2022年函数的奇偶性

1、精品资料欢迎下载函数的奇偶性【学习目标】1. 懂得函数的奇偶性定义；2. 会利用图象和定义判定函数的奇偶性；3. 把握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判定步骤1. 函数奇偶性的概念偶函数：如对于定义域内的任意一个x，都有 f-x=fx，那么 fx称为偶函数 . 奇函数：如对于定义域内的任意一个x，都有 f-x=-fx，那么 fx称为奇函数 . 要点诠释：（ 1）奇偶性是整体性质；（ 2）x 在定义域中， 那么 -x 在定义域中吗？ -具有奇偶性的函数， 其定义域必定是关于原点对称的；（ 3） f-x=fx的等价形式为：f xf x0, f x1

2、fx0 ，f-x=-fx的等价形式为：f xf x0f xf x1 f x0 ；，f x（ 4）由定义不难得出如一个函数是奇函数且在原点有定义，就必有f0=0 ；（ 5）如 fx既是奇函数又是偶函数，就必有fx=0.2. 奇偶函数的图象与性质（ 1）假如一个函数是奇函数，就这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，假如一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，就这个函数是奇函数.（ 2）假如一个函数为偶函数，就它的图象关于y 轴对称；反之，假如一个函数的图像关于y 轴对称，就这个函数是偶函数 .3. 用定义判定函数奇偶性的步骤（ 1）求函数f x的定义域，判定函数的定

3、义域是否关于原点对称，如不关于原点对称，就该函数既不是奇函数，也不是偶函数，如关于原点对称，就进行下一步；（ 2）结合函数f x的定义域，化简函数f x 的解析式；（ 3）求 f x ，可依据f x 与f x之间的关系，判定函数f x的奇偶性 .如 f x =-f x ，就f x是奇函数；如 f x =f x ，就f x是偶函数；如 f xf x ，就f x既不是奇函数，也不是偶函数；如 f xf x 且 f x =-f x ，就f x 既是奇函数，又是偶函数要点二、判定函数奇偶性的常用方法（ 1）定义法：如函数的定义域不是关于原点对称，就立刻可判定该函数既不是奇函数也不是偶函数；如函数的定义

4、域是关于原点对称的，再判定f x 与f x之一是否相等 .（ 2）验证法： 在判定 f x 与f x的关系时， 只需验证 f xf x=0 及f x1 是否成立刻f x可.（ 3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称 .（ 4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.（ 5）分段函数奇偶性的判定判定分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判定. 在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范畴，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数. 分段函数不是几个函数，而是一个函数. 因此其

5、判定方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判定f x 与f x的关系 . 第一要特殊留意 x 与 x 的范畴，然后将它代入相应段的函数表达式中，f x 与 f x 对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较 .要点三、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间a,b和-b ， -a 上具有相同的单调性，即已知f x是奇函数，它在区间a,b上是增函数 （减函数），就f x 在区间 -b ，-a 上也是增函数 （减函数）；偶函数在其对称区间 a,b和-b ，-a 上具有相反的单调性， 即已知f x是偶函数且在区间a,b上是增函数 （减函数） ，就f x在区间 -b ，-a 上

6、也是减函数（增函数）.【典型例题】类型一、判定函数的奇偶性例 1.判定以下函数的奇偶性：1f x x11- x1x；2fx=x2-4|x|+3；3fx=|x+3|-|x-3|；4f x1- x2；- x2xx0| x2 | -215f xx2x x；60f x g x - g2x xr【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判定.【答案】（1）非奇非偶函数； （ 2）偶函数；（ 3）奇函数；（ 4）奇函数； （ 5）奇函数； （ 6）奇函数2【解析】 1 fx的定义域为-1,1 ，不关于原点对称，因此fx为非奇非偶函数；22对任意 x r，都有 -x r，且 f-x=x-4|x|+3=fx，就 f

7、x=x-4|x|+3为偶函数 ；3 xr， f-x=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-fx， fx为奇函数；41-x 20-1x1x-1,00,1x+22x0且x-422f x1- x1- xx2 - 2x1- -x 21- x2f - x- f- xxx ， fx为奇函数；5 xr， fx=-x|x|+x f-x=-x|-x|+-x=x|x|-x=-fx， fx为奇函数；116f -x g - x - g- x g- x - g x- f 22x ， fx为奇函数 .【总结升华】 判定函数奇偶性简单失误是由于没有考虑到函数的定义域. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶

