2022年函数图像及其变换解读

1、精品资料欢迎下载函数图像及其变换上海师范高校附属外国语中学李庆兵函数是整个高中数学的重点和难点，高中阶段对函数性质的讨论往往是通过讨论函数图 像及其变换得到的， 所以函数图像及其变换也就成为高考的固定考点；历年高考考试大纲中都明确要求，同学要“会运用函数图像懂得和讨论函数的性质”，并且与前几年比较可以发觉，近几年高考对于函数图像方面的考查已经不再局限于对几个常见函数本身的单一的考查，而是结合函数的运算，更为深刻地考查函数与函数、函数与方程、函数与不等式、函数 与其他学科或现实生活等方面的联系；这就要求我们不仅要娴熟把握一些基本函数的图像特征及函数图像变换的几种常见方法， 而且要会敏捷运用； 下

2、面笔者就结合近几年的一些高考试题，谈一些函数图像及其变换和应用方面的问题， 期望能引起正在忙于备考的高三老师和学子们的重视，并给他们带来一些启示；（一）平移变换及其应用：函数 yf xx0 y0 的图像可以看作是由函数yf x 的图像先向左x0 0）或向右（x0 0）平移 | x0| 个单位，再向上 y0 0）或向下（y0 0）平移| y0| 个单位得到；如：例 1、（ 2021 上海理 11）方程 x 212 x140 的解可视为函数 yx2 的图象与函数 y的图象交点的横坐标； 如方程 xxax40 的各个实根x1 , x2 , xk xk4 所对应的点4 xi ,xi i1,2,yyp,

3、 k3xyb均在直线 yxx 的同侧，就实数 a 的取值范畴是；yyxcy4x0xab0xaq（ 图一）（ 图二）分析：由题意， 方程x4ax40 的解可视为函数 yx3a 的图象与函数 y4 的x图象交点的横坐标； 这些交点可以看作是由函数yx3 的图象经过上下平移得到， 由图（ 1）可知，函数 yx3 与函数y4 的图象分别交于点p、q，且点 p 在直线上方，点 q 在直x线 下 方 ， 要 使 得 方 程x4ax40 的 各 个 实 根x1, x2 , xk xk4 所 对 应 的 点4 xi ,xi i1,2,4, k 均在直线 yx 的同侧， 只须将函数 yx3 图像上下平移， 将点

4、 q 移4至函数 y图像与直线 yxx 交点 a 2, 2 左侧或将点p 移至函数 y图像与直线xyx 交点 b 2,2右侧即可；将点a 与点 b 坐标分别代入方程yx3a 解得 a6 或a6 ；从而可得实数 a 的取值范畴是a 6 或 a 6；（二）伸缩变换及其应用：函数 yaf bx 的图像可以看作是由函数yf x 的图像先将横坐标伸长| b | 1）或缩短| b | 1）到原先的1| b |倍，再把纵坐标伸长| a | 1）或缩短| a | 1）到原先的| a |倍即可得到；如：例 2、（2021 上海文 11）在平面直角坐标系中， 点a, b,c的坐标分别为0,1, 4,2, 2,6

5、；假如 px, y 是 abc围成的区域（含边界）上的点，那么当xy取得最大值时，点p的坐标是；分析：由xy变形可得 y，就问题可转化为当函数xy的图象与 abc围x成的区域 （含边界） 有公共点时求的最大值的问题； 由函数图像伸缩变换的规律可知，的值越大，就函数y图象上点的横纵坐标越大，即图像整体越向上移动，由此可以判x定，当取得最大值时，函数yp 的坐标；的图象与 abc 的边 bc 相切或过经点 c；下面求点x法一： 由线段 bc 与函数的解析式联立方程组可得y,xy2x102x4.消去 y 得方程 2 x210x0 ，由判别式 =0 解得25，此时 x25，从而得点2p 52,5 ；即

6、所求点 p 的坐标是p 5 ,5 ；2法二：线段 bc 的方程为： 2 xy100x4 ，就xy1 2x y 21 2x22y 225，当且仅当 2 x2y5 ，即 x5 , y25. 所以所求点 p 的坐标是p 5 ,5 ；2（三）对称变换：函数当中， 图像关于某点或某条直线对称的情形较多，除函数的奇偶性、 互为反函数的两函数与对称性有关之外，仍常常会显现其他一些情形，这就需要我们能够把握“以点代线”的数学方法对详细情形进行分析；常见情形有以下几种；1、关于特殊直线的轴对称变换：yf xy轴yf（ x）；yf xx轴yf（ x） ；yf xy xxf（ y）（两者互为反函数） ；2、关于特殊

7、点的对称变换：yf x原点（ 0，0）yf（ x）；3、局部对称变换：yf xyf（ | x | ）偶函数），yf xy| f（ x）| ；注：以上为两个函数图像之间的关系；4、自身对称变换：如函数y=f（x）满意f xf 2 ax或f（ ax） f（ ax），就函数 y=f （x）的图像关于直线x=a 对称；特殊地，当 a0 时，函数f x为偶函数；如函数 y=f （ x）满意 f xf x ，就函数 y=f （ x）的图像关于原点成中心对称；即函数f x 为奇函数；例 3、（2005 上海理 16）设定义域为 r的函数f x| lg | x1 |, x1, 就关于 x 的方0, x1程 f

