机器人学—数学基础

1、机器人运锄禽及真数禽基础参考教材美付京逊机器人学中南大学蔡自兴机器人学美理查德鲍尔机器人操作手数学编程 与控制参考教材中南大学蔡自兴中南大学教授，我国人工 智能和机器人领域著名专 家中国人工智能学会智能机 器人专委会理事长曾与付京逊教授一起工作 过一机器人俊置和集态的描述Justin catch ball串联机器人可以用一个开环关节链来建模由数个驱动器驱动的传动或移动关节串联而成 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具（末端 执行器）,用以操纵物体，或完成各种任务运动学问题：末端执行器位置和姿态 关节变量 B,H坐标系位置：H的原点在B坐标 系中的坐标表示姿态：H坐标系相对于B 坐标系的姿

2、态机器人坐标系的定义 Global Refere nee coo rd i nate system (fra me) Joint Referenee coordinate system(frame) Tool Referenee coordinate system(frame)XI运幼曇斫處的两个问麵Where is my hand?Direct KinematicsHERE!运动学正问题In verse Kin ematics: Choose these angles!斫宪运幼巻的方眩轴线平行时采用几何分析方法关 1N+1 /畑轴线异面轴线平行及相交斫究运锄修的方法 1955年丹纳维特(De

3、navit)和哈顿伯格(Hartenberg)提出了一种采用矩阵代数方法解决 机器人的运动学问题一DH方法具有直观的几何意义能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题数学基础是齐次变换二赦橹墓赵一齐汝坐标毛齐汝变换v - ai +bj c A上的单位矢量,a= , b= , c= , w为比例系数列矩阵2.1養和面的養决坐标2. 1. 1点的齐次坐标用n+1个变量表示n维空间的几何元素。引入齐次坐标的目的是为了表示几何变换的旋转、 平移和缩放一个点矢：I/ 显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随卅值的不/> 同而不同。在计算机图学中，卿作为通用比例因子 K = x y z w ,它可取任意正值，

4、但在机器人的运动分析中，总例小3i + 4丿 + 5k可以表示为=V=3 4 5 1TV 二610 2T或 V=T2 "16 - 20 - 4丁齐次坐标与三维直角坐标的区别 V点在XCWz坐标系中表示 是唯一的（a、bx c）而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间位置上不变。几个特定意义的齐次坐标： 0 0 0 nT坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意 非零比例系数 1 0 0 0卩一指向无穷远处的O用由 010 0卩一指向无穷远处的OY轴 001 0卩一指向无穷远处的OZ轴 0 0 0 0丁_没有意义2个常用的公式：点乘：ab = axbx + ayby + a

5、二b二叉乘：axb= ax aykQ二=0b二-azby)i + (4® - axbz)j + (axby - aybjk bz2.1.2平面的齐次坐标平面齐次坐标由行矩阵P二a bed来表示当点v二xyzw卩处于平面P内时，矩阵乘积PV二0,或记为=+by+= 0如果定义一个常数，则有:w iv iv tn m m w m w m iv m m可以把矢量+解释为某个平面的外法线，此m m m平面沿着法线方向与坐标原点的距离为(-d/m)o与点矢0 0 0 0相仿，平面0 0 0 0也没有意义点和平面间的位置关系Hu = 设一个平行于小丿轴，且在2轴上的坐标为单位距离的平面P可以表示

6、为：F=0 0 1 -1或P=0 0 2 -2<0<0>0有：PV=V点在平面上方V点在平面上V点在平面下方<0例如：点V=io 20 1 1卩必定处于此平面内，而点V=0 0 2 1卩 处于平P的上方，点V=0 0 0 1T处于P平面下方，因为：100 0 -10 10201=000.0-1. 2丄=1>00o o 1 -1P =-i <o 2.1.3平移变换 1二维坐标平移变换沿坐标轴平移(a,b) o P位于 O1坐标系中，O为绝对坐标系人(P)坐在汽车里运动X兀1 + Qy尹1+11Xi 2、三维坐标平移变换沿坐标轴方向平移（a, b, c） 车绕盘

7、山公路行驶兀i00y=T必,010ZZ01H11000ab1Azzr7 cZ11平移齐次变换矩阵0T = Trans (a b c)=。对任意向量u= (x, y, z, v10 0/X0 10by00 1cz0 0 0 1wV = Tu =对已知任意向量尸(x, y,乙 与平移向量(a, b, cf 1)相加00671 0 b01c0 0 10进行Tfx + aw 尹+ bw z + cw wX / w+ Q尹 / W + bz/w + c1w）进行T?2.2彼無魁阵及被無齐决变换2. 2. 1旋转矩阵设固定参考坐标系直角坐标为LOxyz,动坐标系为XO'uvw, 研究旋转变换情况。

