高一数学上册期中复习知识点和试卷

1、高一数学：解函数常见的题型及方法名师总结优秀学问点解： -1 x 5 -3 2x-1 9主编：东平校区张忠兵所以，函数 yfx 的定义域为x3x9 .一、函数定义域的求法函数的定义域是函数三要素之一，是指函数式中自变量的取值范畴；高考中考查函数的定义域的题目 多以挑选题或填空题的形式显现， 有时也显现在大题中作为其中一问； 以考查对数和根号两个学问点居多；二、函数值域求解方法求函数的值域是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一， 由于求函数的值域往往需要综合用到众多的学问内容，技巧性强，所以难度比较大；1、求详细函数 yfx 定义域以下是求函数值域的几种常用方法：1、直接法： 从自变量

2、 x 的范畴动身，推出yf x 的取值范畴；或由函数的定义域结合图象，或直观观求函数的定义域， 其实质就是以函数解析式所含的运算有意义为准就，列出不等式或不等式组， 然后求出它们的解集，其准就一般是：察，精确判定函数值域的方法；分式中分母不为零0偶次方根，被开方数非负例： 求函数 yx1x1,x 1的值域；2,对于 yx ，要求 x0例： 求函数 yx1的值域；指数式子中，底数大于零且不等于1对数式中，真数大于零，底数大于零且不等于1解：x0 ，x11 ，由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束函数 yx1 的值域为 1, ；例： 函数 y3 x2（ x3）0的定义域为；23 2x33

3、x20，2、配方法： 配方法式求 “二次函数类” 值域的基本方法； 形如 f x均可使用配方法；af xbf xc 的函数的值域问题，解:要使函数有意义，就2x30，所以原函数的定义域为x|x 2 ，且 x 3 .例： 求函数 yx24x2 （ x1,1）的值域；x30.32解： yx24 x2 x2 26 ，评注： 对待此类有关于分式、根式的问题，切记关注函数的分母与被开方数即可，两者要同时考虑，所求“交集”即为所求的定义域；2、求抽象函数的定义域 x1,1， x2 3, 1 ， 1x2 29(1) 如已知函数 yfx 的定义域为a,b，其复合函数 yf g x的定义域由不等式 ag xb

4、求出 x 的取3 x2 265 ，3y5值范畴，即为函数yf g x的定义域；函数yx24 x2 （ x 1,1 ）的值域为 3,5 ；13、函数的单调性法： 确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域；例:如函数 yf x 的定义域为,2 ，就2f log 2 x 的定义域为；例： 求函数 yx1 在区间 x0, x上的值域；分析： 由函数 yf x 的定义域为1 ,22可知： 1x22 ；所以 yf log 21x 中有2log 2 x2 ；分析与解答：任取x1 , x20,，且 x1x2 ，就解： 依题意知：2 x1log2解之，得2x4fx1fx2x1x2x1x1

5、 x2 x21，由于 0x1x2 ，所以： x1x20, x1 x20 ，2f log 2 x 的定义域为x |2x4当1x1x2 时，x1 x210 ，就 fx1fx2；点评：对数式的真数为x ，原来需要考虑 x0，但由于2x4 已包含 x0的情形，因此不再列出；当 0x1x21 时， x1 x210 ，就 fx11f x2；而当 x1时，ymin2(2) 如已知函数 yfg x的定义域为a ,b ，其函数 yfx 的定义域为 g x 在 xa, b时的值域；于是：函数 yx在区间 x0, x上的值域为2, ；例 3：已知 yf 2 x1 的定义域为（ -1 ，5，求函数 yfx 的定义域；

6、4、反函数法： 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域；例： 求函数 y3x4 的值域；名师总结优秀学问点1 2x5775x6解： y1x2212，解：由 y3x4可得 x5 x646 y，5 y32x52x7522x520 ， y1 ，就其反函数为 y3x446x3，其定义域为：x5x3532x5函数 y1x2 x52的值域为 y | y1 ；2函数y的值域为y y；8、有界性法： 利用某些函数有界性求得原函数的值域；5 x65x215、换元法： 运用代数代换，将所给函数化成值域简洁确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如例： 求函数 yx21