8、性的前提条件，因此争论函数的奇偶性必需“坚持定义域优先”的原就，即优先争论函数的定义域， 否就就会做无用功. 如在本例 （ 4）中如不争论定义域， 在去掉 | x2 |的肯定值符号时就非常麻烦.举一反三：【变式 1】判定以下函数的奇偶性：3 x2 x22 x1f xx23；2f x| x1| x1| ；3f x；x1x 22x1x04 f x0x0 .x 22x1 x0【答案】（1）奇函数； （ 2）偶函数；（ 3）非奇非偶函数； （ 4）奇函数【解析】 1f x 的定义域是 r，又 f x3x3xf x ，f x 是奇函数x23x23（ 2） f x 的定义域是 r ，又 f x|x1|x1

9、| | x1| x1|f x ，f x 是偶函数（ 3） f xx 2x1x2x12f xf x且f xf x ，f x 为非奇非偶函数（ 4）任取 x>0 就-x<0 ， f-x=-x2+2-x-1=x22-2x-1=-x22+2x+1=-fx任取 x<0 ，就 -x>0 f-x=-x+2-x+1=-x-2x+1=-x+2x-1=-fxx=0 时， f0=-f0x r 时， f-x=-fx fx为奇函数 .【高清课堂：函数的奇偶性356732 例 2（ 1）】【变式 2】已知 fx， gx 均为奇函数，且定义域相同，求证：fx+gx为奇函数， fx·gx 为

10、偶函数 .证明： 设 fx=fx+gx，gx=fx· gx 就f-x=f-x+g-x=-fx-gx=-fx+gx=-fxg-x=f-x· g-x=-fx· -gx=fx· gx=gx fx+gx为奇函数， fx· gx 为偶函数 .【高清课堂：函数的奇偶性356732 例 2（ 2）】【变式 3】设函数f x 和 gx 分别是 r 上的偶函数和奇函数，就以下结论恒成立的是（） .a fx+|gx|是偶函数bf x-|gx|是奇函数c |f x| +gx是偶函数 d |f x|- gx是奇函数【答案】 a例 2. 已知函数f x, xr ，如对于

11、任意实数a, b都有f abf af b ，判定f x的奇偶性 .【答案】奇函数【解析】由于对于任何实数a, b ，都有f abf af b，可以令a, b 为某些特殊值，得出f xf x .设 a0, 就f bf 0f b ，f 00 .又设 ax, bx ，就f 0f xf x ，f xf x ，f x 是奇函数 .【总结升华】判定抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解. 在这里，由于需要判定f x 与f x之间的关系，因此需要先求出f 0 的值才行 .举一反三：【变 式1】已知函 数f x, x，r 如对 于任 意实 数x1, x2， 都有f 1x2xf 1x2 x2f1，x判定函f数

12、xfx的奇偶性 .【答案】偶函数【 解 析】 令x10, x2x,得f xf x2 f 0 fx， 令x20, x1x,得f xf x2 f0f x由上两式得：f xf xf xf x ，即 f xf xf x 是偶函数 .类型二、函数奇偶性的应用 求值，求解析式，与单调性结合例 3. fx， gx 均为奇函数，h xaf xbg x2 在 0,上的最大值为5，就h x 在（ -,2 ）上的最小值为【答案】 -1【解析】考虑到f x, g x 均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求h x 与 h x 的关系h x + h x = afxbg x2af xbg x2f xf x, gxg x

13、，h xh x4 当 x0 时，h x4h x ，而 x0 ，h x5 ，h x1h x 在 ,0 上的最小值为 -1 【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实假如认真观看仍可以发觉af xbg x 也是奇函数， 从这个思路动身， 也可以很好地解决此题过程如下：x0 时，h x 的最大值为 5，x0 时af xbg x 的最大值为3，x0 时 af xbg x 的最小值为 -3 ，x 0 时，h x 的最小值为-3+2=-1 举一反三：5【变式 1】已知 fx=x【答案】 -26+ax-bx-8 ，且 f-2=10，求 f2.3【解析】法一：f-2=-25+-23a-2b-8=-32-8

14、a+2b-8=-40-8a+2b=1053 8a-2b=-50f2=2+2 a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令 gx=fx+8易证 gx 为奇函数 g-2=-g2 f-2+8=-f2-8 f2=-f-2-16=-10-16=-26.53【总结升华】此题要会对已知式进行变形，得出fx+8=x +ax -bx 为奇函数，这是此题的关键之处，从而问题g 2便能迎刃而解 .例 4.已知f x是定义在 r 上的奇函数，当 x0 时，f xx23x1 ，求f x的解析式【答案】x2f x0, x x23 x1, x0,0,3x1, x0.【解析】f x 是定义在 r 上的奇函数，

