《线性代数》教案教案整本书全书电子教案

《线性代数》教案

编号:

课时安排：2学时教学课型：理论课4实验课口习题课口其它口

题目：第一章行列式

§1.1二阶、三阶行列式§1.2n阶行列式

教学目的要求：

使学生掌握二、三阶行列式的定义及计算方法；理解逆序数的定义及计算方法

教学重点、难点：

二、三阶行列式的定义及计算方法；逆序数的计算方法

教学方式、手段、媒介：

讲授，多媒体、板书

教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）

导入（10分钟）本章主要内容和知识点

新授课内容（75分钟）

二、三阶行列式的定义

一、二阶行列式的定义

从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。

用消元法，当为的2-。的尸0时，解得/=叫2"也丁2'

-dy।ci।]a22

令a''12=%02-q2a21，称为二阶行列式，则

以11自

瓦al2

力2以22以21%

aaa

以11Unn

a21a22的1a22

如果将D中第一列的元素%i，%]换成常数项"，为,则可得到另一个行列式，用字

母2表示,于是有

b?。22

按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：仇外2-打。21，这就是公式（2）中马的表达

式的分子。同理将。中第二列的元素a⑵a22换成常数项匕,儿，可得到另一个行列式,

用字母2表示,于是有

D2=

%b2

按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：也，这就是公式（2）中々的表达

式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为

［_D}

<D其中。彳0

x—―-

I2D

3工］-2X2=12

例L解线性方程组V

2尢］+x2=1

%内+412X2+43X3=4

同样,在解三元一次方程组卜2内+%2》2+。23%3=瓦吐要用到“三阶行列式”，这里

。311］+。32工2+。33工3=

可采用如下的定义.

二、三阶行列式的定义

。］西+ai2x2+at3x3=bt

设三元线性方程组{。2丙+a22X2+。23%3=82

。31再+a32x2+a33x3=b3

用消元法解得

v_4为吆+%以230+以1也以32一4以23%2一也以33一演叼用

工1二

。11，22«33+，2以23%1+演々21以32一，1«23%2一以12以2/33一々13他2%

〜_，@2%3+可仪23%1+白13以2也一以11叼3务一4以21白33一以13&2的1

X

2=；

“1口22433+乙12a23a31+以口%]%2一"11电3a32一212白21233—々13%2。31

+"12^a"31+^1421々32411'2d32一022031

工3二；；；；

011022%3+以12423%1+以13以21以32—%以23%2一以12。21%3一，3以22%1

定义设有9个数排成3行3列的数表

a\I"12。13

。21。22。23

。31。32。33

a

\\。12。13

记。=%1%2%3="”出2%3+42。23a31+《3生1%2-。|3a2必|一%1生3。32-，2。2口33,称为二阶行

。31。32。33

12-4

例2.计算三阶行列式。=-221.(-14)

-34-2

—2x+y+z=-2

例3.解线性方程组尤+y+4z=0.

3x-7y+5z=5

解先计算系数行列式

-211

D=114=一10+12-7-3-56-5=-69/0

3-75

再计算D{,D2,D3

-211-2-21-21-2

2=014=-51>D2=104=3PD,=110=5

5-753553-75

17D,31_D_5

得X尤—-—2=—,y=—=---Z,z--3-------

D23D69D69

全排列及其逆序数

引例：用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复的三位数？

一、全排列

把n个不同的元素排成一列，叫做这〃个元素的全排列(简称排列).

可将〃个不同元素按1~〃进行编号，则〃个不同元素的全排列可看成这"个自然数

的全排列.

〃个不同元素的全排列共有〃!种.

二、逆序及逆序数

逆序的定义：取一个排列为标准排列,其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这

两个元素的次序相反时，则称有一个逆序.

通常取从小到大的排列为标准排列，即1~〃的全排列中取123…(〃-1)〃为标准排列.

逆序数的定义：一个排列中所有逆序数的总数称为这个排列的逆序数.

逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列,标准排列规定为

偶排列.

例1:讨论1,2,3的全排列.

全排列123231312132213321

逆序数022113

奇偶性偶奇

逆序数的计算：设PS?…P”为123…（〃-1）〃的一个全排列，则其逆序数为

2+…小

/=1

其中号为排在P,前，且比P,大的数的个数.