8、初始位置时，动静坐标系重合，O、O'重合，如图。各轴 对应重合设P点是动坐标系Oruvw中的一点'且固定不变。 则P点在£O加皿中可表示为:z£吹=£乙+毘几+代乓Wm、斤为坐标系xouvw的单位矢 量，贝IJP点在£oxyz中可表示为：Pxy二=Pxjx + Py Jy + 巴袒 Puvw = Pxy.2. 2. 2三个基本旋转矩阵和合成旋转矩阵例：动坐标系中一点p绕坐标轴z旋转&J厂sin»写成矩阵形式图中动坐标系换成UVWBxp -cos0-B绕Z轴的基本旋转矩阵k:=kJ'c0 -sO 0：cO 0：10

9、1iiU在x,y,z紬的投影/方向余弦阵在x轴上的投影为沖s&对X轴投影W，对y轴投影对z轴投彩o*vy图2-5XTZ在X轴上的投影为J"。,由图2-5可知,的投影为,人在y轴上的投影为 心8由图2-5可知，在X轴上的投影为/0S&, 在y轴上的投影为jsine,人在x轴上 的投影为 -人 sin 0, 几在y轴上的投影为J、®三个基本旋转矩阵:同理;0 cos a-S1I16Z0 smacos acos。0sm0010_sin°0COS0COS& sin <90sin <9cos& 000 1001R(x, a)=R（

10、y“）二R (z,&)二zz总结三个基本旋转矩阵即动坐标系工o“vw绕oz轴转动&角，求的旋转矩阵，也就是求出坐标系中各轴单位矢量在固定坐标系XOxyzn«i中各轴的投影分量，很容易得到在两个坐标系重合时，有:1 0 0R= 0 1 00 0 1当动坐标系LO UVW绕任意过原点的单位矢量/回转e时,求P点在固定坐标系刀oxyz中的位置已知：Puvw - Pu iu +乙人+ Pyv乓P点在£O uvw中是不变的仍然 成立，由于£O，uvw回转.贝IJ：Px =垃VW fx - (EE + 乙 Jv + P'K JfxPy = Pu fy

11、=(肌 +4人 +PMfyP二Z = 9代 +PvJv+PMf.用矩阵表示为：py p二一.IA一 .z“ 一 .7“一K-一不一丿Zwfx Jv fx kJ 一人一犬 一人一人 一厶-Z2/lx0001fJyersQ + cdfxfyvers9 + fzs9fjyersd-fysd0fyfersd-fsdfyfyversO + c0fyfyers6 fsO0fjersd fysdfjyversd-fxsdffyersd + cO0RP“其中 vers&T - cos。2. 2. 2旋转齐次变换用齐次坐标变换来表示式0_P：PuPyR0P0P、p10 00 111（2-7）0R7000

12、1P.PyP二1定义旋转矩阵为：R = Rot（f®以绕Z轴的基本旋转矩阵为例验证u*u*fjxverse + fyse 0fzfyvers0-fxs6 0f2fzvers0 + c0 00 1fjyersecdfjyversd + f2sdfjersd- fysd0fyfversd- f2sdfyfyverse + c6fyf2versd + fys90u*c6-s60_k= = Ks3cO0001u*合成旋转矩阵：例1:在动坐标中有一固定点 Po uvw - 1 2 3 11相对固定参 考坐标系工O严 做如下运动：(Dr (x,90° )；R(z, 90° )

13、；R(y,90° )o求运动后点而石在固定参考坐标系 S Oxyz下的位置。解：h用画图的简单方法zz z解2=用分步计算的方法（matlab编程）(Dr (x,90°)_1 0 0 0_T_ 1 _0 0 1 02-30 10 0320 0 0 1_11P' =(2-14) R (z,90° )0 0 0_T_310 0 0-310 0 10220 0 0 1J_1_1P'' =(2-15) R (y,90° ) 0 0 1 0_3_ 2 _0 10 01110 0 0-30 0 0 111!p =（2-16）上述计算方法非常繁

14、琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（214）（2-15）（2-16）联写为如下形式：01_000010X4为二者之间的关系矩阵，我们令：R3x3 = R（R匕 e）人（兀 *）定义1:当动坐标系绕固定坐标系另。砂各坐标轴顺序有限次 转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。注意：旋转矩阵间不可以交换，平移矩阵间可以交换2. 2. 4相对变换举例说明:例1:动座标系IX起始位置与固定参考坐标系工0重合，动坐标系 工'做如下运动：(DR(Z,90o) (Dr(Y,90°)Trans(4, -3,7),求合成矩阵解1:用画图的方法:对照此图写出合成变换矩阵解2：用

