次方程， 从一元二次方程实际问题引入，学生比较容易接受， 另一方面也让学生体会到一元二次方程与二次函数之间的联系同时，通过解决此问题， 能使学生初步体会运用二次函数的知识解决实际问题的一般步骤二、信息交流，例题讲解在现实生活中，人们为了节省材料，常常借助墙作为花圃的一边，此时你能解决这个问题吗？问题 2：欲用长为 60m 的篱笆，围成一个矩形的花圃，花圃一面靠墙，怎样围才能使花圃的面积最大？最大面积是多少？师生活动： 学生尝试，教师巡视指导，若做题过程中存在困难，小组讨论；1 2学生尝试解答题目，初步形成做题思路如果存在不足或者错误的地方，其他同学给予补充或者改正，教师适当引导，如

4、果展示学生没有错误但巡视过程中存在共性的错误，注意及时纠正；3师生规范做题过程，教师板书过程；4学生修改完善做题教学预设： 学生设 ad 的长度为 xm；2.学生设 ab 的长度为 xm；3.学生用公式法求顶点坐标；4学生用配方法求顶点坐标以上预设，无论出现哪种情况都应该给予学生肯定，并鼓励学生根据具体问题以及自己对知识的掌握情况， 灵活选择学生在探求最大面积时部分学生可能会不易理解顶点的意义， 此时教师要注意结合图形进一步引导学生体会顶点的意义追问：通过刚才的题目，你能概括用二次函数求面积最大问题的一般步骤吗？学生总结，要存在不足，教师引导。设计说明： 通过问题 1（3） ，学生已经对该类问

5、题有了大致的了解，首先让学生自己独立尝试， 之后合作交流，一方面给了学生自主学习的机会， 另一方面，学生通过做题可以意识到自己在做题过程中存在的问题。通过追问，让学生明确此类题目的一般解法，规范做题步骤。三、变式演练，对比学习师：在现实生活中，墙的长度不是往往是有限制的，如果墙长为20m，你还能围成面积最大的矩形吗？大家尝试一下师生活动： 1.教师出示问题，学生尝试；2.如果存在问题，小组内进行讨论；3.师生分析解题过程。设计说明： 在求面积最大问题中，应该有两种情况：1.顶点取值在自变量的取值范围内； 2.顶点取值不在自变量的取值范围内通过追问，让学生接触第二种情况，并且对前一道题目进行改编

6、，能形成很好的对比， 从而让学生体会实际问题的复杂多样性，同时培养学生综合观察，分析，解决问题的能力思考：对比例题与变式中的题目，你有什么收获？师生活动： 学生自己归纳，若存在问题，教师引导学生由具体例题出发，进行归纳，若不完善，其他同学进行补充。设计说明： 根据新课标要求，课堂不应该是单纯的教师教，学生学，学生通过自己进行归纳，不仅能进一步明确做题过程，而且相对于老师直接给出归纳，更有利于学生进行理解与掌握。对比两个题目，能更明显的提醒学生在求最大（小）值问题时，优先考虑能否在顶点处取得。四、巩固训练，当堂检测1.某地区要建一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长14m） ，如果用50m 长的

7、栅栏围成该养鸡场，设靠墙的栅栏长度为xm，则 x 的取值范围是。设计说明： 本节课中， 自变量的取值范围作为一个难点，学生经常考虑不全面，通过练习，进一步培养学生全面分析问题的能力2 2.如图，有长为30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为18m） ，围成中间隔有一道篱笆 （平行于） 的矩形花圃，请求出矩形花圃的最大面积。设计说明： 通过练习，举一反三，进一步巩固本节课的学习内容 ，再次体会用二次函数相关的数学知识来解决实际问题，加深对二次函数的认识师生活动：1.教师出示问题，学生独立完成2.学生根据问题答案小组内互批，交流，并改错设计说明 :本环节放在小结前，起到练习，检测双用的效果，

