大学数学：ch6-8 各种积分的联系及其在场论中的应用-3

1、2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系1第第8节节 各种积分的联系各种积分的联系 及其在场论中的应用及其在场论中的应用Green 公式、平面线积分的路径无关性公式、平面线积分的路径无关性Stokers 公式与旋度公式与旋度Gauss 公式与散度公式与散度几种重要的特殊向量场几种重要的特殊向量场2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系28.4 Gauss 公式与散度公式与散度1. Gauss1. Gauss公式公式2.2.通量与通量密度、通量与通量密度、散度的定义散度的定义3.3.散度的计算公式散度的计算公式4.4.散度的运算法则和公式散度的运算法则和公式2013年5月南京航空航天

2、大学 理学院 数学系31. Gauss1. Gauss公式公式GreenGreen公式公式: :平面区域上的二重积分与其边界上的曲平面区域上的二重积分与其边界上的曲 线积分之间的关系线积分之间的关系. .牛顿牛顿-莱布尼兹公式：区间上的定积分与其两端点莱布尼兹公式：区间上的定积分与其两端点 上的函数值之间的关系上的函数值之间的关系 babaxFdxxF)()( Stokes公式公式:有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上 的曲线积分之间的关系的曲线积分之间的关系()CDQPdxdyPdxQdyxyCPdxQdyRdz ()dd()dd()ddSRQPRQPyzzx

3、xyyzzxxy 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系4表达了空间区域上的三重积分表达了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之与其边界曲面上的曲面积分之间的关系间的关系. .GaussGauss公式的实质公式的实质: :0coscoscos SSSA n dSPQRdSPdy dzQdz dxRdx dy xyzoSW W()( (),(),() ( ( , , ),( , , ),( , , )A MP M Q MR MP x y z Q x y z R x y z 0cos ,cos,cos n 其中其中()PQRdvxyzW W2013年5月南京航空航天大学 理学院 数

4、学系5(coscoscos )SPQRdS 0() 1 PQRA n dSdvxyz W W （ ）（ ）或或SPdy dzQdz dxRdx dy 0:(cos,cos,cos)( , , )nSx y z 其其中中是是 上上点点处处外外侧侧单单位位法法向向量量. .式式(1)或或(2)称为称为高斯公式高斯公式.()(2)PQRdvxyzW W2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系6证明证明cos.SSRRdSRdxdydvz W W 先先证证21 ( , ), ( , ).xyzzx yzzx yxoyDW W(1)(1)设 是上、下底为两张曲面设 是上、下底为两张曲面的曲顶曲底柱

5、体，它在平面上的曲顶曲底柱体，它在平面上的投影区域为的投影区域为2S1S3SW WxyDzxyO3(.xySDz是以的边界为准线，平行是以的边界为准线，平行轴的直线为母线的柱面的一部分)轴的直线为母线的柱面的一部分)21( , )( , )xyzx yzx yDRdxdydzvzRdzW W 21 , ,( , ) , ,( , )xyDR x y zx yR x y zx ydxdy 简单区域简单区域2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系721( , )( , )xyzx yzx yDRdxdydzvzRdzW W 0)( dddcosdSSRvRxyRSz W W 比比 较较 得得

6、 ，123SSSSRdx dy xyDdxdyyxzyxRyxzyxR),(,),(,2112()SSRdx dy 21 , ,( , )d d , ,( , )d dxyxyDDR x y zx yx yR x y zx yx y2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系8(2)W W若若是是一一般般区区域域2S1S2W W1W W3S0n 0n 3S W W,W W则可引进几个辅助面 把 分成几个区域则可引进几个辅助面 把 分成几个区域使得每个区域为简单区域.使得每个区域为简单区域.121213213233SSSSSSSSRRdvdvzzRdvzRdx dyRdx dyWW WWW W

7、WWWW 12cosSSSSRdx dyRdx dyRdS 12SSS2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系9coscoscos ddddddd()dSSPQRSPQRP yzQ zxR xyvxyzW W ddddddSSPQvP yzvQ zxxyWWWW同同理理可可证证注,SP Q R当 闭 取外侧有连续偏导数当 闭 取外侧有连续偏导数2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系10 xyzo:,3,.SIxdy dzSxyz . .计算计算其中 是坐标面与其中 是坐标面与围成的立体的整个边界围成的立体的整个边界例例取外侧取外侧1 1SIxdy dz 92 解解dvW W (