15、计算的方法根据定义1,我们有：T = Trans(4,3, 7) R(Y, 90°) R(Z,90°)( J start)(2-20)0 0 1410 0-30 1070 0 0 1以上均以固定坐标系各轴为变换基准，因此矩阵左乘。如果我们做如下变换:例2:先平移Trans (4,-3,7)；绕当前*轴转动90。；绕当前苏轴转动90。；求合成旋转矩阵。解1:用画图的方法解2:用计算的方法T = (start T)Trans(4,3, 7) R(v； 90°) R(w0°)=(2-21)0 0 11 0 00 1 00 0 0对照此图写出合成变换矩阵0 0

16、1410 0 13 T n Tl,ans(4;M 7) R(K 90。) R(N90x<- start) n0 01 0T H QI l)Tnms(4:H 7) RA90。) R6593n 0 11 4 0 3 0 7 0 1(220)(2 21)R（Z,90。）R（Y,90。）Trans（4, -3,7）,求合成矩阵T = Traiis(4, -3, 7) R(Y, 90°) R(乙90°)( <- start)w J I43x/w”先平移Trans （4,-3,7）；绕当前$轴转动90。；绕当前吗轴转动90。式(2-20)和式(2-21)无论在形式上，还是在

17、结果上都是 一致的。因此我们有如下的结论：动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况:定义1 =如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或 平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。结果均为动坐标系在固定坐标中的位姿(位置+姿态)。 相对于固定坐标系丿 “轴相当于X轴，T轴相对于Y轴，W轴相当于Z轴。也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固 定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。右乘的意义:机器人用到相对变换的 时候比较多例如机械手抓一个杯子, 如右图所示，手爪需要 转动一个角度才抓的

18、牢, 相对于固定坐标系表达 太麻烦，可以直接根据 手爪的坐标系表示z2. 2. 5齐次变换矩阵的几何意义设，有一个手爪，即动坐标系已知，。仏h 胡初始位置 重合.那么£0在£0中的齐次坐标变换为：qAqi,如果手爪转了一个角度,则:"y Vypx 叫，py 叫 Pz0 1T反映了 E6T在Z冲的位置和姿态，即表示了该坐标系原 点和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。该矩阵可以由4个子矩阵组成，写成如下形式：3x33x1旋转矩阵位置矢量 透视矩阵比例系数3x3 =P3xl = lPX Py PSf1X3 = 0 0 0为位置矢量矩阵，代表动坐标系£

19、 0坐标原点在固定参考坐标系£ 0中的位置Zx3"ixl为姿态矩阵（旋转矩阵），表示动坐标系 "O'在固定参考坐标系£0中的姿态，即表示 Z（T各坐标轴单位矢量在10各轴上的投影为透视变换矩阵，在视觉中进行图像计算, 一般置为0如果需要求解£0在10中的位置和姿态，此时的齐次变换矩 阵为厂打即求逆矩阵：_-()万T-i= R 爲 -S-(iP)T0 0 0 1其中：P = pj + PyJ +“ =Aj + Ay + 嚥_这些式子以后经常遇到,v = vj + y 7 +仃在机器人计算中,所要求的就是齐次变换矩阵Aw = wxi + w

20、yj + wzk知识点:1 点和面的齐次坐标和齐次变换2. 三个基本旋转矩阵3. 绝对变换：如果所有的变换都是相对于固定坐标 系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝 对变换。4. 相对变换：如果动坐标系相对于自身坐标系的当 前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘， 祈为*目对变坯。知识点:1000COSQ-S1I16Z0smacos arCOS00 sin/010-sm©0 cos/cos <9-sin <90=sin <9cos <90001R(x, a-R (yS)R (z0)三个基本旋转 矩阵例题仁cos 90°001sin 90

21、6;000Rv =y-sin 90°0cos 90°0_ 0001与£砌始重合.作如下运动：绕Z轴转动30。； 绕X轴转动60。；绕Y轴转动90。o求T。cos 30°-sin 30°00_000_sin 30°cos 30°00R =0cos 60°-sin 60°00010X0sin 60°cos 60°000010001R =T = RRR： <- start =改为相对变换，旋转顺序?T = start t R.R R “亠 u WJJ/4 3/41/20T = RRR <r- start入十9T1/4-a/3/2a/3/4 -a/3/21/2000例题2:£(r与wo初始重合，£(r作如下运动：绕x轴转动90。；绕 时轴转动90。；绕Y轴转动90。求T；改变旋转顺序， 如何旋转才能获得相同的结果。解：10000cos 90°-sin 90°0Rx =0sin 90°cos 90°00001cos 90°0sin 90°0_0100Rv =y-sin 90°0cos 90°0000110 0o'00 -10T = R