7、的值域；yaxbcxd （ a 、b 、 c 、 d 均为常数，且 a0 c0 ）的函数常用此法求解；解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为r ，对函数进行变形可得例： 求函数 y2 x12 x 的值域；2 y1x y1 ，1t 22y1解：令 t12 x （ t0 ），就 x，2 y1 ， x（ xr ， yy11 ）， yt 2t1t1 25y1240 ，1y1y1 ，当 t1 ，即 x23 时，8ymax5 ，无最小值；4x21函数 y2 x12 x 的值域为5, ； 4函数 y2x的值域为 y |11y16、判别式法： 把函数转化成关于x 的二次方程f x, y0 ；通过方程有实数

8、根，判别式0 ，从而求得三、求函数解析式的方法2a xb xc求函数的解析式是函数的常见问题, 也是高考的常规题型之一, 方法众多 , 下面对一些常用的方法一原函数的值域，形如y111（ a1 、 a2 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解；一辨析 .a x2b xc222x2x31、配凑法： 已知复合函数f g x 的表达式，求f x 的解析式，f g x 的表达式简洁配成g x 的运算形例： 求函数 y2x的值域；x1式时，常用配凑法；但要留意所求函数f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是g x 的值域；解：由 yx2xx2x3 变形得 y11x2 y1xy30 ，例：已知f x

9、1 xx21 xx 20) ，求f x 的解析式当 y1 时，此方程无解；当 y1 时， xr ， y124 y1 y30 ，解：f xf x1) xxx 221 2x x2 ，x12x2解得1y11 ，又 y31 ， 1y1132、换元法： 已知复合函数意所换元的定义域的变化；f g x 的表达式时，仍可以用换元法求f x 的解析式；与配凑法一样，要注函数 yx2x23 的值域为11 y |1y例：已知 f x1x2x ，求f x1xx13解：令 tx1 ，就 t1 ， xt1 27、分别常数法： 分子、分母是一次函数得有理函数，可用分别常数法，此类问题一般也可以利用反函数法；f x1x2x

10、例： 求函数 y1x2 x5的值域；f t t1 22t1t 21,f xx 21x1名师总结优秀学问点解对于任意实数 x、y，等式f xyf xy 2 xy1 恒成立，f x1x1 21x22 x x0不妨令 xy ，就有f 0f xx2 xx13、待定系数法： 如已知函数类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法以函数解析式为：f xx2x1例： 已知 f x是二次函数，且fx1fx12 x24 x4 ，求 fx 的解析式6、代入法： 求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法；解：设 f xax 2bxc, a0例： 已知：函数 yx2x与yg x 的图象关于点 2,3

11、对称，求g x 的解析式f x1fx12ax22bx2a2c解：设 m x, y 为 yg x 上任一点，且m x , y 为 m x, y 关于点 2,3 的对称点2a2a12b4解得b2x x2就2，解得：xx4，2a2c4c1y y3y6y2 f xx22 x1点 m x , y 在 yg x 上4、构造方程组法： 如已知的函数关系较为抽象简约，就可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式；yx 2x例：设f x满意f x2 f 1xx, 求f xxx4把y6y代入得：解f x2 f 1 xx6yx4 2x4明显 x10, 将 x 换成11 ，得：x整理得 yx 27

12、 x6f x2 f xxg xx 27 x6解 联立的方程组，得：f xx233 x例： 设f x 是定义在 r上的奇函数 , 且当 x0时， fx2x23x1 ，试求函数f x 的解析式例： 设 f x 为偶函数，g x 为奇函数，又f xgx1,试求f x和g x 的解析式解：设 x0 ，就x0解f x 为偶函数，x1g x 为奇函数，fx2x 23x1f xf x, g xg x f x 是定义在 r 上的奇函数又 f xg x1 ，x1f故 f xxfx2 x23 x1x0用x 替换 x 得： f xg x1x1 fxfx ，当 x0 时， f 00即 f x1g xx12 x23 x

13、1 x0解 联立的方程组，得 f x0 x0f x1，x 21gx1x 2x2 x23 x1 x05、赋值法： 当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题详细化、简洁化，从而求得解析式；四、判定详细函数单调性的方法1、定义法例： 已知：f 01 ，对于任意实数 x、y，等式f xyf xy 2 xy1 恒成立，求f x一般地，设 fx 为定义在 d 上的函数；如对任何x1 、 x2d ，当x1x2 时，总有1f x1 f x2 ，就称 fx 为 d 上的增函数；名师总结优秀学问点yax2bxc当 a0 时， xb 时 y 单调减 , 2a2f x

