空间几何体及棱柱、棱锥的结构特征

1、1.1 空间几何体空间几何体第二课时第二课时棱柱、棱锥的结构特征棱柱、棱锥的结构特征 问题提出问题提出 1. 1.在平面几何中，我们认识了三角形，在平面几何中，我们认识了三角形，正方形，矩形，菱形，梯形，圆，扇形正方形，矩形，菱形，梯形，圆，扇形等平面图形等平面图形. .那么对空间中各种各样的几那么对空间中各种各样的几何体，我们如何认识它们的结构特征？何体，我们如何认识它们的结构特征？ 2. 2.对空间中不同形状、大小的几何体对空间中不同形状、大小的几何体我们如何理解它们的联系和区别？我们如何理解它们的联系和区别？知识探究（一）：知识探究（一）：空间几何体的类型空间几何体的类型 思考思考1 1

2、：在我们周围存在着各种各样的物在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分体，它们都占据着空间的一部分. .如果我如果我们只考虑这些物体的们只考虑这些物体的形状和大小形状和大小，而不，而不考虑其他因素，那么由这些抽象出来的考虑其他因素，那么由这些抽象出来的空间图形就叫做空间图形就叫做空间几何体空间几何体. .你能列举那你能列举那些空间几何体的实例？些空间几何体的实例？思考思考2 2：观察图片，图片中的物体具有怎样的观察图片，图片中的物体具有怎样的形状？日常生活中这些物体的形状叫什么？形状？日常生活中这些物体的形状叫什么？观察、分析结构特观察、分析结构特征之要点：征之要点：注意注意它

3、与它与 平面图形的联平面图形的联系；系；注意观察组注意观察组成几何体的每个面成几何体的每个面的特点；的特点；注意观注意观察面与面之间的联察面与面之间的联系系.思考思考3 3：图（图（2 2）（）（5 5）（）（7 7）（）（9 9）（）（1313）（1414）（）（1515）（）（1616）有何共同特点？这）有何共同特点？这些几何体可以统一叫什么名称？些几何体可以统一叫什么名称？多面体多面体特点：每个面每个面都是平面图形都是平面图形,并且都是平面并且都是平面多边形多边形(包括它的内部的平面部分)。思考：思考：一般地，怎样定义多面体？围成一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多边形，相邻两个多

4、边形多面体的各个多边形，相邻两个多边形的公共边，以及这些公共边的公共顶点的公共边，以及这些公共边的公共顶点分别叫什么名称？分别叫什么名称？面面顶点顶点棱由若干个平面由若干个平面多边形围成的多边形围成的几何体叫做几何体叫做多多面体面体 .思考思考4 4：图（图（1 1）（）（3 3）（）（4 4）（）（6 6）（）（8 8）（1010）（）（1111）（）（1212）有何共同特点？这）有何共同特点？这些几何体可以统一叫什么名称？些几何体可以统一叫什么名称？旋转体旋转体特点：组成它组成它们的面不全是们的面不全是平面图形平面图形。思考：思考：一般地，怎样定义旋转体？一般地，怎样定义旋转体？轴 由一个

5、平面图形绕它所在平面内的由一个平面图形绕它所在平面内的一条一条定直线定直线旋转所形成的封闭几何体旋转所形成的封闭几何体叫做叫做旋转体旋转体 思考思考5 5：如果将这些几何体进行适当分类，如果将这些几何体进行适当分类，你认为可以分成那几种类型？你认为可以分成那几种类型？图中的物体大体可分为两大类： 1、多面体、多面体. 2、旋转体、旋转体 知识探究（二）：知识探究（二）：棱柱的结构特征棱柱的结构特征 思考思考1 1：我们把下面的多面体取名为我们把下面的多面体取名为棱棱柱柱，你能说一说棱柱的结构有那些特征，你能说一说棱柱的结构有那些特征吗？据此你能给棱柱下一个定义吗？吗？据此你能给棱柱下一个定义吗

6、？ 1 1、有两个面互相平行有两个面互相平行，2 2、其余各面都其余各面都是四边形是四边形，3 3、每相邻两个四边形的公共每相邻两个四边形的公共边都互相平行边都互相平行，由这些面围成的多面体，由这些面围成的多面体叫做叫做棱柱棱柱. . 思考思考2 2：为了研究方便，我们把棱柱中两个互为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的相平行的面叫做棱柱的底面底面，其余各面叫做，其余各面叫做棱柱的棱柱的侧面侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶顶点点. .你能指出上面棱柱的底面、侧面、侧棱、你能指出上

