小学数学解题技巧大全

1、【学校数学解题思路大全】式题的巧解妙算（一）1. 特别数题 121 12当被减数和减数个位和十位上的数字 零除外 交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9；由于这样的两位数减法，最低起点是21 12，差为9，即 2 1 ×9；减数增加1，其差也就相应地增加了一个 9，故 31 13 3 1× 9 18 ；减数从12 89 ，都可类推；被减数和减数同时扩大或缩小 十倍、百倍、千倍，常数9 也相应地扩大或缩小 相同的倍数，其差不变；如210 120 2 1× 90 90，0.65 0.56 6 5× 0.09 0.09 ；231 ×51个位

2、数字都是1，十位数字的和小于10 的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1 连在一起的数；如十位数字的和满10，进 1；如证明： 10a 110b 1 100ab 10a 10b 1 100ab 10a b 1 326 ×86 42 ×62个位数字相同，十位数字和是10 的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积；如个位数的积是一位数，前面补0；证明： 10a c10b c 100ab 10ca b cc 100ab c cc a b 10 ；417 ×19十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以

3、10 ，加个位数的积；原式 17 9 × 10 7×9 323证明： 10 a10 b 100 10a 10b ab 10 a b × 10 ab ；563 ×69十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以 10，加个位数的积；原式 63 9 × 6× 10 3× 9 72 × 60 27 4347 ；证明： 10a c10a d 100aa 10ac 10ad cd 10a10a c d cd ；683 ×87十位数字相同，个位数字的和为10 ，用十位数

4、字加1 的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积；如证明： 10a c10a d=100aa 10ac d cd 100aa 1 cdc d 10 ；738 ×22十位数字的差是1，个位数字的和是10 且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差；原式 30 8 × 30 8 302 82 836 ；888 ×37被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10 的两位数相乘，乘数十位数字与1 的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积；936 ×15乘数是 15 的两位数相乘；被乘数是偶数时，积为被乘数与

5、其一半的和乘以10 ；是奇数时， 积为被乘数加上它本身减去1 后的一半，和的后面添个5； 54 × 10 540 ； 55× 1510125 ×101三位数乘以101 ，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数；125 1 126 ；原式 12625 ；再如 348 × 101 ，由于 348 3 351 ，原式 35148 ；1184 ×49一个数乘以49 ，把这个数乘以100 ，除以 2，再减去这个数；原式 8400 ÷2 84 4200 84 4116 ；1285 ×99两位数乘以9、99、 999 、；在被乘数

6、的后面添上和乘数中9 的个数一样多的0、再减去被乘数；原式 8500 85 8415不难看出这类题的积：最高位上的两位数或一位数 ，是被乘数与1 的差；最低位上的两位数，是100 与被乘数的差；中间数字是9，其个数是乘数中9 的个数与2 的差；证明：设任意两位数的个位数字为b 、十位数字为aa 0，就假如被乘数的个位数是1，例如 31× 999在 999 前面添 30 为 30999 ，再减去30 ，结果为30969 ；71× 9999 709999 70 709929 ；这是由于任何一个末位为1 的两位自然数都可表示为10a 1的形式，由9 组成的自然数可表示为10n 1

7、的形式，其积为10a 110n 1 10n 1a 10n 1 10a ；131 ÷19这是一道颇为繁复的运算题；原式 0.052631578947368421；依据“假如被除数不变，除数扩大或缩小 如干倍，商反而缩小 或扩大 相同倍”和“商不变”性质，可很便利算出结果；原式转化为0.1 ÷ 1.9 ，把 1.9 看作 2，运算程序：1 先用 0.1 ÷2 0.05 ；2 把商向右移动一位，写到被除数里，连续除如此除到循环为止；认真分析这个算式：加号前面的0.05 是 0.1 ÷ 2 的商，后面的0.05 × 0.1 ÷ 1.9 中 0

8、.05 × 0.1 0.005 ，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9 ；这样我们又可把除数看作2 连续除，依此类推；除数末位是9，都可用此法运算；例如 1÷ 29，用 0.1 ÷ 3 运算；1÷ 399 ，用 0.1 ÷40 运算；2. 估算数学素养与才能 含估算才能 的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率；已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待争论的课题；美国数学督导委员会，提出的12 种面对全体同学的基本数学才能中，第6 种才能即估算：“同学应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似运算；当解题或购物中需要运算

9、时，估算可以用于考查合理性；检验推测或作出打算”1 最高位估算只运算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大致在什么范畴；例 1 1137 5044 3169最高位之和1 5 33，结果在3000 左右；假如由于忽视小数点而算成560 ，依据“一个不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘数”估算，错误立刻暴露；例 3 51.9 ×1.51整体摸索；由于51.9 50 ，而 50 × 1.51 50× 1.5 75， 又 51.9 50， 1.51 1.5 ， 所以 51.9 ×1.51 75；另外 9× 1 9，所以原式结果大致是75 多

