配同济版高等数学下期末复习试题12

1、综合练习 412 解答一. 挑选填空题1. 在空间解析几何中 , 方程 3x24 y 25z21 表示的曲面为 .解. 单叶双曲面 .2. 直线 x12y 1z2 与平面31xyz1 的位置关系为 .a 包含b不相交c垂直相交d交于一点但不垂直解.2,3,11,1,10 , 应选b.3. 设ulnx2y3z , 就d u1,2,3.解. d u1 dx2 dy3 dz .1,2,31414144. 曲线z x2y2在点 1,0,1处的一个单位切向量为 .x2 yz2解. t2x,2 y,1 1,0,11,2,12,3,4, 故e12,3, 4.295. 函数fx, y在点x0 , y0处可微是

2、它在该点处存在偏导数f xx0 , y0和f yx0 , y0的 条件.a 必要非充分b充分非必要c充分必要d既非充分也非必要解. 选b.2x44 x6. 设fx, y 连续, 交换积分次序 , 就dxfx, ydydxfx, ydy0020 .24 y解.dyfx,0yy dx .17. 曲线积分lex sin3 y3y d x3ex cos3y2x d y , 其中 l 为取逆时针方向的圆周路径x2y21.解.ex sin 3 y3yd x3ex cos3 y2 x d y5d5.lx2y 2 18. 设曲面为柱面 x2y21介于 z2 和 z2 之间的一段 , 就曲面积分x2yzy2d

3、s .a 2b4c6d8解.x2yzy 2d sx2y2d sd s8, 应选d.9. 设常数0 , 就级数n 11 n 1 1nn 2 3.na 发散b条件收敛c肯定收敛d敛散性与有关解. 级数收敛 , 又 n时 1nn 231 , 应选b.nn10. 设 fx是以 2为周期的周期函数 , 且在,上表达式为2,fxx3 ,0x0, 就其傅里叶级数在x x2处收敛于 .f0解. 收敛到f0201.22二. 设 zz x, y是方程 2xyze z 确定的隐函数 , 并且 z1,10 , 求(1) z x,z ;2yz x, y在 1,1 处沿 l3,4方向的方向导数 .解.1z2,z x1ez

4、y1;1ez2(2) zz ,z3 , 41,13 , 41 .2555l1,1xy1,155三. 求 iln 1x2y2d v , 其中为圆柱面 x2y21 和抛物面zx2y2 , z4x2y2 所围成的空间闭区域 .4 x2解. idxdyy 2ln1x2214y2dzdd2ln12dzx 2 y 2 1x 2y200242ln 21 .四. 求 ix24xzd y d zy23yzd x d zz2x3 yd x d y , 其中为曲面 zx2y20z1 的下侧 .z1解. 取1 :22上侧, 就 i11xy12x2 y3 z dv1x3 yd3zdvd0 .x 2y 2 1x 2 y

5、2 1五. 设幂级数n 1n1xn, 求1 收敛半径及收敛域 ;2和函数 .n 1n 3解.1limnan 11 , 故 ran313 , 收敛域为3,3 ;2 设 s xn 11nn 1n 3xn , x3,3 , 就1n 1n 11x111sxxn 13n333, 故x3xn 1n 113s xs 0x1dx0 3xln3xln 3ln1x.33六. 设函数fx连续, 且当 x0 时,fx与 x 为等价无穷小 , 令ftfdtx2y2d, 其中 d : x2ty2t2t0.1 求 ft;2 判定级数n 11 n 1 f1n是否收敛 , 假如收敛 , 请说明是肯定收敛仍是条件收敛 .2tt解.1ftdfd2 fd, 故 ft2tft;0002 当 n时, u2f12, 故级数肯定收敛 .nnnn2七. 设质点在变力 fyz izxjxyk 作用下 , 由原点动身 , 沿直线 l 运动x2y 2z2到曲面a2b 2c21 a0, b0, c0 上位于第一卦限的点mu, v, w处.(1) 写出直线 l 的参数方程 ;(2) 利用曲线积分 , 写出上述运动过程中f 对质点所作的功 w 的表达式 ;(3) 问当 u, v, w 取何值时 , w 可取到最大值 , 并求出该最大值 .解.1l :x uty vt ;z wt(2) wyzdxzxdyxydzl13uvw t 2