7、面棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？顶点吗？侧面侧面顶点顶点侧棱底面底面思考思考3 3：下列多面体都是棱柱吗？如何在下列多面体都是棱柱吗？如何在名称上区分这些棱柱？如何用符号表示？名称上区分这些棱柱？如何用符号表示？ABCDEA1B1C1D1E1ABCA1B1C1ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1 棱柱的任何两个平行平面都可以作为棱柱的任何两个平行平面都可以作为棱柱的底面吗？棱柱的底面吗？ 答：不是答：不是思考思考4 4：棱柱上、下两个底面的形状大小棱柱上、下两个底面的形状大小如何？各侧面的形状如何？如何？各侧面的形状如何？两底面是全等的多边形两底面是全等的多边形,各侧面都是平行四

8、边形各侧面都是平行四边形,侧棱平行且相等侧棱平行且相等思考思考5 5：有两个面互相平行，其余各面都有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？思考思考6 6：一个棱柱至少有几个侧面？一个一个棱柱至少有几个侧面？一个N N棱柱分别有多少个底面和侧面？有多少棱柱分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？条侧棱？有多少个顶点？DABCEFFAEDBC 思考：倾斜思考：倾斜后的几何体还是后的几何体还是棱柱吗？棱柱吗？棱柱的分类：棱柱的分类：棱柱的底面可以是三角形、四边棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、形、五边形、 我们把这样的棱柱分别

9、叫我们把这样的棱柱分别叫做做三棱柱、四棱柱、五棱柱、三棱柱、四棱柱、五棱柱、 三棱柱三棱柱四棱柱四棱柱五棱柱五棱柱1 .用平行的两底面多边形的字母表示棱柱用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：如：棱柱棱柱ABCDE- A1B1C1D1E12 .用表示一条对角线端点的两个字母表示，用表示一条对角线端点的两个字母表示，如：如：棱柱棱柱BCDABCDA1A1A1B1B1B1C1C1C1D1D1 E1ABCAE棱柱的表示法棱柱的表示法1AC棱柱的分类棱柱的分类1、按侧棱与底面是否垂直可分为：、按侧棱与底面是否垂直可分为：1） 侧棱不垂直于底的棱柱叫做侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱斜棱柱。2）侧棱垂直

10、于底的棱柱叫做）侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱直棱柱。3） 底面是正多边形的直棱柱叫做底面是正多边形的直棱柱叫做正棱正棱 柱柱。棱棱柱柱斜棱柱斜棱柱直棱柱直棱柱正棱柱正棱柱四棱柱四棱柱平行六面体平行六面体长方体长方体直平行六面体直平行六面体正四棱柱正四棱柱正方体正方体底面是底面是平行四边形平行四边形侧棱与底面侧棱与底面垂直垂直底面是底面是矩形矩形底面为底面为正方形正方形侧棱与底面侧棱与底面边长相等边长相等u长方体的性质：设长方体的长、宽、高分别为长方体的性质：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，对，对角线长为角线长为l ，则，则l 2 = a 2 + b 2 + c 2思考题：思考题：1、侧棱

11、不垂直于底面且底面为三角形、侧棱不垂直于底面且底面为三角形的棱柱叫做的棱柱叫做_;2、侧棱垂直于底面且底面为四边形的、侧棱垂直于底面且底面为四边形的棱柱叫做棱柱叫做_;3、侧棱垂直于底面且底面为正五边形、侧棱垂直于底面且底面为正五边形的棱柱叫做的棱柱叫做_。斜三棱柱斜三棱柱直四棱柱直四棱柱正五棱柱正五棱柱1. 侧棱都相等，侧面是平行四边形；侧棱都相等，侧面是平行四边形；棱柱的性质棱柱的性质2. 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；3. 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形1. 斜棱柱、直棱柱的底面为任意多边形。

12、正棱斜棱柱、直棱柱的底面为任意多边形。正棱 柱的底面为正多边形。柱的底面为正多边形。思考题：思考题：1、斜棱柱、直棱柱和正棱柱斜棱柱、直棱柱和正棱柱的底面、侧面各有什么特点？的底面、侧面各有什么特点？2. 斜棱柱的侧面为平行四边形。直棱柱的侧面斜棱柱的侧面为平行四边形。直棱柱的侧面 为矩为矩 形。正棱柱的各个侧面为全等的矩形。形。正棱柱的各个侧面为全等的矩形。思考题：思考题：2、棱柱集合、斜棱柱集合、直棱柱集合、斜棱柱集合、直棱柱集合、正棱柱集合之间存在怎样的棱柱集合、正棱柱集合之间存在怎样的包含关系？包含关系？直棱柱直棱柱正棱柱正棱柱棱柱棱柱斜棱斜棱柱柱例例1 1：下列命题中正确的是：下列命