8、 2 xbf xc0 有 7 个不同实数解的充要条件是（）a 、 b 0 且 c 0b、 b 0 且 c 0c、 b 0 且 c0d 、 b0 且 c0 ；y| lg | x1 | x10yx1y2| lg| x1 | x1 ybxy22cc02x2（ 图三）（ 图四）分析： 函数 y| lg | x1 | x1) 的图像是由函数 ylg |x |的图像先向右平移一个单位，得到函数 ylg | x1 | x1) 的图像， 再将函数 ylg | x1 | x1 的图像位于 x 轴上方部分保持不变， 下方的部分关于 x 轴通过局部对称得到； 又由于f 10 ，所以由（图三）可知，函数f x 图像与

9、 x 轴有三个公共点；方 程 f2 xbf xc0 中 ， 如 b 0且 c0 ， 就 由f 2 xbf x0 可 得f x0 或 fxb ；结合函数f x图像易知，方程f x0 有三个不同的解，方程f xb 有四个不同的解，即方程f 2 xbf xc0 有 7 个不同实数解；所以选c；值得一提的是， 在高考当中，对函数图像的考查，并不肯定考查某一单一的变换，有时可能是几种变换同时考查；如：例 4、（ 2003 上海理 16）f x是定义在区间 c, c 上的奇函数，其图像如图（四），令g xaf xb ，就以下关于函数gx 的表达正确选项（）（a ）如 a 0，就函数g x的图像关于原点对称

10、；（b ）如 a1 ， 0b 2，就方程g x0 有大于 2 的实根；（c）如 a2 ， b=0，就函数gx 的图像关于 y 轴对称；（d ）如 a0 ， b=2，就方程g x0 有 3 个实根；分析：由图（ 2）知f 00 ，如 b 0，就g 0b0 ，此时gx 的图像不关于原点对称，所以 a 挑选支不符合题意；当a1时，g x的图像可由f x的图像关于 x 轴对称，再向下平移| b |个单位得到；此时g2f 2bb 0，而g cf cb ，f cf c 2，而 b 2，g c0；所以，方程g x0 在（ 2， c）内必有实根，所以 b 挑选支正确，应选b；当| a | 1 且 b=2 时，

11、方程g x0 至多有一个实根， 所以 c 挑选支不符合题意； 又当b 2 时，方程 g（x） =0 的实根少于三个，所以d 挑选支也不符合题意；（四）旋转变换：图像的旋转变换可借助三角形的全等，找到特殊点经旋转变换后所得点的坐标，进而发现图像变换的规律； 如图五 （甲） 中函数f x 图像上点p a, b 绕原点顺时针方向旋转900后得点p1 ，可借助op1 q opq 得到点p1 的坐标 b, a ，从而可知函数f x图像绕原点顺时针方向旋转900 后即函数 yf1 x 的图像；同理可得图（乙）中的情形；11、 yf x绕原点顺时针方向旋转900yf （x）；2、 yf x y绕原点逆时针方

12、向旋转900yf （x）；qpa, b yqf xp1yb,a10p1 yxb, af1 x yf1 x0pa,b yxf x（甲）（乙）（ 图五）说明：关于绕原点旋转180 0 的变换实际上就是关于原点对称的问题；例 5、（ 04 上海理 15）如函数f x 的图像可由函数ylg x1 的图像绕坐标原点逆x时针旋转900 得到，就f x的解析式是（）（a ） 10 x1（ b） 110 x（ c） 110 x（d ） 101 ；分析：由前述概念易知，f x10 x1，即答案选d；（ 五）复杂函数的图像：对于一些通过简洁函数加减运算得到的较为复杂的函数图像，我们可以借助叠加法作出函数图像；如：

13、例 6、（ 2002 上海 15）函数f xxsin |x |, x, 的大致图像是（）yyyyo xo xo x o x（ a ）（b ）（ c）（ d ）（ 图六）分析：在同一坐标系中分别作出函数g xx 与 h xsin| x |在区间 x, 上的图像，并进行简洁的叠加 ，即可得到函数f xxsin| x |, x, 的图像为d 选1择支所示的图像；对于一些较为复杂的复合函数，有时需要综合考虑函数的定义域、值域、单调性、 奇偶性、周期性、对称性，甚至渐进性作出函数图像；如：例 7、（ 2004 上海市闸北区模拟题） 函数f xx3 x1 x的部分图像大致是 （）1yyyy101 x101

14、x101x101x（ a ）（ b）（ c）（d ）（图七）分析：由函数解析式的分母 x1 x10 可知， x± 1，所以 x= ± 1 是函数yf x 图像的两条渐进线；由f xf x 可知函数 yf x 为奇函数；当x 1,0 时，f x 0；综合上述条件可知， b 挑选支满意题意；（六）关于某一物理或化学变化过程的变化规律或与现实生活相关的函数图像问题：二期课改提出，要让“人人学有用的数学”，也就是要学以致用；所以与现实生活亲密 相关的一些数学问题在高考试题中显现也就成为必定；对于这类问题， 需要我们认真讨论事物运动变化的过程，进而用图像将这一过程描画出来即可；如：例 8、（ 2021 全国卷（ 2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，如把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（）ssss0t0t0t0tabcd（ 图八）分析： 汽车启动后加速度应是越来越大，即路程变化较快，反映到函数图像上，图像变 化率应越来越大， 汽车加速后有一段匀速行驶的过程，路程应越来越大， 且变化率保持不变，反映到函数图像上， 图像应呈上升的线段，而后汽车做减速运动，反映到函数图像上，图像变化率越来越小，