86多元函数微分学的几何应用

1、8.6 8.6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线和法平面一、空间曲线的切线和法平面定义定义设设 m 是空间曲线是空间曲线 l 上的一个定点上的一个定点, m*是是 l 上的一个动点上的一个动点, 当当m* 沿曲线沿曲线 l 趋于趋于m 时时 , 割线割线mm* 的极限位置的极限位置 mt （如果极（如果极限存在）限存在） 称为曲线称为曲线 l 在在 m 处的切线处的切线下面我们来导出空间曲线的切线方程下面我们来导出空间曲线的切线方程。设空间曲线的方程。设空间曲线的方程)1()()()( tztytx (1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.且且导数不同

2、时为零导数不同时为零;),(0000ttzyxm 对应于对应于设设.),(0000*tttzzyyxxm 对应于对应于ozyxm*.m的的方方程程割割线线*mmzzzyyyxxx 000ozyxm*.m考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以, t ,000zzzyyyxxx t t t ,0,*时时即即当当tmm 曲线在曲线在m处的处的切线切线方程方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切线的方向向量称为曲线的切向量. )(),(),(000tttt 法平面：法平面：过过 m0 点且与

3、切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt 例例1 1 求曲线求曲线: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程.解解。空间曲线方程。空间曲线方程,)()( xzxy 取取 x 为参数为参数,),(000处处在在zyxm切线方程为切线方程为,)()(100000 xzzxyyxx 法平面方程为法平面方程为. 0)()()(00000 zzxyyxxx 。空间曲线方程。空间曲线方程,0),(0),( zyxgzyxf例例 2 2 求曲线求曲线6222 zyx，0 zyx在在点点)1,

4、2, 1( 处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程.二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线。设曲面方程为。设曲面方程为0),( zyxfntm),(),(),(000tttt ,)()()(: tztytx 在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点m 的曲的曲线线),(000zyx切线方程为切线方程为)()()(000000tzztyytxx 曲线在曲线在m( )处的切向量处的切向量0tt 下面证明下面证明:此平面称为此平面称为 在该点的在该点的切平面切平面. 上过点上过点 m 的任何曲线在该点的切线都的任何曲线在该点的切线都在同一平面上在同一平面上. 令令),(),(),(000

5、000000zyxfzyxfzyxfnzyx 证证:在在 上上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttf,0处求导处求导两边在两边在tt ,0mtt对应点对应点注意注意 得)(, )(, )(000tttt)(0t)(0t)(0t0),(000zyxfx),(000zyxfy),(000zyxfznt 切向量由于曲线由于曲线 的任意性的任意性 , 表明这些切线都在以表明这些切线都在以为法向量为法向量n的平面上的平面上 , 从而切平面存在从而切平面存在 .切平面切平面方程为方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxfyyzyxfxxzyxfz

6、yx 通通过过点点),(000zyxm而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直线线称称为为曲曲面面在在该该点点的的法法线线.法线法线方程为方程为),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量法向量. .曲面在曲面在m处的法向量即处的法向量即),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 。空间曲面方程为。空间曲面方程为),(yxfz 令令,),(),(zyxfzyxf 曲面在曲面在m处的处的切平面切平面方程为方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxx

7、yxfyx 曲面在曲面在m处的处的法线法线方程为方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx因为曲面在因为曲面在m处的切平面方程为处的切平面方程为)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量的全微分的全微分在点在点函数函数),(),(00yxyxfz ),(yxfz 在在),(00yx的的全全微微分分，表表示示曲曲面面),(yxfz 在在点点),(000zyx处处的的切切平平面面上上的的点点的的竖竖坐坐标标的的增增量量.法向量法向量2211cosyxff将将),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff法

8、向量的法向量的方向余弦：方向余弦：分别记为分别记为则则,1cos,1cos2222yxyyxxffffff,用用表示法向量的方向角表示法向量的方向角, 并假定法向量方向并假定法向量方向.为锐角则向上向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx 例例 3 3 求旋转抛物面求旋转抛物面122 yxz在点在点)4 , 1 , 2(处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程.例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在点在点)0 , 2 , 1(处的处的切平面及法线方程切平面及法线方程.例例 5 5 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面064 zyx的的切平面方程切平面方

9、程. 例例6 在椭球面在椭球面 上求一点，上求一点，1222222 czbyax使它的法线与坐标轴正向成等角使它的法线与坐标轴正向成等角解解令令1),(222222 czbyaxzyxf则则2222,2,2czfbyfaxfzyx 2020202,2,2czbyax注意到法线与坐标轴正向的夹角注意到法线与坐标轴正向的夹角 ,相等相等故故 coscoscos 202020czbyax1220220220 czbyax解得解得2221cba ),(222222222222cbaccbabcbaa 所求的点为所求的点为),(000zyxp的法线的方向向量为的法线的方向向量为 故椭球面上任一点故椭球面

10、上任一点练习练习 如如果果平平面面01633 zyx 与与椭椭球球面面163222 zyx相相切切，求求 .解解设切点设切点),(000zyx,2,2,6000zyxn 已知平面的法向量为已知平面的法向量为3, 3 32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 依题意依题意2)曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（求法向量的方向余弦时注意（求法向量的方向余弦时注意符号符号）三、小结三、小结1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用用推导法推导法） 作业作业 p45： 2；3；4；5；8；9 p73： 10；11；12求曲线0453203222zyxxzyx