导数概念81155

1、微积分学的创始人: 德国数学家 leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)导数与微分英国数学家 newton 上页 下页 返回 结束 一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数五、单侧导数导数的概念导数的概念 第二章 上页 下页 返回 结束 一、一、 引例引例1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为设描述质点运动位置的函数为)(tfs 0t则则 到到 的平均速度为的平均速度为0tt v)

2、()(0tftf0tt 而在而在 时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自由落体运动自由落体运动 上页 下页 返回 结束 t0 xxoxy)(xfy cnm如图如图, 如果割线如果割线mn绕点绕点m旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置mt,直线直线mt就称为曲线就称为曲线c在点在点m处的处的切线切线.).,(),(00yxnyxm设设的斜率为的斜率为割线割线mn00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxmnc沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线mt.)()(limtan000 xxxfxfkxx 2

3、. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性两个问题的共性:瞬时速度瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切线斜率切线斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 上页 下页 返回 结束 0tso)(0tf)(tft t0 xxoxy)(xfy cnm二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 . 设函数设函数)(xfy 在点在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在存在,)(xf并称此极限为并称此极限为)(xfy 记

4、作记作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000则称函数则称函数若若的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , 在点在点0 x处可导处可导, 在点在点0 x的导数的导数. 上页 下页 返回 结束 运动质点的位置函数运动质点的位置函数)(tfs so0t)(0tf)(tft在在 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲线曲线)(:xfyc在在 m 点处的切线斜率点处的切线斜率xyo)(xfy cnt0 xmx lim0 xxk)(

5、)(0 xfxf0 xx )(0tf )(0 xf 说明说明: 在经济学中在经济学中, 边际成本边际成本,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数. 上页 下页 返回 结束 0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述极限不存在若上述极限不存在 ,在点在点 不可导不可导. 0 x若若,lim0 xyx也称也称)(xf在在0 x若函数在开区间若函数在开区间 i 内每点都可导内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数此时导数值构成的新函数称为导函数.记作记作:;y;)(xf ;ddxy.d)(dxx

6、f注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就说函数就说函数就称函数在就称函数在 i 内可导内可导. 的导数为无穷大的导数为无穷大 . 上页 下页 返回 结束 0()()()limxfxxfxfxx 例1. 求函数cxf)(c 为常数) 的导数. 解:yxccx0lim0即0)(c例2. 求函数)n()(nxxfn.处的导数在ax 解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx 上页 下页 返回 结束 说明：说明：对一般幂函数xy ( 为常数) 1)(xx例如，例如，)(x)(2

7、1 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后将证明） 上页 下页 返回 结束 例例3 3.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 类似可证得类似可证得xxsin)(cos 上页 下页 返回 结束 例例4 4.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即

8、即.)(xxee （p69 例7） 上页 下页 返回 结束 例例5 5.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa （p69 例6） 上页 下页 返回 结束 例例6. 证明函数证明函数xxf)(在在 x = 0 不可导不可导. 证证:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在不存在 , .0不可导在即xx补例补例. 设设)(0 xf 存在存在, 求极限求极限.

9、2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式原式0limhhhxf2)(0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf )( 2 )(0hhxf)(0 xf 上页 下页 返回 结束 补例补例.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处有处有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(

10、0 xffx 上页 下页 返回 结束 三、三、 导数的几何意义导数的几何意义曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为)(tan0 xf 若,0)(0 xf切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;0 x若,)(0 xf切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xf,)(0时 xf 上页 下页 返回 结束 例例7 7.,)2 ,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义由导

11、数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即 上页 下页 返回 结束 1111补例补例. 问曲线3xy 哪一点有垂直切线 ? 哪一点处的切线与直线131xy平行 ? 写出其切线方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x对应,1y则在点(1,1) , (1,1) 处与直线131xy平行的切线方程分别为),1(131xy) 1(131xy即023 yx故在原点 (0 , 0