8、前面学生已经思考了用二次函数解决实际问题的一般过程，并且接触了相关内容。 让学生带着相关知识独立完成， 在巩固本节课知识的基础上， 能够很好的检测学生在本节课的学习情况，同时采取小组内互批的形式， 一方面及时纠正在学习中存在的问题，另一方面有利于学生在发现别人问题的同时提醒自己，加深学生对题目的理解。四、反思小结，观点提炼我的收获（知识，方法）；我出现的错误；我应注意；学生对照练习反思，交流；教师注意在学生反思的基础上适时点拨，归纳到已有知识体系中设计说明： 通过谈收获，使学生梳理本节所学知识，在梳理的过程中，找出自己出现的错误， 并及时反思自己自己做题过程中应注意的问题，既能让学生很好的发现

9、自己的不足， 及时改正， 也能通过在班内共交流， 提醒其他学学习中容易出现的失误五、推荐作业，分层演练：必做题：1.课本 51页第 1 题2.用长 20m 的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子(墙长 12m） ，求园子的最大面积是多少？选做题：用一段长为 40米的篱笆围成一边靠墙的草坪，墙长 16 米，当这个矩形的长和宽分别为多少时，草坪面积最大？最大面积为多少？课外实践： 寻找你身边与本节课相关的问题,自编一题 ,组内交流 .。课题：二次函数y=ax2的图象和性质一、 教学目标1. 会利用描点法作出二次函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质；2. 经历画二次函数y=

10、x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验；3. 培养学生利用数形结合的思想研究二次函数y=ax2的图象、 性质，提高学生观察、 分析、比较、概括等能力. 3 二、 教学重难点1. 教学重点：二次函数2axy的图象的作法和性质；2. 教学难点：根据图象认识和理解二次函数表达式与图象之间的联系. 三、教学过程设计( 一) 、复习导入 1. 二次函数的一般形式是什么？ 2. 画函数图像的一般步骤： (1) (2) (3) （二） 、新知探究1函数 y=ax2 的图象画法及相关名称【探究 l 】画 y=x2 的图象学生动手实践、尝试画y=x2的图象教师分析，画图像的一般步骤：列表描点

11、连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图 22-1-1. 【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：形状是开口向上的抛物线图象关于 y 轴对称由最低点，没有最高点 . 结合图象介绍下列名称：顶点；对称轴；开口及开口方向. 2函数 y=ax2的图象特征及其性质4 【探究 2】在同一坐标系中，画出y=x2，y=2x2的图象 . 学生自己完成此题 . 教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象. 如图 22-1-2 比较图中三个抛物线的异同. 相同点：顶点相同，其坐标都为（0，0）. 对称轴相同，都为y 轴开口方向相同，它们的开口方向都向上. 不同

12、点：开口大小不同 . 【练一练】画函数 y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象 .（分析：仿照探究 1 的实施过程）比较函数 y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象 . 找出它们的异同点. 相同点：形状都是抛物线. 顶点相同，其坐标都为（0，0）. 对称轴相同，都为y 轴开口方向相同，它们的开口方向都向下. 不同点：开口大小不同 . 【归纳】 y=ax2的图象特征：(1) 二次函数 y=ax2的图象是一条抛物线(2) 抛物线 y=ax2的对称轴是 y 轴. 顶点时原点 .a0 时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点 .a0，点 (m+1，y1)、 (m+2，y2)、(m+3，y3)在抛物线241xy上，则 y1、 y2、y3的大小关系是。（四）课堂练习，夯实新知1、若抛物线26xy上点 p 的坐标为 (2，a)，则抛物线上与p 点对称的点p的坐标为。2若二次函数 yax2的图象过点（ 1，2） ，则 a的值是 _ 3二次函数 y(m1)x2的图象开口向下，则m_4如图， yax2 ybx2 ycx2 ydx2 比较 a、b、c、d的大小，用“”连接（五）小结拓展，回味新知你认为今天这节课最需要掌握的是。教师将引导学生从知识、方法、 数学思想三方面来谈一谈这节课的收获，要求学生在组内交流后派代表发言. （六）课后作业，巩固