直线与方程（知识整理）

1、直线方程（知识整理一.基础知识回顾（1）直线的倾斜角一条直线向上的方向与i轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其屮直线与 x轴平行或重合时，其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是（）。3 y 1 &）"（） w a y龙）注：当=90°或七=心时，直线/垂直于x轴，它的斜率不存在.每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与兀轴垂直的直线不存在斜率外，英余每一条直 线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.（2）直线方程的几种形式点斜式、截距式、两点式、斜截式.特别地，当直线经过两点,（）,（）,方），即直线在x轴, y轴上的截距分别为°,比

2、工0,用0）时，直线方程是：- + - = 1.a b附直线系：对于直线的斜截式方程尸kx + b,当方均为确定的数值时，它表示一条确 定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化当b为定植，p变化时，它们表示过定 点（0, b）的直线束.当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.（3）两条直线的位置关系1°两条直线平行1 启軌主两条直线平行的条件是：/和°是两条不重合的直线.在八和仇的 斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽扌或忽视其中任一个“前提”都会导致 结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线人九，它们在y轴上的纵截距是叭宀，则 l l2ok=k2,且b减2或

3、人,仏的斜率均不存在,即4宀2=恥2是平行的必要不充分条件, 且 cj#c2 ）推论：如果两条直线“心的倾斜角为0,。2则/】 l2>a=a2-2°两条直线垂直两条直线垂直的条件：设两条直线和°的斜率分别为紀和灯，则有 /11/2<=>12=-1这里的前提是”,/2的斜率都存在.lill2<=>ki=0,且°的斜率不存在或 紅=（）,且/|的斜率不存在.（即aib2a2b= 0是垂直的充要条件）（4）两条直线的交角直线/到°的角(方向角)；直线到°的角，是指直线“绕交点依逆时针方向旋转 到与b重合时所转动的角0,它

4、的范围是(0,兀)，当90°时間0= * 2-k 1+灯比2当0工90。，则两条相交直线“与0的夹角：两条相交直线人与仇的夹角，是指由人与？2相交所成 的四个角中最小的正角又称为八和乙所成的角，它的取值范围是 有 tan 0 =(5) 点到直线的距离 点到直线的距离公式：设点p(x(),)s),直线l :a.x + by + c =(lp至i”的距离为d,则有d分十"°空. 两条平行线间的距离公式：设两条平行直线仃:ax + by+ci= 2'ax + by+c2= (c2)»它们之间的距离 d ctd =.y)a2+b2(6) 对称问题： 关于

5、点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. 关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到 对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平 分线.点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上(方程)，过 两对称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程)可解得所求对称点.注：曲线、直线关于一直线y = ±x + b对称的解法：y换x, x换y.例：曲线f(x ,y)=0 关于直线)=x_2对称曲线方程是/j>+2，尤-2)=0.曲线c: f(x ,y)=0关于点(a , b)

6、的对称曲线方程是f(a-x, 2b-y)=0.二.范例解析例1.己知直线1过点p(-l,l)且与a (-2, 3)、b(3,2)为端点的线段相交，试求直线1倾斜 角a的取值范围。思路1)分别求出直线pa、pb的斜率;2)数形结合，利用正切函数的单调性求解。破解1) 先求岀心八-2, kpb ；2) 由图7-3知，满足题意的直线1的斜率为丄,<-2o因为直线1的倾斜角4tt jta g 0,-),而y = tan x在0三),(亍龙)上分别是增函数，从而知 jiji jijitan tz > wi« < -2 => arc tan < cz < &l

7、t; a < 7r - arc tan 2,也满足条 44222件,故倾斜角q取值范围为arctan./r-arctan 2.4收获1) 直线的斜率是判定两直线位置关系的重要依据；2) 数形结合思想方法是求解解析儿何问题的重要方法乙一；3) 已知斜率范围探求倾斜角的范围，最关键的一环是利用正切函数的单调性处理。例2. a abc的顶点a(1,3),b(2,1),c(3,1),试求za平分线at所在直线方程。思路利用角平线性质zcat=zbat结合到角公式求出直线at的斜率即可。破解如图7-1,由已知易求kac = 1,kab = -2 o由角平线的性质zcat=zbat k -k k -

8、 k1知ac到at的角与at到ab的角相等。二 即可求出忍丁 =一一，从1 + katkac 1 + katkab6而z a平分线at所在直线方程为：x + 6y 19 = 0收获1) 充分利用平面几何性质将问题转化成解析几何中的有关问题是研究平面几何问 题的关键。2) 注意夹角与到角公式的区别，分清什么时候用夹角(或到角)公式，以免产生 错解。3) 处理有关几何问题最好作出图形增强直观效果，为寻找解题突破口提供依据。例3某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经 费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角 为</(90&

9、#176; </<180° )镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,bm,(a>b)问 学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？命题意图*本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三 角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力知识依托匸三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值，错解分析；解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几 何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanacb的最大值如果坐标系选择不当，或选择求sinacb的最大值，都将使问题变得复杂起来，技巧与方法匸欲使看画的效

