第十六章(2)原子的量子理论

1、第十六第十六章章原子的量子理原子的量子理论论211原子光谱的规律性原子光谱的规律性212玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论213德布罗意假设及其实验证明德布罗意假设及其实验证明214不确定关系不确定关系215粒子的波函数粒子的波函数薛定谔方程薛定谔方程216一维无限深的势阱一维无限深的势阱1、理解氢原子光谱的实验规律及玻尔氢原子理论、理解氢原子光谱的实验规律及玻尔氢原子理论, , 了解此理论的意义及其局限性。了解此理论的意义及其局限性。2、了解德布罗意的物质波假设及电子衍射实验，理、了解德布罗意的物质波假设及电子衍射实验，理 解光和实物粒子的波粒二象性。解光和实物粒子的波粒二象性。3、理解描述物

2、质波动性、粒子性的物理量之间的关、理解描述物质波动性、粒子性的物理量之间的关 系。系。4、了解波函数及其统计解释、不确定关系，了解一、了解波函数及其统计解释、不确定关系，了解一 维定态薛定谔方程。维定态薛定谔方程。教学要求：教学要求：射实验的基础上提出了原射实验的基础上提出了原 子的核模型，根据原子的子的核模型，根据原子的 核核模型，可以很好地解释模型，可以很好地解释 大角散射。大角散射。原子的核模型与经典电磁理论有矛盾原子的核模型与经典电磁理论有矛盾，如果原子的核，如果原子的核 模型正确则经典电磁理论不能解释：模型正确则经典电磁理论不能解释：（1）原子的不稳定性；）原子的不稳定性；（2）原子

3、光谱的分离（裂）性（即不连续性）。）原子光谱的分离（裂）性（即不连续性）。 实实验表明经典电磁理论已不适用于原子内部的运动，验表明经典电磁理论已不适用于原子内部的运动，必须建立适用于原子内部微观过程的理论。必须建立适用于原子内部微观过程的理论。1911年卢瑟福年卢瑟福在在 散散研究原子结构规律有两条途径：研究原子结构规律有两条途径：1、利用高能粒子轰击原、利用高能粒子轰击原子子轰出未知粒子来研究轰出未知粒子来研究 ( (高能物理高能物理) )；2、通过在外界激发下，原子的发射光谱来研究光、通过在外界激发下，原子的发射光谱来研究光 谱分析。谱分析。光谱可分为：光谱可分为：1、发射光谱：、发射光谱

4、：1) 连续光谱：炽热固体、液体、黑体；连续光谱：炽热固体、液体、黑体；2) 线状光谱线状光谱( (原子原子) )：彼此分离亮线：彼此分离亮线, ,气体放电、气体放电、 火花电弧等。火花电弧等。211原子光谱的规律性原子光谱的规律性两者都能反映物质特性及其内部组成结构两者都能反映物质特性及其内部组成结构 简单的原子发射光谱是氢原子光谱。简单的原子发射光谱是氢原子光谱。 氢原子的氢原子的光谱系光谱系特征谱线最特征谱线最2、吸收光谱：连续谱通过物质，有些谱线被吸收形成的暗线。、吸收光谱：连续谱通过物质，有些谱线被吸收形成的暗线。1885年巴尔末年巴尔末( (瑞士一中学教师瑞士一中学教师) )发现了

5、发现了氢原子光谱在可见氢原子光谱在可见 光部分的规律光部分的规律，即，即1、巴尔末系、巴尔末系( (可见光部分可见光部分) )HHHH , n 3,4,5经验公式经验公式n2 22(1) 3645.6n2 2 里德伯常里德伯常量量R 用用表示表示 1H(波波数数)11 , n 3,4,5,H 2 22 21 v Rn2 1.097 10 7 m 1o3645 .6 AR H2、赖曼系（紫外光部分）、赖曼系（紫外光部分） , n 2 ,3 ,4 , 11 H 2 11 Rn 2 3 3、红外光部分：、红外光部分： ， n 4， 5， 6， 帕邢系帕邢系： R1 3 2n 211 H , n 5