15、f xf x ，当 x0 时，x0 ，f xf xx 23 x1=x23x1又奇函数f x在原点有定义，f 00 x2f x0, x x23x1, x0,0,3 x1, x0.【总结升华】如奇函数f x 在 x0 处有意义，就必有f 00 ，即它的图象必过原点（0， 0）举一反三：【高清课堂：函数的奇偶性356732例 3】【变式 1】（ 1）已知偶函数f x的定义域是 r，当 x0时 f xx23x1，求 f x 的解析式 .（ 2）已知奇函数g x 的定义域是 r，当 x0时 g xx22x1，求 g x 的解析式 .x23x1x0x22x1x0【答案】（ 1）f x2x3x1x0；（ 2

16、） g x0（ x0）x22x1x0例 5.定义域在区间 2，2 上的偶函数gx，当 x 0 时， gx 是单调递减的， 如g 1mgm成立，求 m 的取值范畴【思路点拨】依据定义域知1 m， m 1， 2 ，但是 1 m， m 在 2， 0 ，0 ， 2 的哪个区间内尚不明确， 如绽开争论， 将非常复杂， 如留意到偶函数【答案】11, 2f x 的性质： f xf xf | x | ，可防止争论【解析】由于 g x为偶函数， 所以g 1mgm1 ， gmg | m | 由于 x 0 时， g x 是单调递减的，故 g 1mg mg | m1| mg | m | m1| | m |1|2， 所

17、 以m22m2m1m212， 解 得1m1 2| m |22m2 1, 故 m 的取值范畴是12【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1 m，m 转化到同一单调区间上，防止了对由于单调性不同导致 1 m 与 m 大小不明确的争论，从而使解题过程得以优化另外，需留意的是不要遗忘定义域类型三、函数奇偶性的综合问题例 6.已知y f x是偶函数，且在 0 ， +）上是减函数，求函数f 1x2 的单调递增区间【思路点拨】此题考查复合函数单调性的求法；复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同打算，即“同增异减” ；【答案】 0 ， 1 和（， 1【解析】f x是偶函数，且在 0 ，+）上是

18、减函数，f x 在（， 0 上是增函数设 u=1 x 2，就函数f 1x2 是函数f u 与函数 u=1 x 2 的复合函数当 0 x 1 时，u 是减函数，且 u 0，而 u 0 时， fu是减函数，依据复合函数的性质， 可得f 1x2 是增函数当 x 1 时，u 是增函数，且 u0，而 u 0 时， fu是增函数，依据复合函数的性质， 可得f 1x2 是增函数同理可得当 1 x 0 或 x 1 时，f 1x2 是减函数所求的递增区间为 0 ， 1 和（， 1 【总结升华】（ 1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称

19、性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简 单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题（ 2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较简单出错确定x 的取值范畴时，必需考虑相应的u的取值范畴本例中，x 1 时， u 仍是减函数，但此时u 0，不属于 f u 的减区间，所以不能取x 1，这是应当特殊留意的例 7.设 a 为实数，函数 fx=x2+|x-a|+1， xr，试争论 fx的奇偶性，并求 fx的最小值 .【思路点拨】对 a 进行争论，把肯定值去掉，然后把fx转化成二次函数求最值问题；【答案】当 a=0 时，函数为偶函数；当a 0 时，函数为非奇非偶函数.1313112当 a-时，

20、 f x |min- a; a时， f x |mina; -a时， f x |mina1 .22424222【解析】当 a=0 时， fx=x+|x|+1 ，此时函数为偶函数； 当 a 0 时， fx=x+|x-a|+1，为非奇非偶函数.1 23(1) 当 xa 时，f xx- a241 a时，函数 f x在a，上的最小值为13f - a,224且1f-fa.2 a1 时，函数 f 2x在 a,上单调递增，f x在 a,上的最小值为 fa=a+1.221 23(2) 当 xa 时，f xx - xa1xa1 a时，函数 f x在2-, a24上单调递减，f x在 -，a 上的最小值为f aa

21、21 a1 时， f x在 -，a 上的最小值为 f 13a，且f 1f a.2242综上： a- 1 时， f x |3 - a; a1 时， f x |3a;2424minmin- 1a1 时， f2x |mina1 .22举一反三：【变式 1】 判定f x| xa | xa | ar的奇偶性【答案】当 a0时，函数f x既是奇函数，又是偶函数；当a0 时，函数f x 是奇函数【解析】对 a 进行分类争论如 a0 ，就 f x| x | x |0 xr ，定义域 r关于原点对称，函数 f x 既是奇函数，又是偶函数当 a0 时，f x|xa |xa | | xa | xa |f x ，f