8、, , ),( , , )0,( , , )0P x y zx Q x y zR x y z由由Gauss公式公式2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系11222SIx dydzy dzdxz dxdy 求求222:(0)Sxyzzh 锥锥面面的的下下侧侧例例2解解222PxQyRz 222SSSIx dydzy dzdxz dxdy 平平平平40( )2hD zzdzdxdyh 22xyDzdvh dxdyW W2 ,2 ,2 ,PQRxyzxyz412h 2402hz z dzh 22()Sxyz dvz dxdyW W平平222() ( , ):xySzhx yDxyh平平：上侧

9、：上侧2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系12例例3 设设u(x,y,z)和和v (x,y,z)在闭区域上具有一阶及二阶在闭区域上具有一阶及二阶 连续偏导数连续偏导数,证明证明:Svu vdxdydzudSuvdvn W WW W 222222( , , )vv x y znLaplacexyzijkHalmitonxyzuvuvuvgradu gradvuvxxyyzz + +其其中中S S 是是闭闭区区域域的的整整个个边边界界曲曲面面外外法法线线方方向向，为为沿沿S S的的外外法法线线方方向向的的方方向向导导数数，符符号号称称为为算算子子。符符号号称称为为算算子子。这这个个公公式

10、式叫叫做做格格林林第第一一公公式式2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系13Svu vdxdydzudSuvdvn W WW W 移移项项得得0cos,cos,cos )(coscoscos )xyzSSnvudSu vvvdSn ：设设外外法法线线单单证证位位向向量量明明()()()()yzxuvuvuvdvxyzW W ()()xxyyzzxxyyzzu vvvu vu vu vdVu vdxdydzuvdvW WW WW W 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系14zxyo解解2112()(0)Daza dva dxdyaaW W 122222222()()0Saxdy

11、dzzadxdyxyzSzaxya 计计算算：其其中中 为为下下半半球球面面的的上上侧侧，为为常常数数例例4 122222()()Saxdy dzzadx dyxyz 1121()()S SSaxdy dzzadx dya 22210(,( , ):Szx yD xya补充：下侧）补充：下侧）21()Saxdy dzzadx dya 32a 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系15()(2sin()(3):1(xySxyz dydzyzx dzdxzedxdySxyzyzxzxy 取外侧）取外侧）例例5()(2sin()(3)6xySIxyz dydzyzx dzdxzedxdydV

12、 W W 解解 由由Gauss公式公式11:1,:4, ,0uvwJuvwu v w W WW W ,uxyz vyzx wzxy令令/81368242IdudvdwdudvdwWWWW2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系16小结小结注意应用的条件注意应用的条件2、高斯公式的实质、高斯公式的实质1、高斯公式、高斯公式()SPQRdvPdydzQdzdxRdxdyxyzW W2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系172.2.通量与通量密度通量与通量密度 散度的定义散度的定义()( (),(),() ( ( , , ),( , , ),( , , ),A MP MQ MR MP

13、x y z Q x y zR x y z 设向量场设向量场(1). (1). 通量的定义通量的定义: :0nSSSA n dSA dSA dS 0(coscoscos )nAAnPQR .nAA 是是向向量量 在在曲曲面面S S的的指指定定侧侧的的法法向向量量上上的的投投影影2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系180 ( , , )cos( , , )cos( , , )cos ( , , )( , , )( , , )nSSSSSdy dzdz dxdA n dSx dyA dSA dSP x y zQ x y zR x y zdSP x y zQ x y zR x y z 0SQ

14、v n dS 00()()SSEBE n dsB n ds 对对电电场场强强度度 和和磁磁感感强强度度 称称通通过过电电通通S S的的电电力力线线数数目目通通过过S S的的磁磁磁磁通通量量力力线线数数目目量量2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系19若若Q 0，表示流出多于流入，表示流出多于流入，S内部有产生流体的内部有产生流体的“源源” Q0，表示流出少于流入，表示流出少于流入，S内部有吸收流体内部有吸收流体“洞洞”； Q=0，表示流出与流入平衡，即无源无洞。，表示流出与流入平衡，即无源无洞。通量为正、为负、为零时的物理意义：通量为正、为负、为零时的物理意义：0SQv n dS 单单

15、位位时时间间内内流流出出S S的的流流量量- -流流入入S S的的流流量量0SQv n dS 就是流速场就是流速场 在所包围的空间区域在所包围的空间区域 内的总内的总散发量散发量。 v W W负源负源以下讨论场中各点源的强弱以下讨论场中各点源的强弱外侧外侧2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系20（2 2）. . 散度的定义散度的定义与通量密度与通量密度 divlimSVMMA dSAV 即即 V上的上的平均通量密度平均通量密度注注 散度散度 是一个数，表示场中一点处的通量对体积是一个数，表示场中一点处的通量对体积的变化率，即该点处的变化率，即该点处“源源”的强度。的强度。 是该点发出