6、,6 ,7 , 1H 2 41布喇开系布喇开系： 1 Rn 2 1 , n 6,7 ,8,H 2 51 普芳德系：普芳德系： 1 Rn 2 4 4、氢原子光谱规律：、氢原子光谱规律： n R22111ifHn 2, 1, n fn f 取定取定值值 , ni 取取n fnf =1、2、3、4和和5分别对应分别对应赖赖曼系、曼系、巴巴尔末系、尔末系、帕帕 邢系、邢系、布布喇开系和喇开系和普普芳德系。芳德系。太阳光谱太阳光谱HNaNeHgH21913年，玻尔从原子核模型和原子的稳定性出年，玻尔从原子核模型和原子的稳定性出 发，发，应用普朗克的量子概念，提出了关于氢原子内应用普朗克的量子概念，提出了

7、关于氢原子内 部运动部运动理论，成功解释了氢原子光谱的规律性。理论，成功解释了氢原子光谱的规律性。1、玻尔的氢原子理论是建立在以、玻尔的氢原子理论是建立在以下下三条假三条假设设基础上：基础上：1) )定态假定态假设设：原子系统只能具有一系列的不连续能：原子系统只能具有一系列的不连续能 量状态。量状态。2) )角动量假设角动量假设量子化条件量子化条件n 1,2,3, 主量子数主量子数2 P mvr nh3) )跃迁假跃迁假设设：在两个能级间跃迁时吸收或发射光子：在两个能级间跃迁时吸收或发射光子h Ei Ef212玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论2、氢原子能级公式、氢原子能级公式 认为：氢核质量无

8、穷大认为：氢核质量无穷大, ,近近似静止似静止( (相对电子相对电子) ) 1 半径量子半径量子化化：库仑：库仑力提供向心力力提供向心力rnnrnmv 1 e 4 0222 n由假设由假设 2：v n 2 mrnh n2 r n2 , n 1,2,3,1 me 2 h20 r nr 0.529 10 10 m 第一玻尔半第一玻尔半径径 (n 1)12能量量子化能量量子化En Enp Enk 2ne214 0rn 2me 41E1 mvE1：基：基态态 （能量最小最稳定的（能量最小最稳定的状状 态）态）E1E1 En E1 ,4,9n2n218 2 h20 E n E 13.6 3.4eV 13

9、.6eV8 2 h2meE1 42041eV 1.60 10 19 J电离：电离： n 1 n c1 说明说明En不连续，取一系列分离值不连续，取一系列分离值能级能级 基基态态 n =1=1，激发态，激发态 n 113、原子辐射、原子辐射根据玻尔的跃迁假设：根据玻尔的跃迁假设： hv Ei Ef(ni nf )me(11)8 2 h 3n 2n 204ifme(1E E if h 1)(1 1) R2i2f2i2f230Hnnn与实验吻合得极好与实验吻合得极好 1 8 h c n44 1.097 107 m 18 2 h3 c0得得R meH紫外光紫外光红外光红外光赖曼系（赖曼系（ nf=1）

10、巴尔末系巴尔末系（nf=2）帕邢系帕邢系（nf=3）可见光可见光n=1n=n=3 n=2 1)(1 1) R1 me(1 8 h c n2i2f2i2f2304Hnnn（1）不能解释多电子原子光谱、强度、宽度和偏振性等；）不能解释多电子原子光谱、强度、宽度和偏振性等；（2）不能说明原子是如何结合成分子，构成液体、固体）不能说明原子是如何结合成分子，构成液体、固体 的。的。（3）逻辑上有错误：以经典理论为基础）逻辑上有错误：以经典理论为基础, ,又生硬地加上与又生硬地加上与 经典理论不相容的量子化假设经典理论不相容的量子化假设, ,很不协调很不协调 - 半经半经 典半量子理论典半量子理论 。4

11、4、玻尔氢原子理论的困难、玻尔氢原子理论的困难满意解释了满意解释了H、类、类H 原子线谱，得到了原子线谱，得到了 RH，但仍存在，但仍存在 缺陷：缺陷：玻尔原子理论的意义在于：玻尔原子理论的意义在于：1) 揭示了微观体系具有量揭示了微观体系具有量 子化特征（规律），是子化特征（规律），是 原子物理发展史上一个原子物理发展史上一个 重要的里程碑，对量子重要的里程碑，对量子 力学的建立起了巨大推力学的建立起了巨大推 进作用。进作用。2) 提提出出“定定态态”，“能级能级”， “量子跃量子跃迁迁”等概念，在等概念，在 量子力学中仍很重要，量子力学中仍很重要， 具有极其深远的影响。具有极其深远的影响。