12、) 有垂直切线 上页 下页 返回 结束 处可导在点xxf)(四、四、 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.处连续在点xxf)(证证: 设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim0 xfxyx存在 , 因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函数)(xfy 在点 x 连续 .注意注意: 函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.即 上页 下页 返回 结束 反例反例:xy 在 x = 0 处连续 , 但不可导.在点0 x的某个右右 邻域内五、五、 单侧导数单侧导数)(xfy 若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000则称此极限值为)

13、(xf在 处的右右 导数导数,0 x记作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x定义定义2 . 设函数有定义,存在, 上页 下页 返回 结束 0limxx00)()(xxxfxf0()xx0limxx00)()(xxxfxf0()xx定理定理2. 函数在点0 x)(xfy ,)()(00存在与xfxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf简写为在点处右右 导数存在0 x定理定理3. 函数)(xf)(xf在点0 x必 右右 连续.(左左)(左左)若函数)(xf)(af)(bf与都存在 , 则称

14、)(xf显然:)(xf在闭区间 a , b 上可导,)(bacxf在开区间 内可导,),(ba在闭区间 上可导.,ba可导的充分必要条件是且 上页 下页 返回 结束 例例6. 证明函数证明函数xxf)(在在 x = 0 不可导不可导. 证证:hfhf)0()0(hh0h,10h,1.0不可导在即xx 上页 下页 返回 结束 xyoxy 0(0)(0)(0)lim1hfhffh0(0)(0)(0)lim1hfhffh (0)(0) ,ff内容小结内容小结1. 导数的实质:3. 导数的几何意义:4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用

15、导数定义;看左右导数是否存在且相等. )(c )(x )(sin x )(cosxaxf)(02. axfxf)()(00 )(ln x;0;1x;cosx;sin xx1增量比的极限;切线的斜率; 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 函数 在某点 处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别:)(xf 是函数 ,)(0 xf 是数值;联系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系 ? )()(00 xfxf？与导函数 上页 下页 返回 结束 2. 设)(0 xf 存在 , 则._)()(lim000hxfhxfh3. 已知,)0(,0)0(0kff则._)(

16、lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 若),(x时, 恒有,)(2xxf问)(xf是否在0 x可导?解解:由题设)0(f00)0()(xfxfx0由夹逼准则0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0 x可导, 且0)0( f 上页 下页 返回 结束 5. 设0,0,sin)(xxaxxxf, 问 a 取何值时,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a时,1)0( f此时)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x显然该函数在 x = 0 连续 . 上页 下页 返回 结束 解解: 因

17、为6. 设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f 上页 下页 返回 结束 )(xf在 0 x处连续, 且xxfx)(lim0存在， 证明:)(xf在0 x处可导.证证：因为xxfx)(lim0存在， 则有0)(lim0 xfx又)(xf在0 x处连续,0)0(f所以xxfx)(lim0即)(xf在0 x处可导.7. 设xfxfx)0()(lim0)0(f 故 上页 下页 返回 结束 :定

18、义定义n ., 0, 0lim axnnnaxnnn恒有恒有时时使使作业评讲 上页 下页 返回 结束 例例2. 已知已知,) 1() 1(2nxnn证明证明.0limnnx证证:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使欲使,0nx只要只要,11n即即n取取, 11n则当则当nn 时时, 就有就有,0nx故故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取故也可取1n也可由也可由2) 1(10nnx. 11n 与与 有关有关, 但不唯一但不唯一.不一定取最小的不一定取最小的 n .说明说明: 取取11n上页 下页 返回 结束 p31. 3(2

19、) 根据数列极限的定义证明根据数列极限的定义证明313lim.212nnn证证:313212nn12(21)n1n, ) 1 ,0(欲使欲使313,212nn只要只要1,n即即n取取1,n则当则当nn 时时, 就有就有故故0) 1() 1(limlim2nxnnnn1.上页 下页 返回 结束 313,212nnp31. 3(4) 根据数列极限的定义证明根据数列极限的定义证明lim0.99991.nn 个个证证:0.99991110n, ) 1 ,0(欲使欲使0.99991,只要只要1,10n即即n取取1lg,n则当则当nn 时时, 就有就有故故1lg.上页 下页 返回 结束 0.99991,lim0.99991.nn 个个定定义义x .)(, 0,