16、通量是该点发出通量或吸收通量的强度，或吸收通量的强度， 表示该点表示该点无源无源。divA |div|A div0A -M点的通量密度点的通量密度2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系213.3.散度的计算公式散度的计算公式散度在直角坐标系下的形式散度在直角坐标系下的形式()VSPQRdvA dSxyz11()VSPQRdvA dSVxyzV( , , )1()SPQRA dSxyzV 1limVMSPQRA dSxyzV 积分中值定理积分中值定理,两边取极限两边取极限,div ()PQRA Mxyz 散度计算公式散度计算公式Gauss公式公式2013年5月南京航空航天大学 理学院 数

17、学系22高斯公式可写成高斯公式可写成0divdnSSAdVA dSA nSW W W W其中S是空间闭区域 的边界曲面，其中S是空间闭区域 的边界曲面，0(coscoscos )nAAnPQR .nAA 是是向向量量 在在曲曲面面S S的的外外侧侧法法向向量量上上的的投投影影0ddnSSA vA dSA nSW W 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系23222221)ln(1)(1,1,0)2)ln,()zuxy iye jxzkPuxyzdiv gradu 求求向向量量场场在在点点处处的的则则求求1 1散散度度。设设例例1uuudivuxyz 解解 ：zzxeyz2122 Pud

18、iv)0 , 1 , 1(22)21(zzxeyz 2 ,2,uuugraduxyz 解解 ：uzuyuxugradudiv 222222)(2221zyx 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系24033()(sin )Syv n dSxedy dzyx dz dxW W 33222,sin,0,22yvxeyxzxyzx W W 求求穿穿过过曲曲面面S S指指定定侧侧的的通通量量 其其中中S S为为与与所所围围区区域域的的外外侧侧表表面面。 W W614112)1(6)(3)33(220102222222222rdrrrddzdxdyyxdvyxDxyx例例2解解2013年5月南京

19、航空航天大学 理学院 数学系254.4.散度的运算法则和公式散度的运算法则和公式See P2622013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系26000rotd()dddSSCCA nSAnSAsAs ()cos()cos()cos SRQPRQPdSyzzxxy CPdxQdyRdz CPdxQdyRdz 1. Stokes公式和公式和Gauss公式的形式公式的形式Stokes公式公式()dd()dd()ddSRQPRQPyzzxxyyzzxxy 小小 结结2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系270divdddSA vA vA nSWWWW Gauss公式公式0coscoscos

20、SSSA n dSPQRdSPdy dzQdz dxRdx dy ()PQRdvxyzW W应用应用:计算曲面积分计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系28(,)uuuxyz2 场论中的几个个重要概念场论中的几个个重要概念设设( , , ),uu x y z (,) ,APQR 梯度梯度:gradu u (,),xyz div A 散度散度:旋度旋度:则则APQRxyz通量通量SPdy dzQdz dxRdx dy CPdxQdyRdz rot()()()RQPRQPAijkAyzzxxy 环量环量limSV

21、MA dSV 00lim()rotCSMA dsSAnA n 2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系29一、一、 利用高斯公式计算曲面积分利用高斯公式计算曲面积分: :1 1、dxdyzdzdxydydzx333 , ,其中其中 为球面为球面 2222azyx 外侧；外侧；2 2、 zdxdyydzdxxdydz, ,其中其中 是界于是界于0 z和和 3 z之间的圆柱体之间的圆柱体922 yx的整个表面的外的整个表面的外 侧；侧；3 3、 xzdydz, , 其中其中是上半球面是上半球面 222yxRz 的上侧的上侧 . .练习题练习题2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系30

22、二、证明二、证明: :由封闭曲面所包围的体积为由封闭曲面所包围的体积为 dszyxV)coscoscos(31 , ,式中式中 cos,cos,cos是曲面的外法线的方向余弦是曲面的外法线的方向余弦 . .三、求向量三、求向量kxzjyxizxA22)2( , ,穿过曲面穿过曲面 : :为为立方体立方体ayax 0,0, ,az 0的全表面的全表面, ,流流向外侧的通量向外侧的通量 . .四、求向量场四、求向量场kxzjxyieAxy)cos()cos(2 的散的散度度 . .2013年5月南京航空航天大学 理学院 数学系31五、设五、设),(,),(zyxvzyxu是两个定义在闭区域是两个定义在闭区域W