12、氢氢 原原 子子 的的 电电 子子 云云 图图2、1924年年，德布罗意用类比手法，德布罗意用类比手法，提出实物粒子亦具提出实物粒子亦具 有波粒二象性的假设有波粒二象性的假设：每一个运动的粒子都有一个波：每一个运动的粒子都有一个波 与之联系，这波的波长与之联系，这波的波长 和粒子的质量和粒子的质量m及其速及其速度度v之之间有一简单关系：间有一简单关系： 21-3德布罗意假设及其实验证明德布罗意假设及其实验证明 一、德布罗一、德布罗意波假意波假设设物质波概念物质波概念 1、光的波粒二象性光的波粒二象性：波动性：可以发生干涉、衍射现象波动性：可以发生干涉、衍射现象 粒子性：粒子性：黑体辐射、光电效

13、应、康普顿散射黑体辐射、光电效应、康普顿散射 h mvE h p h m 0 v2 E m 0 c, hhh其其中中 物质波：与实物粒子相联系的波。物质波：与实物粒子相联系的波。 E p m v h mc h 2德布罗意关系式德布罗意关系式)21 (v1c说明能量说明能量为为E、动量、动量为为p 的粒子的粒子, ,从波动性看来应具从波动性看来应具有有 和和。 c ch m 0 vh m cv220注意注意： 3、玻尔氢原子理论量子化条件的导出：、玻尔氢原子理论量子化条件的导出：(1) 定态：只有当电子在核外绕行的圆轨道周长为电定态：只有当电子在核外绕行的圆轨道周长为电 子波长的整数倍，即只有当

14、电子波环绕着原子核子波长的整数倍，即只有当电子波环绕着原子核 形成驻波的情况下，原子才具有稳定状态。形成驻波的情况下，原子才具有稳定状态。(2) 角动角动量量 Lmvmv( h) 2 r nh2 r n 波尔的量子化条件波尔的量子化条件2 h mvr n例例计算电子经过计算电子经过U1 = 100V 和和U2 = 10000V 的电压加速后的电压加速后的得布罗意波长的得布罗意波长1和和2分别是多少？分别是多少？解：解：经过电压经过电压 U 加速后，电子的动能为：加速后，电子的动能为：1 mv2 eU （因为加速后电子的速（因为加速后电子的速 度并不高，度并不高，2使用经典力学的结论即使用经典力

15、学的结论即 可）可）将将h, m, e的值代入，得的值代入，得 12.25(埃埃)根根据据得布得布罗罗意意公公式，式，此此 时电子波的波长为时电子波的波长为 h h 1 2emU2eU由此得：由此得：v U将已知数据代入计算可得：将已知数据代入计算可得：1=1.225（埃）（埃）2=0.1225 （埃）（埃）mvm二二、 德布罗意假设的实验证明德布罗意假设的实验证明I0U510152025G 1、戴维、戴维森森革末实验革末实验B电子束加电子束加 速后投射到单速后投射到单 晶上。保持掠晶上。保持掠 入角不变，改入角不变，改 变加速电压，变加速电压， 发现接收到的发现接收到的 电子（电流）电子（电

16、流） 有一系列的极有一系列的极 大值。大值。UKMk 1,2,3,2d sin k ,UU2em而而： h 1 1 12.25若电子有波动性若电子有波动性, ,应满足布拉格公式应满足布拉格公式: :U12em 2d sin kh11若若d一定一定，k不同，只有不同，只有 可以满足极值条件。可以满足极值条件。取不连续的值才取不连续的值才U2、汤姆逊电子衍射实验、汤姆逊电子衍射实验实验得到电子的衍射图样类实验得到电子的衍射图样类 似于似于X 射线。证明电子确有波动射线。证明电子确有波动 性性, ,后来又证明其他实物粒子后来又证明其他实物粒子( (原原 子、中子子、中子) )亦有波动性。亦有波动性。

17、电子衍射图电子衍射图X 射线衍射图射线衍射图K金属箔金属箔电子束电子束三、德布罗意波的统计解释：三、德布罗意波的统计解释：1926年玻恩提出：物质波年玻恩提出：物质波是是“ 概率波概率波 ”。1、双缝衍射、双缝衍射：波动波动： I A 2 (光波振幅的平光波振幅的平方方 )粒粒子子 : I Nh （到达的光子数）（到达的光子数）某处光波的强度，决定某处光波的强度，决定 于光子到达该处的概率于光子到达该处的概率2、电子衍射：电子分布稀疏与密集说明电子到达各处的、电子衍射：电子分布稀疏与密集说明电子到达各处的数量不同。数量不同。统计解释：物质波振幅统计解释：物质波振幅A的平方，与粒的平方，与粒 子