10、果最佳，应使zacb取最大值，欲求 角的最值，又需求角的一个三角函数值解；建立如图所示的直角坐标系，40为镜框边，ab为画的宽度, 0为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点c(x,0)(x>0),欲使看 画的效果最佳，应使zacb取得最大值.由三角函数的定义知；a、两点坐标分别为(qcos o,dsin 0)、 (bcos a,bsin a),于是直线ac、bc的斜率分別为$,a sin a,小 bsinaa：4c=tanxca=,kbc = tan xcb =.acosa-xbcosa-x于是unacb=*bc kg1 + *bc 'ac(a-b)'xsina _(&

11、#171;-/?)-sin a血-(d+/cos次+方).cosaxrtl于zacb为锐角，且兀>0,则snacbw(a -b)-sina2yab 一 (a + b)cosa当且仅当=x,即x=yb时，等号成立， 兀此时zacb取最大值，对应的点为c(伤,0), 因此，学生距离镜框下缘妬cm处时，视角最大，即看画效果最佳.例4.等腰三角形一腰所在的直线厶的方程是x2y2 = 0.底边所在的直线厶的方程是：x+y 1=0,点(一2,0)在另一腰上，求这腰所在直线厶的方程.解：设厶，/2，13的斜率分别为k2, k3厶到厶的角是g厶到人的角是&2，则= _卡2 = 1 o tan 0

12、,=3-' - 2 - 1 1 + *因为a，】2,厶所圉成的三角形为等腰三角形，所以心戶 tan 2 = tan g =即谯=-3 y k, = z又直线/3经过点(-2, 0),故其方程为：y = 2兀一(2)即2兀一y + 4。y 1 例5.已知m(x,y)是以a (-2, 3). b(3,2)为端点的线段上一动点，试求 一的取值范围。x + 1思路1 )若令 = / ,代入线段ab所在的直线方程消去y可得到x +1t = /(x)(-2 < x < 3且x丰一 1)可求出t的范围，但计算较繁。2)变换角度，由数入形，联想直线斜率公式可使问题轻松解决。破解1) 令 =

13、，不难发现t就是线段ab动点m与定点p (-1, 1)连线的的斜率x+ 1(如图3)2) 易求出 kpa = -2,kpb =1v 13) 由图75知，满足题意的直线pm的斜率为k>-,k<-2,即 一的取值范围为4x + 1(y,-2u,+q)。4收获形如的最值范围问题，可联想直线斜率公式，数形结合解决。 兀一兀拓展对于曲线y二f(x)上任一动点p(x,y),探求(=丄1 的范围问题都可联想 x + x()直线斜率公式，数形结合解决。例6.过直线2x + y + 8二0和直线x + y + 3=0的交点作一条直线，使它夹在两条平行直 线x y 5二0和x y2二0之间的线段长为亦

14、，求该直线的方程.思路1) 利用距离公式求出两平行直线的距离；2) 利用勾股定理求出此直线夹在两平行直线间的线段长;破解3) 利用夹角公式求出直线斜率，即可求岀直线方程。a/c5.2)如图7-9所示，由求出交点“5,2).设所求直线/与也分别交于b、a两点，山已知|ab=y/5 ,又 i】、1.2间距离丨 4c 1= j,在 rtzabc图79a c i中,bc=tf设h到1的角为a，贝'j tan a = 3.设直线1的斜率为k,bc由夹角公式得3“得= 32或"v 所求直线的方程为2+ +8=0 或 x + 2y+l=0.收获1、数形结合，利用图形直观特征，能有效地找到解

15、题思路。2、平面儿何中有关定理(如本题屮的勾股定理)，能很好地将儿何问题化归为代数问 题来处理。例7.已知实数x, y满足方程兀+ y -1 = 0,试求：x2 + 2x + y2的最小值。思路1) 变形x2 +2x + y2 =(x +1)2 + y2联想两点距离公式；2) 由x + y-l = 0, (x + l)2+y2数形结合，问题转化为直线x+y-l = 0 一动点p(x,y) 到定点(t, 0)距离的平方和。破解由x2+2x + r变形为(x + l)2+y2,联想两点距离公式，不难发它的几何意义：直线 x+y- =0动点p (x,y)到定点a (-1, 0)距离的平方和。如图7-

16、10知当ap丄/吋,也就是说点a到直线1距离的平方d?=2即为所求。收获1) 形如&x 一 a)? + (y 疔 的代数式的范圉最值问题,可联想距离公式求解。2) 由数想形，将代数问题转化为儿何问题，构造儿何图形，对求解具有特殊结构的代数式 范围最值问题有着意想不到的神奇效果。例8求过点a(l,-4)且与直线2x + 3y + 5 = 0平行的直线方程.2 2解一：己知直线的斜率为-土，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是-土 3 32根据点斜式，得到所求直线的方程是y + 4 = 一一(x-1),即 2x + 3y + 10 = 0解二：设与直线2兀+ 3)，+ 5 = 0平行的直线i的方程为2兀+ 3y + 2 = 0 (2工5),/经过点4(1-4),2xl + 3x(-4) + 2 = 0 ,解得a = 10 a所求直线方程为 2x + 3y + 10 = 0 例9当£为何值时，直线y =也+ 3过直线2x - y +1 = 0与y = x + 5的交点?2兀一y + = 0解法一：解得交点(4, 9),将兀=4 , y =9代入y = kx 3得9=4 £+3,y = x + 53解得k=-2解法二：过直线2兀y + l = 0与y = x + 5的交点的直线系方程为(2x y + 1) +a(x y + 5) 0 *整理得：