定理1任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。

定理2n个数码（n>l）共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半。

总结（5分钟）

讨论、思考题、作业：

教学总结:

《线性代数》教案

编号：

课时安排:2学时教学课型：理论课d实验课口习题课口其它口

题目：第一章行列式

§1.2〃阶行列式的定义（续）

教学目的要求：

掌握〃阶行列式的定义

教学重点、难点：

〃阶行列式的定义，特殊行列式的计算公式

教学方式、手段、媒介：

讲授，多媒体、板书

教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）

复习（5分钟）

新授课内容（80分钟）

回顾二阶,三阶行列式的共同特点.

.a”

二阶行列式=即电2-62a21

〃2ia）?

许al2

=41°22—%2a21=Z（—1）。1仍402・

442-

其中：①pm是1,2的全排列，②f是P/2的逆序数，③Z是对所有1,2的全排列求

和.

三阶行列式

Da)।a-yaci11a2)la〔)aa311ci13d,1^^323^^22^^3]^Zj।d-y^a-^^ay,a?।a-^^

。31。32。33

其中:①PlP2P3是1,2,3的全排列,②t是PiP2P3的逆序数,③Z是对所有1,2,3的全排

列求和.

=E(—1)Z—“•

。31。32。33

其中:①P1P2…P”是1,2,…，〃的全排列，②/是P1P2…P”的逆序数，③Z是对所有

1,2,…，〃的全排列求和.

板书给出n阶行列式语言定义和计算定义：

“11

a21

举例进行练习

〃阶行列式的等价定义为:

〃阶行列式的等价定义为:

特殊公式1:

特殊公式2：

下三角行列式

总结（5分钟）

讨论、思考题、作业:

教学总结:

《线性代数》教案

编号:

课时安排：2学时教学课型：理论课4实验课口习题课口其它口

题目：第一章行列式

§1.3行列式的性质

教学目的要求：

掌握九阶行列式的性质，会利用〃阶行列式的性质计算〃阶行列式的值；

教学重点、难点：

行列式的性质

教学方式、手段、媒介：

讲授，多媒体、板书

教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）

复习（5分钟）

新授课内容（80分钟）

转置行列式的定义

%洵…%…%

记«22DT=al2a22...%⑺，）

••••••・•••・•

a

n\a“2•••anna]na2n…anil

行列式D'称为行列式。的转置行列式（依次将行换成列）

一、〃阶行列式的性质

性质1:行列式与它的转置行列式相等.

由此知，行与列具有同等地位.关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然.

以巴表示第i行，c,表示第4列.交换i,j两行记为c。，交换i,J两列记

作q—Cj.

性质2：行列式互换两行（列），行列式变号.

推论：行列式有两行（列）相同，则此行列式为零.

性质3：行列式的某一行（列）的所有元素乘以数上等于用数人乘以该行列式.

推论1：行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外.

推论2：行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.

性质4：若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行

列式之和.

即…(即+

%24Jain

a2i)…a2n

[Q),,,,+

即若:::,

a„l4,2…(“+a'm)•••ann

a\\a!2a\i•••Cl\na\\a\2J•…

a221"a2i,1,a2na2\a22",a2ia2n

则D=+

-*…a

a屁ania„nan\an2.•111t

性质5：把行列式某一行（列）的元素乘以数h再加到另一行（列）上，则该行

列式不变.

二、〃阶行列式的计算：

2-512

-37-14

例1.计算。=

5-927

4-612

2-5121-5221-522

-37-14-17--34乃+“02-16

解：D=——

5-9272-957可必0113

4-6121-6420-120

1-5221-522

/s+2/

400360-120

-9・

r3+r400330030

0-1200003

abbb。+3/7〃+3〃4+3ba+3b

babbabh

例2.D=

bbabbbab

bbbClbbba

111111111

八X-

ci+3bhahh0ci-b00

(a+3b(Q+3b)

bbabj=2,3,400a-b0

hbhCl000a-

=(a+3b)(a-b)-

(推广至九阶，总结一般方法)

p+qq+rr+pPqr

例3.证明：Pi+/5+64+Pi=2Piq、4

〃2+%r

q2+2r2+p2Pi%Y?

q+rr+pqq+rr+p

第一列p

证明：左端嬴Pl%+44+Pi+1%+66+Pi

Pi%+〃々+P2%%+为4+P2

Pqr

2Pi%4

Pi%r2

例4.计算2〃阶行列式.

ab

b

{ad-bc\

（利用递推法计算）

例5.D

D=det(%.)

],D2=det(Z>.)=

则D=D,D2.

