电子科技大学,微积分,数学,定积分

1、2021-11-22定积分的概念定积分的概念 规则图形的面积，如圆面、三角形、梯形、长方形等的面积大家规则图形的面积，如圆面、三角形、梯形、长方形等的面积大家非常熟悉如何计算，但对于下面图形的面积如何利用我们已知的知识非常熟悉如何计算，但对于下面图形的面积如何利用我们已知的知识计算呢？计算呢？2021-11-22曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线 引例引例1 1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.y=f(x)oab(如右图所示如右图所示)一、引例一、引例2021-11-22xy=f(x)oab1 2 i yx2x1x

2、i-1xi0121111: , , , ,;nniiiiia bnaxxxxxba bnxxxxx 在在区区间间内内插插入入 -1-1个个分分点点，把把分分成成个个小小区区间间，意意为为任任长长度度任任意意 112:,;iiiiiiiixxxxxffx 任任取取得得以以为为底底, ,以以为为高高的的小小矩矩形形的的面面积积: :i分分割割近近似似2021-11-22xy=f(x)oab1 2 i yx2x1xi-1xi13:()nniiisfx 将将作作为为曲曲边边梯梯形形面面积积的的近近似似值值; ;01lim()niiisfx 12,max,(0)nxxx 4:4:当当分分割割无无限限加加

3、细细 即即小小区区间间的的: :趋趋近近于于零零最最大大长长度度时时，曲边梯形面积的准确值为：曲边梯形面积的准确值为：求求和和取取极极限限2021-11-22引例引例2 2 （求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程）由引例由引例1 1的思想方法和步骤有的思想方法和步骤有：tn=t2tot1=t0t1tn-1titi-1t21 i 1 iiittt求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程. . vv t 设某物体作直线运动，已知速度是设某物体作直线运动，已知速度是 12,0,t ttv t 时间间隔上 的一个连续函数，且时间间隔上 的一个连续函数，且2021-11-22（1

4、）分割）分割212101tttttttnn 1 iiittt（3）求和）求和iinitvs )(1 （4）取极限）取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值（2）近似近似()iiisvt 2021-11-22 012111112,1,2,1,2,max,nniiiiiiiiiniiinfxa ba baxxxxxba bnxxxixxfxisfxxxxa b 定义 设函数在上有界，在中任意插定义 设函数在上有界，在中任意插入若干个分点入若干个分点把区间分成 个小区间，各小区间的长度依次为把区间分成 个小区间，各小区间的长度依次为在各小区间上任取在各小区

5、间上任取一点，作乘积一点，作乘积并作和，并作和，记，如果不论对记，如果不论对二、定积分的定义二、定积分的定义2021-11-22 , a b 称为称为积分区间;积分区间; 01lim()nbiiaifx dxfx ;fx 称为称为被积函数被积函数x 称为称为积分变量;积分变量; fx dx 称为称为被积表达式;被积表达式;ab 称为称为和积分下限和积分上限;和积分下限和积分上限; . 称为称为积分符号 表示和的意思积分符号 表示和的意思 10,iiisifxxaxb 怎样的分法，也不论在小区间上点 怎怎样的分法，也不论在小区间上点 怎样的取法，只要当时，和 总趋于确定的样的取法，只要当时，和

6、总趋于确定的极限 ，则称此极限为函数在区间上极限 ，则称此极限为函数在区间上的定积分，记为的定积分，记为2021-11-22注意：注意： badxxf)( badttf)( baduuf)(而与积分变量用什么符号的字母表示无关而与积分变量用什么符号的字母表示无关. .(4) 积分值仅与被积函数及积分区间有关积分值仅与被积函数及积分区间有关， (2).i 定义中区间的分法和 的取法是任意的定义中区间的分法和 的取法是任意的 (3),fxa b当函数在区间上的定积分存在时，当函数在区间上的定积分存在时， ,fxa b称在区间上可积.称在区间上可积.(1) 定积分中的被积函数一定是闭区间上的有界函数

7、。定积分中的被积函数一定是闭区间上的有界函数。2021-11-22 5 用用语语言言定定积积分分可可定定义义为为: : 60n, 不不成成立立0n 只只有有()(7)定积分和不定积分的区别 1,iiifxa ba bxx 若若在在上上有有界界, ,如如果果存存在在常常数数i,i,0,0,0,0,如如果果不不论论对对的的任任意意分分法法及及在在上上的的任任意意取取法法, ,只只要要就就有有1(),niiifxi ,( ).baifxa bf x dxi 则则称称 为为在在上上的的定定积积分分, ,记记为为 0;.abaaabf x dxf x dxf x dx (8)(8)规规定定：2021-1

8、1-22定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理（可积的充分条件）三、存在定理（可积的充分条件） ,.fxa bfxa b若函数在区间上连续，若函数在区间上连续，则在区间上可积则在区间上可积 ,.fxa bfxa b若函数在区间上有界，若函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则且只有有限个间断点，则在区间上可积在区间上可积2021-11-221.1. 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx 解解iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx 0,11,2,iinxinn 将将等等分分，分分点点为为， 11,1,2,iiixxxinn 小区间的长度小区间的长度 ,1,2,iixin 取取四、应用四、应用2021-11-22nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nnn0dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 2021-11-22222222.lim12nnnnnnnn利用定积分的定义表示极限利用定积分的定义表示极限2111lim1nninin12011dxx2021-11-222sinsinsin3.lim1112