2[1]3函数的极限

1、重点：重点：1、函数极限的概念、思想、函数极限的概念、思想2、函数极限的性质。、函数极限的性质。2.3、函数的极限、函数的极限函数与数列函数与数列 1、函数是数列的进一步推广；、函数是数列的进一步推广； 2、数列可以看做是特殊的函数；、数列可以看做是特殊的函数； 3、可以由数列的极限推出函数的极限；、可以由数列的极限推出函数的极限； 4、函数的自变量的变换趋势有哪些？、函数的自变量的变换趋势有哪些？ 1、自变量趋向无穷大时函数的极限；、自变量趋向无穷大时函数的极限； 2、自变量趋向固定值时函数的极限；、自变量趋向固定值时函数的极限； 3、自变量趋向自变量单侧时函数的极限。、自变量趋向自变量单侧

2、时函数的极限。函数自变量的变换趋势类型函数自变量的变换趋势类型.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 a.;)()(任意小任意小表示表示axfaxf .的过程的过程表示表示 xxx. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.1、定

3、义：、定义：定定义义x .)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当 axfx)(lim:.10情形情形x:.20情形情形xaxfx )(limaxfx )(lim2、另两种情形、另两种情形: axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limaxfaxfxx 且且xxysin 3、几何解释、几何解释: x x.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 ayxfyxxxxaxxysin 例例1. 0sinlim xxx证明证明证证, 时恒有时恒有则当则当xx sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(

4、lim:的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfycycxfx 无限趋于无限趋于0二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 a.;)()(任意小任意小表示表示axfaxf .000的过程的过程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 定义定义 .)(,0, 0, 00 axfxx恒有恒有时时使当使当1、定义：、定义：2、几何解释、几何解释:

5、)(xfy aaa0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 例例2).( ,lim0为常数为常数证明证明cccxx 证证axf )(cc ,成立成立 , 0 任给任给0 .lim0ccxx , 0 任取任取,00时时当当 xx例例3.lim00 xxxx 证明证明证证,00时时

6、当当 xx0)(xxaxf ,成立成立 .lim00 xxxx 3.单侧极限单侧极限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 00 xx记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 00 xx记作记作yox1xy 112 xy左极限左极限右极限右极限0000()lim( )(0).xxxxf xaf xa或0000()lim( )(0).xxxxf xaf xa或.)0()0()(lim:000axfxfaxfxx 定理定理.lim0不存在不存在验证验证xxx

7、yx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例6证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x三、函数极限的性质三、函数极限的性质1.有界性有界性定理定理 若在某个过程下若在某个过程下, ,)(xf有极限有极限, ,则存在则存在过程的一个时刻过程的一个时刻, ,在此时刻以后在此时刻以后)(xf有界有界. .2.唯一性唯一性定理定理 若若)(limxf存在存在,则极限唯一则极限唯一.推论推论).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxuxbabxgaxfxxxx 有有则则且且设

8、设3.不等式性质不等式性质定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000baxgxfxuxbxgaxfxxxx 则则有有若若设设).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxuxaaaxfxx或或时时当当则则或或且且若若定理定理( (保号性保号性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 aaxfxfxuxaxfxx或或则则或或时时当当且且若若推论推论四、小结四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limanfn ;)(limaxfx ;)(limaxfx ;)(limaxfx ;)(lim0axf

9、xx ;)(lim0axfxx .)(lim0axfxx .)(, 0)(lim axfaxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无