13、题中正确的是（ ） A A、有两个面平行，其余各面都是四、有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。边形的几何体叫棱柱。 B B、有两个面平行，其余各面都是平、有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。行四边形的几何体叫棱柱。（举例）（举例） C C、有两个侧面是矩形的棱柱是直棱、有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱。柱。（举例）（举例） D D、有两个相邻侧面垂直与底面的棱、有两个相邻侧面垂直与底面的棱柱是直棱柱。柱是直棱柱。D典型例题典型例题知识探究（三）：知识探究（三）： 棱锥的结构特征棱锥的结构特征 思考思考1 1：我们把下面的多面体取名为我们把下面的多面体取名为棱棱锥锥，你

14、能说一说棱锥的结构有那些特征，你能说一说棱锥的结构有那些特征吗？据此你能给棱锥下一个定义吗？吗？据此你能给棱锥下一个定义吗？1、有一个面是多边形、有一个面是多边形，2、其余各面其余各面都是有一个公共顶点的三角形都是有一个公共顶点的三角形，由这，由这些面围成的多面体叫做些面围成的多面体叫做棱锥棱锥.思考：有一个面是多边形，其余各面都是三思考：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的立体图形一定是棱锥吗？角形的立体图形一定是棱锥吗？思考思考2 2：参照棱柱的说法，棱锥的底面、参照棱柱的说法，棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？侧面侧面顶点顶点侧棱底面底面 多边

15、形面叫做棱锥的多边形面叫做棱锥的底面底面，有公共顶点的各三角，有公共顶点的各三角形面叫做棱锥的形面叫做棱锥的侧面侧面，相邻侧面的公共边叫做棱，相邻侧面的公共边叫做棱锥的锥的侧棱侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点顶点. . 棱锥的侧面棱锥的侧面棱锥的顶点棱锥的顶点棱锥的侧棱棱锥的侧棱棱锥的高棱锥的高SABCDEO2相关概念相关概念：（1）棱锥中有公共顶点的各三角形叫做）棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面，如侧面棱锥的侧面，如侧面 SAB、SAE 等；等；棱锥的底面棱锥的底面（2）各侧面的公共顶点叫做棱锥的）各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点顶点，如顶点如顶点S、A

16、、B、C 等；等；（3）相邻两侧面的公共边叫做棱锥的）相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧侧棱棱，如侧棱，如侧棱SA、SB等；等；（4）棱锥中的多边形叫做棱锥的）棱锥中的多边形叫做棱锥的底面底面，如底面如底面ABC、ABCDE等；等；（5）如果棱锥的底面水平放置，则顶点）如果棱锥的底面水平放置，则顶点与过顶点的铅垂线与底面的交点之间的线与过顶点的铅垂线与底面的交点之间的线段或距离，叫做棱锥的段或距离，叫做棱锥的高高，如，如SO. 3. 如何理解棱锥？如何理解棱锥？（1） 棱锥是多面体中的重要一种，它有棱锥是多面体中的重要一种，它有两个本质的特征：两个本质的特征：有一个面是多边形；有一个面是多边形；其

17、余各面是有一个公共顶其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可。点的三角形，二者缺一不可。（2）棱锥有一个面是多边形，）棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形，其余各面都是三角形，是棱锥是棱锥?4棱锥的分类：棱锥的分类：（1）按底面多边形的边数分为三棱锥、）按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等，其中三棱锥又叫四面四棱锥、五棱锥等，其中三棱锥又叫四面体体!三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥五五棱锥棱锥（四面体）（四面体）（2）正棱锥正棱锥：如果棱锥的底面是：如果棱锥的底面是正多边正多边形形，并且水平放置，并且水平放置， 它的它的顶点顶点又在过又在过正正多边形中心的铅垂线多边形中心的铅垂线上

18、，则这个棱锥叫做上，则这个棱锥叫做正棱锥正棱锥OSABCDE5正棱锥的性质：正棱锥的性质：（1）正棱锥的各侧面都是全等的）正棱锥的各侧面都是全等的等腰三等腰三角形角形；（2）等腰三角形底边上的高都相等，叫）等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的做棱锥的斜高斜高6棱锥的表示：棱锥的表示：（1）用顶点和底面各顶点的字母表示棱）用顶点和底面各顶点的字母表示棱锥：如三棱锥锥：如三棱锥PABC，四棱锥，四棱锥SABCD.（2）用对角面表示：如四棱锥可以用）用对角面表示：如四棱锥可以用PAC表示表示.思考思考3 3：下列多面体都是棱锥吗？如何在下列多面体都是棱锥吗？如何在名称上区分这些棱锥？如何用符号表示

