定积分的概念

1、1.5 1.5 定积分的概念定积分的概念1.曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲在直角坐标系中，由连续曲线线y=f(x)，直线，直线x=a、x=b及及x x轴所围成的图形轴所围成的图形叫做曲边梯形。叫做曲边梯形。ox y a b y=f (x)一一. . 求曲边梯形的面积x=ax=b2 2曲边梯形的面积曲边梯形的面积 求曲边梯形的面积即求曲边梯形的面积即求求 下的面积下的面积)(xfy 0)(xf 分成很窄的小曲边梯形，分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代后求和。然后用矩形面积代后求和。 若若“梯形梯形” ” 很窄，很窄，可近似地用矩形面积代替可近似地用矩形面积代替在不很窄时怎么办？

2、在不很窄时怎么办？ 以直代曲以直代曲 oabxy)(xfy oabxy)(xfy（1 1）分割）分割把区间把区间0，1等分成等分成n个小区间：个小区间：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每个区间的长度为过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小个小曲边梯形，他们的面积分别记作曲边梯形，他们的面积分别记作.s,s,s,sni21 n1n2nknnxoy2xy 例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线直线x=1和和x轴所围成的轴所围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积。（2 2） 近似代替近似代替n1)n1i(x)n1i(fs2i（

3、3 3）求和）求和) 1n(210n1 n1)n1- i(n1)n1- if( sssss22223n1i2n1in1iin21 o n1n2nknnxoy2xy （4 4）取极限）取极限13所求曲边三角形的面积为。oxylim111lim1261.3nnnssnn小结小结: :求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法（1 1）分割分割 （2 2）求面积的和求面积的和 （3 3）取极限取极限 n oxy二、定积分的概念如果函数如果函数f f( (x x) )在区间在区间a a, ,b b上连续，用分点将区间上连续，用分点将区间a a, ,b b等分成

4、等分成n n个小区间，在每个小区间上任取个小区间，在每个小区间上任取 一点一点i i( (i i=1,2,=1,2,n n) )，作和式，作和式 . .当当n n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函 数函 数 f f ( ( x x ) ) 在 区 间 在 区 间 a a , , b b 上 的 定 积 分 上 的 定 积 分 , , 记记作作 , , 即即 = = , ,其中其中f f( (x x) )称为称为 , , x x称为称为 , ,f f( (x x)d)dx x称为称为 ， a a, ,b b为为 ，a a为为 ，b b为为

5、，“ ”称为积分号称为积分号. .niixf1)(xxfbad)(xxfbad)(ninlim1)(ifnab被积函数被积函数积分变量积分变量被积式被积式积分区间积分区间积分下限积分下限积分上限积分上限1.1.定积分的定义定积分的定义 定积分的定义： 定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号， f(x) 叫做被积函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。1( )lim( )ninibaf x dxfnba即o

6、abxy)(xfy baidxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限112001( )3sf x dxx dx根据定积分的定义右边图形的面积为1x yof(x)=x213s baf(x)dx f (t)dt f(u)du。 说明：说明： (1) 定积分是一个数值定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关，它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即而与积分变量的记法无关，即（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和 i的的取取法法是是任任意意的的. 补充规定补充规定： 10aaf x dx

7、2 2babaababf x dxf x dxf x dxf x dx (3)(3)定积分的基本性质定积分的基本性质2.定积分的几何意义：ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 特别地，当 ab 时，有baf (x)dx0。 当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yodxxfsba)(，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfsba)(baf (x)dx f (x)dx

8、f (x)dx。 s上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义：积分baf (x)dx 在几何上表示 baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 s3. 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. dx)x(g)x(fba babadx)x(gdx)x(f性质性质2. 2. badx)x(kf badx)x(fkab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxbcf (x)dx。 cox y 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx

9、)x(fdx)x(f 性质性质3. 3. 例例1：利用定积分的定义：利用定积分的定义,计算计算 的值的值. 130 x d x233332112314nnnbainiindxxfxf)()(lim1例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(0)(12xfaxxf解：dxxaa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(21)(22xfxxf解：dxxa22100

10、00ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(1)(3xfbaxf解：dxaba0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义，上，在上，上连续，且在，在）在图中，被积函数（0)(20, 0)(01211) 1()(42xfxfxxf解：dxxdxxa 1) 1( 1) 1(2202010000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1成立。说明等式利用定积分的几何意义0sin22xdx例3：解：所以并有上，在上，上连续，且在，在在右图中，被积函数, 0sin20, 0sin0222sin)(21aaxxxxf0)(1222aadxxf222a1axyf(x)=sinx1-1 利用定积分的几何意义，判断下列定积分 值的正、负号。20sinxdx212dxx利用定积分的几何意义，说明下列各式。 成立：0sin20 xdx200sin2sinxdxxdx1）2）.1）2）.练习：试用定积分表