14、1 f x2 , 就称 f x为 d 上的减函数，；二次 ax0, a,b,crb 时 y 单调增； 2a利用定义来证明函数yf x 在给定区间 d 上的单调性的一般步骤：函数当 a0 时， xb 时 y 单调增 ，2a（ 1）设元，任取x1 , x2d 且 x1x2 ；xb 时 y 单调减； 2a（ 2）作差f x1 f x2 ；反yk当 k0 时, y 在 x0 时单调减，在（ 3）变形（普遍是因式分解和配方） ；比xx0 时单调减；（ 4）断号（即判定f x1 f x2 差与 0 的大小）；例函kr 且 k0 当 k0 时, y 在 x0 时单调增，在（ 5）定论（即指出函数f x在给定

15、的区间d上的单调性）；数x0 时单调增；例： 用定义证明函数f xkxkx0在0, 上的单调性；指ya x当 a1 时， y 在 r 上是增函数；证明：设x1 、 x20, ，且 x1x2 ，就数函数a0, a1当0a1 ，时 y 在 r 上是减函数；f x1 f x2 x1k x x1kx1x2kkx2 x1x22当 a1 时， y 在 0, 上是增函数；xx k x2x1 xx k x1x2 xx x1x2k ，对yloga x12x1 x212x1 x212x1 x2数函数a0, a1当 0a数；1 时， y 在 0, 上是减函又 0x1x2所以 x1x20 ， x1 x20 ，当 x1

16、 、 x20,k 时，x1 x2k0f x1 f x2 0 ，此时函数f x 为减函数；几个常用的结论：当 x1 、 x2k , 时，x1 x2k0f x1 f x2 0 ，此时函数f x 为增函数；如 fx、 g x为增函数，就有一下结论：综上函数f xxkk x0 在区间 0,k 内为减函数；在区间k , 内为增函数； f x +c 为增函数；（ c 为常数）2、函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判定函数单调性的方法；函数性质法通常与我们常见的简洁函数的 单调性结合起来使用；对于一些常见的简洁函数的单调性如下表：当 k0 时， kf x 为增函数，kf x为减函数；函函数表达式单调区

17、间特别函数图像 数 f x0 恒成立时，1 为减函数；fxn一当 k0 时， y 在 r 上是增函数； 当 f x0 ， n0 ， fx为增函数；次ykx函数b k0当 k0 时， y 在 r上是减函数； f x g x 为增函数；3当 f x0 、 g x0 ，就f xg x 为增函数；例： 判定f xxx 3log 2 x2 x 1 x215 的单调性；2解: 函数f x 的定义域为 0, ，由简洁函数的单调性知在此定义域内x, x3 , logx 3均为增函数， 因2名师总结优秀学问点为 2 x 10 , x 210 由性质可得2 x 1 x21) 也是增函数；由单调函数的性质知xx3l

18、ogx 为增分别解出两个基本初等函数的定义域；3分别确定单调区间；函数，再由性质知函数f xxx 3log 2 x2 x 1 x 21 +5 在 0, 为单调递增函数；如两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，就yf g x 为增函3、图像法用函数图像来判定函数单调性的方法叫图像法；依据单调函数的图像特点，如函数f x 的图像在区数，如为一增一减，就yf g x 为减函数（同增异减） ；间 i 上从左往右逐步上升就函数f x 在区间 i 上是增函数；如函数f x 图像在区间 i 上从左往右逐步下降求出相应区间的交集，既是复合函数yf g x 的单调区间；2就函数 f x

19、 在区间 i 上是减函数；、以上步骤可以用八个字简记“一分” ，“二求”，“三定”，“四交”；利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题；2例:如图 1-1 是定义在闭区间 -5,5上的函数 yf x 的图像，试判定其单调性；例:求f xlog a 3 x5 x2 （ a0 且a1 ）的单调区间；解：由题可得函数f xlog a 3x5 x2) 是由外函数 ylog a u 和内函数 u3 x25 x2 符合而成；由题知函数为减函数；f x 的定义域是 , 2 1 ,3 ；内函数 u3 x 25x2 在 1 ,3 内为增函数，在, 2 内如 a1 ，外函数 ylog a u 为增函数，由

