第二章随机变量及其分布习题

1、第二章 随机变量及其分布习题、填空题a1设随机变量'的分布律为P(：-K)( K=1,2, N )则常数a =。N2. 盒内有5个零件，其中2件次品，从中任取 3件，用表示取出的次品数，则的概率分布为。3. 设F (x)是离散型随机变量的分布函数，若P(匕=b) = ，则P(a ：b)二 F(b) -F(a)成立。a4设离散型随机变量二的分布函数为F(x)= 2a3 L a + bx _2贝H a =, b =二的分布律为x5.设连续型随机变量 匕的概率密度为f (x)=ke 2i0，且 P(，则 k =_, P(1 兰 2) =, P(© =2) =, P(© c

2、2) =6.设5个晶体管中有2个次品，3个正品，如果每次从中任取1个进行测试，测试后的产品不放回，直到把 2个次品都找到为止，则需要进行的测试次数是一个随机变量，则P(© =5) =, P(© 兰2) =)27. 设随机变量壬的概率密度为f(x) = ke 8(一吆贝U k =8. 两个随机变量二，口相互独立的充要条件是 r -x9.设连续型随机变量 匕的概率密度为f (x)=e0x 一 0，则.的函数二.'的概率密x ： 010.设随机变量的概率密度为f(x)kx0 x : 1,(b0,k0)其他1且P（亍75,则“，厂、选择题21 . P（： -Xk）（k =1

3、,2）为一随机变量的分布律的必要条件是（）Pk（A）Xk非负（B）Xk为整数（C） 0 空 Pk 乞 2（ D） Pk 22 .若函数y二f （x）是一随机变量的概率密度，则（）一定成立（A）f （x）的定义域为0，1（B）f （x）的值域为0，1（C）f（x）非负（D）f （x） 在（内连续3. 如果F（x）是（），则F（x） 定不可以是连续型随机变量的分布函数（）（A ）非负函数（B）连续函数（C）有界函数（D）单调减少函数4. 下列函数中，（）可以作为连续型随机变量的分布函数x(A) F(x)=戶1x : 0x _0（C）：（x）二x ： 0x -0 -xex<0(B)G(x)=丿

4、-1 x>0” 0X £ 0(D)H(x)=,_xJ + ex KO5 .设（，）的联合概率密度为f(x, y)二二x2其他则与为（）的随机变量（A）独立同分布（B）独立不同分布（C）不独立同分布（D）不独立也不同分布二、计算题1.掷两颗骰子，用表示点数之和，求的概率分布。2. 抛掷一枚硬币，直到出现“正面朝上”为止，求抛掷次数的分布律。3.已知随机变量'只能取-1， 0，1，、2，相应的概率为求：（1） 1 =2，-1的分布律；（2） 2二2的分布律。求c的值，并计算p门）。4.设连续型随机变量的概率密度为f（X）=XkeT - 4 oo . 2X -X求（1）系数

5、k （2） 的分布函数（3） 乞 lip1?, Pl1 <:：: 2：工0 x乞035. 设连续型随机变量的分布函数为F（x） =：=Ax0 ： x ： 21 x - 2求（1）系数 A；（2）plo ：: 1，P'1.5 ：- 2-，P2 _- 3/Ax 0 兰 x c 16. 设连续型随机变量 ©的概率密度为f（x）=2-x 1Ex<20 其他求（1）系数 A （2）的分布函数 F（x）（3） P'b.5 ：上 1.5|0 _- 17某种型号的电灯泡使用时间（单位：小时）为一随机变量，其概率密度为f(x)=500001 e 5000ex 0x _0求3