总结（5分钟）

讨论、思考题、作业:

教学总结：

《线性代数》教案

编号：

课时安排:2学时教学课型：理论课才实验课口习题课口其它口

题目：第一章行列式

§1.4行列式按行（列）展开

教学目的要求：

了解余子式和代数余子式的概念；掌握行列式按行（列）展开；

教学重点、难点：

行列式按行（列）展开

教学方式、手段、媒介：

讲授，多媒体、板书

教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）

复习（5分钟）

新授课内容（80分钟）

定义在〃阶行列式中，把元素%所处的第，行、第/列划去，剩下的元素按原排列

构成的〃-1阶行列式，称为%的余子式，记为%；而称为％的代数余子

式.

引理如果〃阶行列式中的第，•行除％外其余元素均为零，即：

玛••••••4.

D=0…a.0•则:D='&.

"•a.•••ann

定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和,

即

按行：a,.1Ayl+a,.2A72+---+a,,A;„=O（i工力

按列：+,••+««,A/=0（'*力

举例讲解并练习

范德蒙行列式

11­••1

玉元2…X〃

D.=国2只…片

=n>ni>j>\(…

<'…镇

其中，记号“口”表示全体同类因子的乘积.

定理的推论行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子

式乘积之和为零，即a,.+ai2Aj2+•••+ainAjn=0（zj）

按列：auA\j++•••+aniA„j=0(ix/)

结合定理及推论，得

Id)

EhkAjk'kjD5g,,其中介=«

ogj)’

总结（5分钟）

讨论、思考题、作业:

教学总结:

《线性代数》教案

编号：

课时安排:2学时教学课型：理论课d实验课口习题课口其它口

题目：第一章行列式

§1.5克莱姆法则

教学目的要求：

了解克拉默法则的内容，了解克拉默法则的证明，会利用克拉默法则求解含有几个未

知数九个方程的线性方程组的解；

教学重点、难点：

克拉默法则的应用

教学方式、手段、媒介：

讲授，多媒体、板书

教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）

复习（5分钟）

新授课内容（80分钟）

研究对象：含有〃个未知数元］,々，…,工”的〃个方程的线性方程组

a]]x]+a]2x2+・・・q〃了〃=仇

。21占+。2212+・一。2〃％2=b?

(1)

斯内+an2x2+-amxn=bn

与二、三元线性方程组相类似,它的解可以用〃阶行列式表示.

定理1（Cramer法则）如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即

a\\…a\n

D............工0,

an\…

则方程组（1）有且仅有一组解：

其中D2=1,2,...,〃）是把系数行列式。中的第/列的元素用方程组右端的常数列代

替，而其余列不变所得到的〃阶行列式

"%&

”,%am

当々也，…,么全为零时，即

a^+al2x2+---alnxn=0

。21%]+。22工2+,••。2”12=0

<

a„lxl+an2x2+---a„nxn=0

称之为齐次线性方程组.显然,齐次线性方程组必定有解（2=0,々=0,...,/=0）.

根据克拉默法则，有

1.齐次线性方程组的系数行列式。H0时，则它只有零解（没有非零解）

2.反之，齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式£>=（）.

例1.求解线性方程组

2再+x)-5X3+/8

--6;q=9

2匕F卜2%=-5

XFX

W+42-7毛64=0

解:系数行列式

21-51

-33

1-30-6—=27H0

D=

02-12-7-2

20-10

同样可以计算

81-5128-51

9-30-6190-6

2==81—=-108

-52-12()-5-2

04-7610-76

218121-58

1-39-61-309

3==-276==27,

。02-5202-1-5

140614-70

所以M=2=3,x,=乌=D

-4X-i=—-1,匕=—=1.

D-DDD

注意：

1.克莱姆法则的条件：〃个未知数，几个方程，且。。()

2.用克莱姆法则求解方程组运算量大一般不采用它求解方程组。

3.克莱姆法则具有重要的理论意义。

4.克莱姆法则说明线性方程组的解与它的系数、常数项之间的依存关系.

例2.用克拉默法则解方程组

3%+5x,+2X3+儿=3,

3X2+4X4=4,

+x2+x3+x4=11/6,

x]-x2-3X3+2X4=5/6.

例3.已知齐次线性方程组

(5-2)x+2y+2z=0

<2x+(6-2)y=0

2x++(4-A)z=0

有非零解，问4应取何值?