20、同增异减法就， 故函数f x 在 1 ,3 上是增函数；函数f x解：由图像可知：函数yf x 的单调区间有 -5,-2）， -2,1 ）， 1,3 ）， 3,5 ） . 其中函数 yf x 在区在, 2 上是减函数；间-5,-2）， 1,3 ）上的图像是从左往右逐步下降的，就函数yf x 在区间 -5,-2），1,3 ）为减函数；如 0a1，外函数 ylog a u 为减函数，由同增异减法就，故函数f x 在 1 ,3 上是减函数；函函数 yf x 在区间 -2,1 ），3,5上的图像是从往右逐步上升的，就函数yf x 在区间 -2,1 ），3,5数 f x 在, 2 上是增函数；上是增函数

21、；五、判定函数奇偶性的方法：4、复合函数单调性判定法1、定义法： 对于函数f x 的定义域内任意一个x，都有 fxf x函数 f （x）是偶函数；如 yf u 是增函数， ug x 是增（减）函数，就yf g x 是增（减）函数；（ 2）如 yf u 是对于函数f x 的定义域内任意一个x，都有 fxf x函数 f （x）是奇函数；减函数， ug x 是增（减）函数，就yf g x 是减（增）函数；判定函数奇偶性的步骤：、判肯定义域是否关于原点对称；、比较f x 与f x 的关系，归纳此定理，可得口诀：同就增，异就减（同增异减）复合函数单调性的四种情形可列表如下：、依据定义，下结论；例： 判定

22、以下函数的奇偶性x 23f xx单调性情形第种情形第种情形第种情形第种情形解： 函数定义域为x x0x23fx函数x fxfx内层函数 ug x yfx 为奇函数；外层函数 yf u 2、图象法： 图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y 轴对称的函数是偶函数； ，例： 判定以下函数的奇偶性复合函数 yf g x判定复合函数 yf g x 的单调性的一般步骤：合理地分解成两个基本初等函数yf u , ug x ；f x解： fxx22 x1x22 x1 x0x22 x1 x0名师总结优秀学问点a.16b. 2c.111d.1162图像如右图所示4.设 a0.7 2 ， b0.8 2 ，

23、clog 3 0.7 ，就（）由图像可知 f xx22 x1为偶函数；a cbab cabc abcd bac说明 ：一般情形下，解答题要用定义法判定函数的奇偶性，挑选题、填空题可用图象法判定函数的奇偶性；3、运算法： 几个与函数奇偶性相关的结论：5以下函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）1奇函数 +奇函数 =奇函数；偶函数 +偶函数 =偶函数；奇函数×奇函数 =偶函数；奇函数×偶函数=奇函数；偶函数×偶函数=偶函数；4、复合函数：函数 gx ， fx ，fgx的定义域都是关于原点对称的，如 u=gx ，y=fu 都是奇函数时， y=fgx是奇函数；a.y

24、 = x21c.y = x36. 偶函数 yx 0,+ b.y = 3xx rx rd.y = lg|x| x 0f x 在区间 0 ，4 上单调递减，就有（）如 u=gx ，y=fu 都是偶函数，或者一奇一偶时，y= fgx是偶函数；复合函数的奇偶性特点是： “内偶就偶，内奇同外 ”；a. f 1f 3f b.f 3f 1f c.f f 1f d.3f 1f f 37. 在 blog a 25a中，实数 a 的取值范畴是（）aa5 或 a2b2a5c2a3 或3a5d3a4广东惠州高中一年级 上 期中考试数学科试题8如函数f x（ 1 ）x , x41,0， 就f log 4 3（）命题人：

25、东平校区张忠兵4 x ,x10,11一、挑选题（每道题5 分，共 50 分）a 3b 3c 4d 41. 已知全集 u1,2,3,4,5,6,7, a2,4,5，就 cu a9.设集合 a x | 0log 2 x1, b x | xa.如 ab, 就 a 的范畴是（）a.b.1,3,6,7c.2,4,6d.1,3,5,7a a2b a1c a1d a22. 函数f xlog 2 x的图象是（）10.假如一个函数f x 满意： （1）定义域为 r；（2）任意x1 , x2r ，如 x1x20 ，就f x1 f x2 0 ；（ 3）任意 xr ，如 t0 ， f xtf x .就 f x 可以是（）xa yxb y33c yxd ylog