6、个这种型号的电灯泡使用了1000小时后至少有2个仍可继续使用的概率8甲和乙两名篮球运动员各投篮3次，如果甲的命中率为0.7，乙的命中率为0.6,用，分别表示甲和乙投篮命中的次数，求,的分布律及（,）的联合分布律9.已知离散型随机变量 匕的分布律为匕-3-10135P1 1112 11263129910.设的概率密度为f(x) = «'2x0 . x : 1其他的概率密度 (y)四、证明题已知为相互独立的随机变量，,的概率函数为P( =kP( =k)二C：pk(1 p)n(0 ： p ",k =0,1,2 n),求证：P(=k)=C；nPk(1 P)2n±(

7、k =0,1,2 2n)五、附加题设离散型随机变量的分布函数为F(x)二a2a3、a +bx ： -1一 1 _ x ： 1且p( T冷，求a, b,以及'的分布律。1.2.填空题:(X,Y )的分布律为Px 兰一，Y <-(1F(x, y)=.rf (x, y)二0100.560.2410.140.06，PX _1；=1<2一e"" -e'y),x 0,y 0 则分0,其它布密度函数3已知(X,Y) f(x, y)=Csin (xy),0,ji0 - x, y -4其它4. 设(X,Y )的分布律为(X,Y )(1,1)(1,2)(1,3)(2

8、,1) (2,2)(2,3)P1111Pa69183X与Y独立，则:-,?二选择题：1.设随机变量（X ,Y ）的密度函数为f(x,y)0,u,。点1则概率其它:0.5,Y : 0.6 为(2.3.A. 0.5设随机变量XB. 0.37C.8D. 0.401Y0112P123333）。X与Y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是（A. X 二 Y B. PX 二 Y、1D.设随机变量X与Y相互独立，且X N（h»2），丫 N（2,2-2），则Z = X Y仍具正态分布，且有（）°a. z Nd2 ；拧）C. ZNC2,；雳）4.设X与Y是相互独立的两个随机变量Z二max（

9、X,Y）的分布函数为（A. Fz（z） =maxFx（z）,FY（z）fB. Z N(S JU)D. Z N(S2Fi2 V),它们的分布函数分别为Fx (x)、Fy(y)，则)。B. Fz (z) =max：Fx(z), Fy(z) *C. Fz(z)二 Fx (z)Fy D.都不是二、计算题:1 .设箱内有6个零件，其中一、二、三等品各为1、2、3个，从中任意取出3件，用X和丫分别表示取出的一等品和二等品数，试求（X,Y）的联合概率及边缘概率分布。2.将一枚硬币掷3次，以X表示前2次中出现H的次数，以Y表示3次中出现H的 次数，求(X,Y)的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律。3. 二维

10、随机变量(X,Y)共有六个取正概率的点，它们是：(1,-1),(2,-1) ,(2,0) ,(2,2),(3,1)(3,2),并且(X,Y)取得它们的概率相同，求(X,Y)的联合分布。4.设(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)=<0,x _ 0, y _ 0其它试求：(1)常数 C ; (2) P(0 ：X :：: 1,0 : Y ：1)5.随机变量(X,Y)的分布密度f(x,y)i3x00 ： x : 1,0 ： y x其它求(1) X与Y的边缘分布密度；(2)条件分布密度，问 X与Y是否独立。6 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为2f(x, y)= <xI3xy,0,0_x

11、_1,0_y_2其它(1)求关于 X和关于Y的边缘密度函数，并判断X和Y是否相互独立?2) 求PX Y7.已知二维随机变量服从 D =x, yjOcxcyc"上的均匀分布，求 1 P0vX v,0 <Y < ?。2 2& 离散型随机变量(X,Y)有如下概率分布:01200.10.20.3100.10.22000.1(1) 求边缘概率分布；(2) 求Y = 2时X的条件分布；(3) 检验随机变量X与Y是否独立。9 设X和Y是两个相互独立的二维随机变量，X在(0, 1)上服从均匀分布，Y的概1 J率密度为 fY(y)二7e ,y 0 , (1 )求X和Y的联合概率密度；(2 )求10,y岂0P?X Y ：1?。10 设二维随机变量(X ,Y)的联合概率分布为Y X01210.30.20