解系数行列式

£>=（5-2）（2-^）（8-2）

由：D—0，得4=2、4=5、2=8.

总结（5分钟）

讨论、思考题、作业：

教学总结:

《线性代数》教案

编号：

课时安排:2学时|教学课型：理论课卜实验课口习题课口其它口

题目：第二章矩阵

§2.1矩阵的概念§2.2矩阵的运算§2.3〃阶矩阵（方阵），方阵的行列式

教学目的要求：

了解矩阵的概念；掌握矩阵的运算

教学重点、难点：

矩阵的概念和矩阵的运算

教学方式、手段、媒介：

讲授，多媒体、板书

教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）

导入（10分钟）本章主要内容和知识点

新授课内容（75分钟）

一、矩阵的定义

称山行、〃列的数表

a}2

a22

为机X”矩阵，或简称为矩阵；表示为

或简记为A=(%)“⑼，或A=(他)或Amxn；其中a-.表示A中第，行，第/列的元素0

其中行列式D="21"22-"2”为按行列式的运算规则所得到的一个数；而

••••••••••••

a,,.\a„.2an,n

"X"矩阵是〃7X〃个数的整体，不对这些数作运算。

例如I,公司的统计报表,学生成绩登记表等,都可写出相应的矩阵。

设A=(%)“*“，8=(%.),“*“都是加x〃矩阵，当

i=1,2,…，根；）=1,2,■■■,»

则称矩阵A与3相等，记成A=3。

二、特殊形式

〃阶方阵：矩阵

行矩阵：lx〃矩阵(以后又可叫做行向量)，记为

A=(at,a2

列矩阵：〃2X1矩阵(以后又可叫做列向量)，记为

A2

B=：

零矩阵：所有元素为0的矩阵，记为。

矩阵的运算

一、加法

设A=(%),,„(“，3=(%)”,*“，都是机x〃矩阵,则加法定义为

/卬|+々1ai2+bl2•••《“+仇“、

4D_a2\+821a22+%2a2n+^2«

/I~rZ?—

/向+仇“|",”2+2,2,,,

显然，

®A+B=B+A,②(A+B)+C=A+(B+A)

二、数乘

设4是数，A=(%)”,x“是机X”矩阵，则数乘定义为

'而]]Acil2・・•九乙”、

九/笛•,•

AA=

、久,"1助,”2…血叫

显然

①(4/)A=;L(〃)A,②(x+)I)A^AA+/JA,(3)2(A+B)=^4+2B

三、乘法

设A-B=(&《“，则乘法定义为

AB=C

其中C=(%.),,*“

1,2,…，加

Cij=aMj+%2b2j+…=£火山处

k=\=1,2,…,〃

注：两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；乘积矩阵的行数为前

一个矩阵的行数,列数为后一个矩阵的列数；乘积矩阵的第，行，第j列元素为前一个矩

阵的第i行元素与后一个矩阵的第，行元素对应相乘再相加。

'410、

103-113

例：设A=B,则

202201

、134,

’40、

103-1-113

AB=

210220I

34,

lx4+0x(-l)+3x2+(-l)xllxl+0xl+3x0+(-l)x31X0+0X3+3X1+(-1)X4、

2x4+lx(-l)+0x2+2xl2xl+lxl+0x0+2x32x0+lx3+0xl+2x4,

9-2-1

9911

-2424

例:设A=，B,求48及BA。

1-2-3-6

-2424-16-3224-2400、

解：AB=，BA=

-2人-3-6、816-3-61-200,

由此发现：（1）AB^BA,（不满足交换律）

（2）Aw。，B手0,但却有84=0。

一个必须注意的问题：

1.若人…A*,,,则A,“x,%成立，当加时，纥““A,”.,不成立;

2.即使4*,.,则是m阶方阵，而纥*“,4*,是〃阶方阵;

，-24、

3.如果A,B都是〃阶方阵，例如A

、1-27

-16-3200

AB,而BA=

、81600

综上所述，一般AB^BA（即矩阵乘法不满足交换率）。

下列性质显然成立:

（AB）C=A（BC）,②=（X4）B=A（2B）,

A（B+C）^AB+AC,（B+C）A^BA+CA

几个运算结果:

向+a2b2+...+anbn；

'岫ab・

e、}2••他、

b2aih\ab•-a2bn

2.22

a,,b2-,,怎切

3.若A为mx/矩阵，/是机阶单位阵，则£4=4；若/是〃阶单位阵，则A/=A；

4.线性方程组的矩阵表示:

%内+%2尤2+…％,产”=白

xh

七内+a222—aIn=2

h

4"Mi+a,"2%2+3a,”,d"=m

/\

a\\a\2••,6.、1项

a2\。22°••a2n%%

A=,x二,b=

X3m>

am2c•­•amn,<n>

则Ax-b

矩阵的幕：A2=A4,A3=A42,---,A“=A4"T.