18、在该处附近子在该处附近 出现的概出现的概率率P 成正比。成正比。SS1S2用光子概念解释双缝实验用光子概念解释双缝实验一、不确定关系一、不确定关系由于微观粒子具有波粒二象性，所以它具有和经典力由于微观粒子具有波粒二象性，所以它具有和经典力学中质点不相同的性质，学中质点不相同的性质，按照经典物理按照经典物理，每一时刻质点占，每一时刻质点占 有一定位置，并具有一定动量，位置和动量可以同时准确有一定位置，并具有一定动量，位置和动量可以同时准确 测量。而测量。而微观粒子的波动性对确定粒子的坐标和动量带来微观粒子的波动性对确定粒子的坐标和动量带来 了某种限制了某种限制。设一平行电子束垂直射在单缝设一平行

19、电子束垂直射在单缝 上，如图，大多数电子通过狭缝后上，如图，大多数电子通过狭缝后 继续沿原方向运动但有些电子改变继续沿原方向运动但有些电子改变 了方向，即其动量改变了。了方向，即其动量改变了。 21-4不确定关系不确定关系xzd 首先考虑第一级电子衍射，电子动量在首先考虑第一级电子衍射，电子动量在X分量分量 px 在下列在下列 范围内：范围内：0 px p sin 故故px 的不确定量为：的不确定量为： px p sin 根据单缝衍射公式根据单缝衍射公式 d sin ，得，得d px p 电子通过狭缝时，通过狭缝哪一点是不确定的，所以有电子通过狭缝时，通过狭缝哪一点是不确定的，所以有电子坐标不

20、确定量电子坐标不确定量： x=dp h x px p h p和和 r为不确定量为不确定量 h/ 2 p r h或或： p r 说明说明：不确定关不确定关系系并非由于实验技术、误差并非由于实验技术、误差 造成，是波粒二象性的必然结果。造成，是波粒二象性的必然结果。如果考虑次级，则如果考虑次级，则： x p x h同理，对三维空间有：同理，对三维空间有： x p x h y p y h z p z h例例不确定关系式不确定关系式x pxh表示表示在在x方向上方向上（A）粒子位置不能准确确定。粒子位置不能准确确定。（B）粒子动量不能准确确定。粒子动量不能准确确定。（C）粒子位置和动量都不能准确确定。

21、粒子位置和动量都不能准确确定。（D） 粒子位置和动量不能同时准确确定。粒子位置和动量不能同时准确确定。例例不确定关系不确定关系式式x pxh，有以下几种理解：，有以下几种理解：（1）粒子的动量不可能确定。粒子的动量不可能确定。（2）粒子的坐标不可能确定。粒子的坐标不可能确定。（3）粒子的动量和坐标不可能同时准确确定。粒子的动量和坐标不可能同时准确确定。（4）不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用 于其它粒子。于其它粒子。其中正确的是：其中正确的是：（A）（1），），（2）（C）（3），），（4）（B）（2），），（4）（D）（）（4），），（1）例例题题2

22、1-1 设电子在原子中运动的速度设电子在原子中运动的速度为为106m/ /s，原子半径约为，原子半径约为10- -10m，电子位置的不确定量至少，电子位置的不确定量至少为为10-11m，即即x= =10- -11m，由，由 不确定关系得：不确定关系得： 7.3 107 m/sm x9.1 10 31 10 11h6.6 10 34 v 速度的不确定量在数量级上大于速度本身，在原子尺度速度的不确定量在数量级上大于速度本身，在原子尺度 上，电子不再有确定的速度，也就不能用经典力学求解。上，电子不再有确定的速度，也就不能用经典力学求解。例例题题21-2 质量质量为为1g 的物体，当测量其重心位置时，