22、x是奇函数综上，当 a0 时，函数f x既是奇函数，又是偶函数；当 a0 时，函数 f x 是奇函数例 8.对于函数f x ，如存在 x 0r ，使f x0 x0 成立，就称点（ x0，x0）为函数f x的不动点（ 1）已知函数f x ax2bxb a0 有不动点（ 1，1），（ 3， 3），求 a， b 的值；（ 2）如对于任意的实数b，函数f x ax2bxb a0 总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范畴；（ 3）如定义在实数集r 上的奇函数g x存在（有限） n 个不动点，求证：n 必为奇数【答案】（ 1） a=1， b=3 ；（2）（ 0， 1）；（ 3）略【解析】 （ 1）由已知

23、得 x=1 和 x= 3 是方程 ax2+bx b=x 的根，13b1由违达定理a3baa=1， b=3 （ 2）由已知得： ax2+bx b=x （ a 0）有两个不相等的实数根， 1=b 12+4ab0 对于任意的实数 b 恒成立 即 b2+4a 2b+1 0 对于任意的实数 b 恒成立也就是函数f b2b4a2b1 的图象与横轴无交点又二次函数f b 的图象是开口向上的抛物线，从而 2=4a2 2 4 0，即 |4a 2| 2， 0 a 1满意题意的实数a 的取值范畴为（ 0， 1）（ 3）g x 是 r 上的奇函数，gxg x .令 x=0 ，得g 0g 0 ，g 00 （ 0， 0）

24、是gx 的一个不动点设（ x 0， x0）（x 0 0）是g x的一个不动点，就g x0 x0 又 gx0 gx0x0 ，（ x0 ， x 0）也是gx 的一个不动点又 x 0 x0，g x的非零不动点是成对显现的又（ 0， 0）也是g x 的一个不动点，如g x 存在 n 个不动点，就n 必为奇数【总结升华】本例是一个信息迁移问题，解这类问题关键在于精确懂得新定义，充分利用新定义分析解决问题本例的“不动点”实质是关于x 的方程f xx 的解的问题本例（ 3）的解决主要是结合奇函数关于原点的对称性从而得到有关的结论【巩固练习】1. 函数f xx1 x x0 是a奇函数b偶函数c既是奇函数又是偶

25、函数d既不是奇函数又不是偶函数2. 如函数yx2bxc 是偶函数，就有 a. br, crb.br, c0c.b0, c0d.b0, cr3. 设函数f xax32bx1 ，且f 13, 就f 1等于（）a.-3b.3c.-5d. 54. 如偶函数f x 在,1 上是增函数，就以下关系式中成立的是a. f 3 2f 1f 2b. f 1f 3 2f 2c. f 2f 1f 3 2d. f 2f 32f 15. 假如奇函数f x在区间 3,7上是增函数且最大值为5 ，那么f x 在区间7, 3上是a增函数且最小值是5b增函数且最大值是5c减函数且最大值是5d减函数且最小值是56. 设f x 是定

26、义在 r上的一个函数，就函数f xf xf x ，在 r上肯定是 a奇函数b偶函数c既是奇函数又是偶函数d非奇非偶函数 .7. 设函数f x的图象关于 y 轴对称，且f ab ，就 f a.8. 假如函数f xx2a 为奇函数，那么 a =.x9. 设函数f x是定义在 r 上的奇函数，且f 20 ， f x在 0,1 上单调递减，在1,上单调递减，就不等式f x0 的解集为10. 如函数f x k2 x2 k1x3 是偶函数，就f x的递减区间是.11. 函数f x在 r上为奇函数，且f xx1, x0 ，就当 x0 ， f x .12. 已知函数性.fxxaxaa0 ， h xx2x x0

27、 x2x x0，试判定fx , h x 的奇偶13. 设函数f x是偶函数， 且在,0 上是增函数， 判定f x在 0,上的单调性， 并加以证明 .14. 定义在 r上的偶函数f x 满意：对任意x , x0, xx ，有f x2f x10 成立，1212x2x1试比较f 2,f 1, f(3) 的大小 .2【巩固练习】1. 函数f xx| x |的图象 a关于原点对称b 关于 y 轴对称 c 关于 x 轴对称 d 不具有对称轴2. 已知函数f xm1 x2m2 xm 27 m12 为偶函数，就m 的值是 a.1 b.2c.3d.43. 设函数f xax32bx1 ，且f 13, 就f 1等于（）a.-3b.3c.-5d. 54. 假如奇函数f x在区间 3,7上是增函数且最大值为5 ，那么f x 在区间7, 3上是a增函数且最小值是5b增函数且最大值是5c减函