四、转置

a\\a\2…即?'a\\a2\…

a2\a22…a2na\2a22.**an2

设A=,记4,=

•・•••••«•«••

、心凡2…a”n,9〃a2n…—

则称”是A的转置矩阵。

显然，

T1

（Ar）T=A,②（A+Bf=A+B一，（3）（M,=AAT,(4)(AB)r=BTATo

五、方阵的行列式

A为〃阶方阵，其元素构成的〃阶行列式称为方阵的行列式,记为阈或detA。

结论,[=网，②.[=下国，③H耳=阿忸|。

总结（5分钟）

讨论、思考题、作业：

教学总结:

《线性代数》教案

编号:

课时安排:2学时|教学课型：理论课卜实验课口习题课口其它口

题目：第二章矩阵

§2.4几种特殊的矩阵

教学目的要求：

掌握几个〃阶特殊矩阵的定义和性质

教学重点、难点：

三角形矩阵和对称矩阵的相关定义和结论

教学方式、手段、媒介：

讲授，多媒体、板书

教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）

复习（5分钟）

新授课内容（80分钟）

对角阵：对角线元素为4,4，…,（，其余元素为。的方阵，记为

X

=diag（4,4「・，4）

<4/

结论：同阶对角阵的和、数乘、乘积仍是同阶对角矩阵

'a、

数量矩阵：4=。,

结论：同阶数量阵的和、数乘、乘积仍是同阶数量矩阵

单位阵：对角线元素为1,其余元素为0的方阵，记为

1、

1

/=・.

1

\4）

三角形矩阵：

%

。12

0

上三角形矩阵A=。22

\00

%0

a22

下三角形矩阵A=

\aH.lan2

同阶同型三角阵的和、数乘、乘积仍是同阶同型三角矩阵

对称矩阵:若矩阵A满足"=A（即。,=%），则称4是对称阵

结论：设A是，〃x〃矩阵,则47是n阶对称阵，A*是m阶对称阵.

结论：数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵，但是对称矩阵的乘积未必对称。

两个同阶对称矩阵，当且仅当二者可交换时，乘积才是对称矩阵。

总结（5分钟）

讨论、思考题、作业：

教学总结:

《线性代数》教案

编号:

课时安排:2学时|教学课型：理论课卜实验课口习题课口其它口

题目：第二章矩阵

§2.5分块矩阵

教学目的要求：

掌握矩阵分块的运算和相关性质

教学重点、难点：

矩阵分块的运算

教学方式、手段、媒介：

讲授，多媒体、板书

教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）

复习（5分钟）

新授课内容（80分钟）

引例：设

1]%2〃13“14

A=21Cl22。23〃24

a31〃32〃33。34,

可按以下方式分块,每块均为小矩阵:

a\Ia\2^13^14

Ai=，A2|=（“31。32）'A22=（。33。34），

~21a22'A2

\^23夕247

4%

则A-

、421A??

矩阵分块法是用若干条横线和若干条竖线将矩阵分割成几个小矩阵。

矩阵分块法的运算及运算性质:

1.加法:

4,.、当稣1

设A=,B=

A।）

l纥i…B、J

A,.+

则A+B

、4+纥।A.,|+8,|,

2.数乘:

A.A/•­"AA"'

设A-…，/l是数,则24...........................

14Ai>••^,vl>

3.乘法:

fA.•..A/为,•-5八

.・・.................，^Ixm~••••

设A„x/=,则A”*/Blxn=Cmxn

㈤・

・・A.'St7"B",

%C、

其中c=…，C==ZAikBkj,i=1，2

k-\

0CJ

4.转置:

'A%

（AC”.../IA]/\

设A=...........则A'=1••

、A，“

AAvr>

5.对角分块的性质：

A

设A=2.1,其中44「.，4均为方阵，则同=闾也卜.,阂。

、2

几个矩阵分块的应用:

1.矩阵按行分块：

设4=02'U~%"，记=（即,《2,，…，％,）N=1，2,…加，

•••••••••・・・

”“Ia,"21,,生,〜

则4=

矩阵按列分块:

则A=（卬，。2,,…,％）。

2.线性方程组的表示:

%西+%2*2+…％“%”=仇

a2lx}+a22x2+■••a2nxn-b2

设i

8”内+%,2*2+…区”"招

《2,叩

a2\a22,，，a2n无2包

若记A=,x=,b二

a„,2,•.%

则线性方程组可表示为Ax=b.