23、不确定量的物体，当测量其重心位置时，不确定量 不超不超过过10- -6m，即即x=10- -6m，由不确定关系可得：，由不确定关系可得： 6.6 10 25 m/sm x10 3 10 6h 6.6 10 34 v 速度的不确定量，远小于可能达到的测量精度，用经典力速度的不确定量，远小于可能达到的测量精度，用经典力 学来处理宏观物体的运动是足够精确的。学来处理宏观物体的运动是足够精确的。 ( x, t ) a cos 2 ( t ) a为平面波的振幅，为平面波的振幅， 为初相。可写成复数形式，结果只为初相。可写成复数形式，结果只 取实数部分：取实数部分：问题：如何寻找将粒子性与波动性联系起来的

24、波函数？问题：如何寻找将粒子性与波动性联系起来的波函数？ 与具有恒定速度的粒子（自由粒子）相联系的物质波是与具有恒定速度的粒子（自由粒子）相联系的物质波是平面波，波的传播方向沿粒子的运动方向。平面波，波的传播方向沿粒子的运动方向。 沿沿x方向传播的方向传播的平面机械波波函数为：平面机械波波函数为：x xx i 2 t i 2 ( t ) Ae ( x , t ) ae其中其中A ae i 21-5波函数波函数薛定谔方程薛定谔方程假定这是与能量为假定这是与能量为E、动量、动量为为P 的自由粒子相联系的平的自由粒子相联系的平 面波，上式中的波面波，上式中的波长长 和频和频率率 （表示波动的物理量）

25、，（表示波动的物理量），可可 用表示粒子性的量用表示粒子性的量E 和和P 来表示来表示。由德布罗意公式：由德布罗意公式：ph h, E平面波方程可化为：平面波方程可化为：i 2 ( Et px ) i 2 ( t x) ( x , t ) Aeh Ae 这是与能这是与能量量E、动、动量量P、沿沿x方向运动的自由粒子相联方向运动的自由粒子相联 系的波，称为系的波，称为自由粒子的德布罗意波自由粒子的德布罗意波， 为自由粒子的波为自由粒子的波 函数函数，A是波函数的振幅。是波函数的振幅。ipxh自由粒子自由粒子的能的能量量E、动、动量量P常数，德布罗意波是平面波。常数，德布罗意波是平面波。非自由粒子

26、非自由粒子的能量的能量E、动量、动量P不是常数，此时德布罗意波不是常数，此时德布罗意波 是非平面波，怎样确定那么是非平面波，怎样确定那么非自由粒子非自由粒子的德布罗意波？它服从怎的德布罗意波？它服从怎 样的方程呢？样的方程呢？在在x 轴上运动的自由粒子的波函数可写为：轴上运动的自由粒子的波函数可写为：其中其中 ( x) Ae2 e ( x )i 2 Eth 是波函数的一部分，只是波函数的一部分，只与与x有关有关振幅函数振幅函数。 类似于驻波的振幅。类似于驻波的振幅。（分离变量）（分离变量） p 2mE k2p (x)4 d ( x) 2 2 h222 2dx22 ip Ae hipxh 2 让

27、让 ( x )对对 x求两阶导数，得：求两阶导数，得：mE 0d 8 h 2dx 22k上式为自由粒子的薛定谔方程上式为自由粒子的薛定谔方程 在有势力场中运动的在有势力场中运动的粒子（非自由粒子）除有动能粒子（非自由粒子）除有动能Ek外，还有势能外，还有势能U，令，令Ek E U则则（21-33）可）可推广到非自由粒子情形推广到非自由粒子情形，即，即m ( E U ) 0d 8 h222dx 2（21-33）推广到三维空间推广到三维空间：d d d 8 m (E U ) 0h22dx2dy2dz2222势能势能为为U 的力场中运动粒子的的力场中运动粒子的薛定谔方程薛定谔方程（1926年）。年）

28、。 薛定谔方程是量子力学的基本方程，不能推导，只能验证薛定谔方程是量子力学的基本方程，不能推导，只能验证。 波函数的物理意义波函数的物理意义： t 时刻在空间时刻在空间（x，y，z）处体积元）处体积元dV 内找到粒子的几率与内找到粒子的几率与 （ x，y，z ，t） 2 dV 成比例：成比例：与分子速率分布函数与分子速率分布函数相相 似似 ，对应概率密度。，对应概率密度。NdVdN 2 dV dV粒子粒子在在(t, r )附附近近dV出现的几出现的几率率 * t 时刻在（时刻在（ x，y，z ）处单位体积中找到粒子的）处单位体积中找到粒子的 概率，称为概率密度。概率，称为概率密度。该式称为该式