19、？名称上区分这些棱锥？如何用符号表示？ ABCSSABCDSABCEFD思考思考4 4：一个棱锥至少有几个面？一个一个棱锥至少有几个面？一个N N棱锥有分别有多少个底面和侧面？有多棱锥有分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？少条侧棱？有多少个顶点？ 至少有至少有4 4个面；个面；1 1个底面，个底面，N N个侧个侧面，面，N N条侧棱，条侧棱，1 1个顶点个顶点. . 思考思考5 5：用一个平行于棱锥底面的平面去用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状关系如何？截棱锥，截面与底面的形状关系如何？相似多边形相似多边形理论迁移理论迁移 例例1 1 如图，截面如图，截面BC

20、EFBCEF将长方体分割成将长方体分割成两部分，这两部分是否为棱柱？两部分，这两部分是否为棱柱？ ABCDA1B1C1D1EF 例例2 2 一个三棱柱可以分割成几个三棱一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？锥？ACA1BB1C1A1BB1C1AA1BC1ACBC1棱台及相关概念棱台及相关概念1定义定义：棱锥被平行于底面的平面所截棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台截面和底面间的部分叫做棱台.下底面下底面上底面上底面侧面侧面侧棱侧棱高高顶点顶点ABCDABCDo1.两底面平行两底面平行2.侧棱的延长线相交于同一点侧棱的延长线相交于同一点棱台的特征3棱台的分类：棱台的分类：（1）按底面

21、多边形的边数分为三棱台、）按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台等；四棱台、五棱台等；（2）正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做）正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台。正棱锥正棱锥正四棱台正四棱台4正棱台的性质：正棱台的性质：（1）各侧棱相等；）各侧棱相等；（2）正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形；）正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形；（3）正棱台的斜高相等。）正棱台的斜高相等。 O O C D B A D C B A2相关概念：相关概念：（1）棱台的）棱台的下底面、上底面下底面、上底面：原棱锥的底：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；（2

22、）棱台的）棱台的侧面侧面：棱台中除上、下底面以：棱台中除上、下底面以外的面叫做棱台的侧面；外的面叫做棱台的侧面；（3）棱台的）棱台的侧棱侧棱：相邻两侧面的公共边叫：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；做棱台的侧棱；（4）棱台的）棱台的高高：当棱台的底面水平放置时，：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高。台的高。 O O C D B A D C B A5棱台的表示：棱台的表示：棱台可用表示上、下底面的字母来命名，棱台可用表示上、下底面的字母来命名，如可以记如可以记 作作 棱棱 台台ABCDABCD，或或 记记 作作 棱棱 台台A

23、C.判断下列图形是否为棱柱、棱锥、棱台判断下列图形是否为棱柱、棱锥、棱台 练习练习1（1） （2） （3） （4） （5） （6） 2. 2.右图中右图中 的几的几何体是不是棱台何体是不是棱台? ? 为什么为什么? ?棱柱棱锥棱台结构特征侧棱都相等相等侧面是平行平行四边形四边形两个底面互相平行全等平行全等 过不相邻的两条侧棱的截面是平平行四边形行四边形 有一个面是多边形多边形 其余各面是有一个公共顶点的三角形三角形 侧棱相交于一点一点但不不一定一定相等相等 各侧棱延长后相交于一点一点两底面是平行平行的相似相似多边形多边形 棱柱、棱锥、棱台之间的关系棱柱、棱锥、棱台之间的关系 棱锥是当棱柱的一个

24、底面棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个收缩为一个点点时形成的空间图形，时形成的空间图形， 棱台则可以看成是用棱台则可以看成是用 一个一个平行于棱锥平行于棱锥底面的平面截棱锥底面的平面截棱锥所得到的图形，所得到的图形， 要注意的是要注意的是棱台的各条侧棱延长后，棱台的各条侧棱延长后，将会交于一点，将会交于一点，即棱台可以还原成棱锥即棱台可以还原成棱锥.例例1.有四个命题：有四个命题： 各侧面是全等的等各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；腰三角形的四棱锥是正四棱锥； 底面底面是正多边形的棱锥是正棱锥；是正多边形的棱锥是正棱锥； 棱锥的棱锥的所有侧面可能都是直角三角形；所有侧面可能都是直角三角形； 四棱四棱锥的四个侧面中可能四个都是直角三角锥的四个侧面中可能四个都是直角三角形。其中正确的命题有形。其中正确的命题有 . 解：设解：设VO为正四棱锥为正四棱锥VABCD的高，作的高，作OMBC于于点点M，则，则M为为BC中点，中点，连接连接OM、OB，则，则VOOM，VOOB.例例2. 已知正四棱锥已知正四棱锥VABCD，底面面积为，底面面积为16，一条侧棱