总结（5分钟）

讨论、思考题、作业：

教学总结:

《线性代数》教案

编号：

课时安排:2学时|教学课型：理论课J实验课口习题课口其它口

题目：第二章矩阵

§2.6逆矩阵

教学目的要求：

掌握逆矩阵、伴随矩阵的定义和性质；能够利用公式计算逆矩阵

教学重点、难点：

逆矩阵概念和计算

教学方式、手段、媒介：

讲授，多媒体、板书

教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）

复习（5分钟）

新授课内容（80分钟）

一、逆矩阵定义设4为〃阶方阵，若存在一个〃阶方阵8,使得

AB=BA=I,

则称方阵A可逆,并称方阵B为A的逆矩阵,记作A-'=B,

若C4=AC=/,则C=A-

性质1若X存在,则A-1必唯一.

性质2若A可逆，则AT也可逆，且

性质3若A可逆,则A可逆,且（4尸=（A-'j

性质4若同阶方阵A、B都可逆，则AB也可逆，且（AB）-'

二、逆阵存在的条件及逆阵的求法

定义.由A=的行列式

a\\a\2…a\n

加卜。21a22,一a2n

an2…ann

中元素％的代数余子式=构成的〃阶方阵，记作A*,即

"A]A2[A3

4*='42-品称为4的伴随矩阵.

•••••«••«•••

A2nA»,>

定理方阵A=O“可逆=小0且A-'

推论设4为〃阶方阵，若存在〃阶方阵使得AB=/,（或B4=/）,则B=AT。

注：求4T时，只需要验算A6=/,计算量减半。

'32P'-132'

例.判断下列方阵A=122B=-11151是否可逆？若可逆，求其逆

343;、一33f

阵。

解：；网=一2。0,恸=0,所以B不可逆，A可逆，并且

三、用逆矩阵法解线性方程组

例:解线性方程组

3玉++七=1

%]+2%+2七=2

3再+4X2+=3

’32r'2'

二

解：其矩阵式为122x22

343

因

四、分块矩阵的逆矩阵

’4

结论：若A=可逆，则=

AJ\

结论：设x=「O、"A-10\

,A,C为可逆方阵，则XT=

a<-C'BA：1C-IJ°

总结（5分钟）

讨论、思考题、作业:

教学总结:

《线性代数》教案

编号：

课时安排:2学时|教学课型：理论课J实验课口习题课口其它口

题目：第二章矩阵

§2.7矩阵的初等变换

教学目的要求：

了解矩阵的三种初等变换，熟悉初等矩阵的定义，掌握矩阵初等变换与对应初等矩

阵运算上的关系，能够将给定的矩阵利用初等变换化简成阶梯形，标准形；掌握利用初

等变换求逆矩阵的方法

教学重点、难点：

矩阵的初等变换，利用初等变换求逆矩阵

教学方式、手段、媒介：

讲授，多媒体、板书

在本章的§2.6节中给出了矩阵可逆的充分必要条件，并同时给出了求逆矩阵的一种

方法一一伴随矩阵法.但是利用伴随矩阵法求逆矩阵，当矩阵的阶数较高时计算量是很

大的.这一节将介绍求逆矩阵的另一种方法一一初等变换法.为此我们先介绍初等矩阵

的概念，并建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系.

一、初等变换

1）交换矩阵的某两行的位置；

2）用一个非零的数去乘矩阵的某一行；

3）用一个数乘某一行后加到另一行上.

这三种变换称为矩阵的初等行变换.类似地，有

r交换矩阵的某两列的位置；

2,）用一个非零的数去乘矩阵的某一列；

3'）用一个数乘某一列后加到另一列上.

1'）,2,），3'）称为矩阵的初等列变换.矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换

统称为矩阵的初等变换.

定义1由单位矩阵/经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.

显然，初等矩阵都是方阵，并且每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵.

互换矩阵/的第/.行（列）与第J行（列）的位置，得

1