29、称为归一化条件归一化条件。如果满足归一化条件，如果满足归一化条件， (r , t ) (r , t )*表示表示 t 时刻，时刻，在空间在空间（x，y，z）处单位体积内找到粒子的几率）处单位体积内找到粒子的几率几率几率 密度密度。波函数必须满足的条件：波函数必须满足的条件：单值、连续、有限和归一化条件单值、连续、有限和归一化条件。因为在整个空间找到粒子的几率应等因为在整个空间找到粒子的几率应等于于1，故得到：，故得到：*dV 1 V赤铜赤铜矿矿cuprite（Cu2O） 中中铜铜 与氧的结合与氧的结合1、厚度、厚度为为a的金属板中的金属板中, ,自由电子受力自由电子受力为为0。F U, xx势

30、能势能U为常数为常数, ,可看作为可看作为0 0。2、在金属板表面：、在金属板表面：UU 突然增大突然增大( (x = = 0 0 , ,a) )为拐点，为拐点，一、势阱模型一、势阱模型2 21 1-6-6一维无限深势阱一维无限深势阱ax0金金 属属 表表 面面金金- - - - - - - 属属 - - - - - -为简单计为简单计, ,设粒子在场设粒子在场 U 中沿中沿x 轴作一维运动。轴作一维运动。2、U 满足边界条件：满足边界条件： 一维无限深势阱一维无限深势阱3、薛定谔方程的解、薛定谔方程的解 波函数波函数 经典观点：电子在金属经典观点：电子在金属板中能量连续板中能量连续, ,各点

31、找到电子的各点找到电子的几率相等几率相等, ,量子力学的结果应该如何量子力学的结果应该如何? ?一维势阱一维势阱中中 0 x a ,U 00 x a x0及及xa0 U(x)=0axEpU(x)=U(x)=U(x)=08 mE （ 1） 0 令令k d 8 mEh22h22dx22 ( x ) A sin kx B cos kx k 02dx22d x a时时, (a ) 0 sin ka 0 k x 0时时 , (0) 0 B 0, ( x ) A sin kxan 据边界条件：据边界条件：k n , 而而 n 1,2,3, , 代入代入（1）式有：）式有：a能量量子化能量量子化： E n2

32、 ，n 1,2,3,8ma 2h2波函数为：波函数为： ( x) Asin n xa由归一化条件由归一化条件求求A：2a 1 A2 a 1 A 2sinn xdxa dx A dx aa 0 0222 0 x a 2 sin n x aa ( x) ( x , t ) ( x )e i 2 t 2 sinn x cos 2 t 驻波驻波aa结论：结论：1、电子的波函数为驻波形式：、电子的波函数为驻波形式：3、能量为、能量为E 时，电子在势阱时，电子在势阱中中x处的概率密度：处的概率密度： ( x) 2 2 sin2 n xaa8ma 2h2E n2 x cos 2 t2sinn aa ( x

33、, t ) 2、电子的能量是量子化的：、电子的能量是量子化的：n = =1，2，3，8ma 2h2E n2 n波波 函函 数数 曲曲线线概率密度曲线概率密度曲线E4E3E2E1xa0n=1n=2n=3n=4n=24表表 明明：（ 1 ）n ,几率密度的峰值靠得几率密度的峰值靠得很很 近，与经典近，与经典 力学认为的各处几率力学认为的各处几率相相 等一致。等一致。( a )n , E , E 与与 m 、 a 有关有关(b)a较宽时，能量量子化较宽时，能量量子化不不 显显著著,电子在各电子在各 处连续分处连续分布布 : a较窄较窄时时 , 能量量子化显著。能量量子化显著。 E 2n 1 8ma

34、22n 1（2）能级差）能级差: E Ehn薛定谔方程的重要意义：薛定谔方程的重要意义： 薛定谔方程是量子力学描薛定谔方程是量子力学描述微观粒子运动规律的基述微观粒子运动规律的基本方程，由它得出的结果与实验相符合。本方程，由它得出的结果与实验相符合。通过求解薛定谔方程可以得出描述粒子运动状态的通过求解薛定谔方程可以得出描述粒子运动状态的 波函数。波函数。在求解过程中，要考虑波函数必须满足的条件：单在求解过程中，要考虑波函数必须满足的条件：单 值、连续、有限和归一化条件。不必象经典物理那样，值、连续、有限和归一化条件。不必象经典物理那样， 人为地提出量子化条件，求解过程中自然得到量子化条人为地提

35、出量子化条件，求解过程中自然得到量子化条 件，这是经典物理所无法比拟的。件，这是经典物理所无法比拟的。1。 一个质量为一个质量为m 的粒子约束在长为的粒子约束在长为L 的一维线段上，试由的一维线段上，试由 不确定关系估算这个粒子所具有的最小动能。由此计算核内不确定关系估算这个粒子所具有的最小动能。由此计算核内 质子和中子的最小动能（原子核半径的数量级质子和中子的最小动能（原子核半径的数量级为为10- -14m）。）。解：由题意知粒子的位置解：由题意知粒子的位置不不确确定定度度为为L。则由不确定关。则由不确定关系得其动量不确定度为系得其动量不确定度为： P 2L上式说明，该粒子的最小动量为：上式

36、说明，该粒子的最小动量为：2 L在不考虑相对论效应时，该粒子的最小动能为：在不考虑相对论效应时，该粒子的最小动能为：8mL2P 2 22mEK 对于核内的质子和中子有对于核内的质子和中子有m 1.6710- -27kg，则，则 8.3 10 15 (J)8 1.67 10 27 10 281.05462 10 68E K2 。 设粒子设粒子沿沿x方向运动，波函数方向运动，波函数1 ixA ( x ) 求：求：（1）归一化常）归一化常数数A；（2）粒子的概率密度按坐标的分布；）粒子的概率密度按坐标的分布；（3）在何处找到粒子的概率最大？）在何处找到粒子的概率最大？ 解：解：（1）根据归一化条件有

37、）根据归一化条件有 ( x) ( x)dx 1* A 12 dx 1 x 2A2 1由此得归一化常数为由此得归一化常数为1 A （3）很显然，由上式）很显然，由上式知知x=0处处 概率密度最大。此时有：概率密度最大。此时有：W (0) 1 （2）粒子的概率密度分布为）粒子的概率密度分布为W ( x) * ( x) (1 x 2 )1W ( x) Wx 13 一个被关闭在一个一维箱子中的粒子的质量为一个被关闭在一个一维箱子中的粒子的质量为m0，箱，箱子的两个理想反射壁之间的距离子的两个理想反射壁之间的距离为为L，若粒子的波函数是，若粒子的波函数是 ( x) Asin n xL试由薛定谔方程求出粒

38、子能量的表达式。试由薛定谔方程求出粒子能量的表达式。解：该粒子的薛定谔方程为解：该粒子的薛定谔方程为 ( x) E ( x) 02m x 2 2n2 222将将 ( x) 代入可代入可 得：得：x EA sinx 0sin2mL2Ln Ln A)2mL2 n2 ()2(2mLE1 2mL2 2 2 2n E 其基态能量为：其基态能量为：22 4 。 已知二质已知二质点点A, B静止质量均为静止质量均为m0，若质点，若质点A静止，质点静止，质点B 以以6m0c2 的动能向的动能向A运动，碰撞后合成一粒子，若无能量释运动，碰撞后合成一粒子，若无能量释 放。求：合成粒子的静止质量。放。求：合成粒子的

39、静止质量。解：两粒子的能量分别为解：两粒子的能量分别为2EA m0 c2 7m 0 c2EB EB 0 EBK m 0 c 6m 0 c2由能量守恒，合成后新粒子的总能量由能量守恒，合成后新粒子的总能量2E E A EB 8m 0 c由相对论质能关系由相对论质能关系E Mc 2 8m c 200 M 8 m粒子的静止质量粒子的静止质量2 8m01 c 2M0 M 1 c v v 由动量守恒由动量守恒 由题意由题意PA 0P PA PB P Mv PBM由相对论的能量和动量关系由相对论的能量和动量关系PB v P 2 c 2 m 2 c 4B 0E 2B代入得：代入得：240242249m0 c P c m cB 48m 2 c 20P 2B 3 c 2464m 20220M 22 v 2 48m cPB 4m 0M 0 8m 01 2cv 25 。 设设 康普顿效应中入康普顿效应中入射射 X 射线（伦琴射线）的波射线（伦琴射线）的波长长 0=0.0700nm，散射，散射的的X射线的波射线的波长长 =0.072