10、一点，三位小数的末位数字是9；例 4 3279 ÷ 79把 3279 和 79，看作 3200 和 80 ；精确商接近40，如相差较大，就是错的；2 最低位估算例如， 6403 232 15783 2 8 13，原式和的末位必是3；3 规律估算和大于每一个加数；两个真分数 或纯小数 的和小于2；一个真分数与一个带分数 或一个纯小数与一个带小数 的和大于这个带分数 或带小数 ，且小于这个带分数或带小数 的整数部分与2 的和；两个带分数 或带小数 的和总是大于两个带分数或带小数 整数部分的和，且小于这两个整数部分的和加上 2；奇数±奇数偶数，偶数±偶数偶数，奇数

11、77;偶数奇数； 差总是小于被减数；整数与带分数 或带小数 的差小于整数与带分数 或带小数 的整数部分的差；带分数或带小数 ，与整数的差大于带分数或带小数 的整数部分与整数的差；带分数 或带小数 与真分数 或纯小数 的差小于这个带分数或带小数 ，且大于带分数 或带小数 减去 1 的差；带分数与带分数 或带小数与带小数 的差小于被减数与减数的整数部分的差，且大于这个差减去1；假如两个因数都小于1，就积小于任意一个因数；如两个因数都大于1，就积大于任意一个因数；带分数与带分数 或带小数与带小数 的积大于两个因数的整数部分的积，且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积；例如，a ab b ；奇数

12、15;偶数偶数，偶数×偶数偶数； 如除数 1，就商被除数；如除数 1，就商被除数；如被除数除数，就商1； 如被除数除数，就商1；4 位数估算整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；例如，320 0.68 ，差为两位小数；最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数和；例如， 451 × 7103最高位的积4× 728，满 10 ，结果是3 4 7 位数 ；在整除的情形下，被除数的前几位不够除，商的位数等于被除数的位数减去除数的位数；例如， 147342 ÷ 2714 不够 27 除，商是4 22 位数 ；被除数的前几位够除，商的位数

13、等于被除数的位数与除数位数的差加上1；例如， 30226 ÷238302 够 238 除 ， 商是53 1 3 位数 ；5 取整估算把接近整数或整十、整百、的数，看作整数，或整十、整百的数估算；如 1.98 0.97 2 1，和定小于3；12× 8.5 10 × 10，积接近100 ；3. 并项式应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号；例 1 3.34 12.96 6.66 12.96 3.34 6.66 12.96 10 22.96 3 30例 3 15.74 8.52 3.74 15.74 3.74 8.52 12 8.52 3.48例 4 1600

14、 ÷ 400 ÷ 7 1600 ÷ 400 ×7 4× 7 284. 提取式依据乘法安排律，可逆联想； 3.25 6.75 × 0.4 10× 0.4 45. 合乘式87.5 × 10× 1 8758 7 16. 扩 缩式例 1 1.6 ×16 0.4 × 36 0.4 ×64 36 0.4 × 100 40例 2 16 × 457. 分 解式例如， 14× 72 42× 76 14 × 3× 2442 ×

15、 76 42 × 24 76 42 × 100 42008. 约 分式 3× 7×2 42例 2 169 ÷ 4÷ 7×28 ÷13=1988例 7 1988 198819881988÷ 1989198919891989被除数与除数，分别除9. 拆 分式10. 拆积式例如， 32× 1.25 × 258× 1.25 ×4 × 25 10 × 100 100011. 换和式例 1 0.1257 × 8 0.125 0.0007 ×

16、; 8 1 0.0056 1.0056例 4 8.37 5.68 8.37 0.32 5.68 0.32 8.69 6 2.6912. 换差式13. 换乘式例 1 123 234 345 456 567 678 123 678 × 3 801 × 3 2403例 26.72 6.72 6.72 6.72 × 25 6.72 × 4× 25 672例 3 45000 ÷8÷ 125 45000 ÷8 × 125 45000 ÷1000 45例 4 9.728 ÷ 3.2÷ 25

17、 9.728 ÷ 0.8 × 4× 25 9.728 ÷ 80 0.9728 ÷ 8 0.1216例 5 33333 ×33333 11111 ×99999 11111 ×100000 1 1111100000 11111 1111088889综合应用，例如 1000 7 1007 11.75 1.25 4.15 0.85 × 125.25 转 11.75 1.25 4.15 0.85 × 125.25 合 8× 125.25 8× 125 0.25 拆 8× 12

18、5 8×0.25 100214. 换除式例如， 5600 ÷25 × 7 5600 ÷ 7÷ 25 800 ÷ 25 3215. 直接除17. 以乘代加例 1 7 45 2 3 6 9× 327假如两个分数的分子相同，且等于分母之和或差 ，那么这两个分数的和或差 等于它们的积；18. 以乘代减知，两个分数的分子都是1，分母是连续自然数，其差等于其积；可见，各分数的分子都是1；第一个减数的分母等于被减数的分母加1；其次个减数的分母等于被减数的 分母与第一个减数的分母的积加1，第 n 个减数的分母等于被减数的分母与第一、二、第

19、n-1 个减数的分母的连乘积加上1；n 为不小于2 的自然数 其差等于其积19. 以加代乘一个整数与一个整数部分和分子都是1，分母比整数另个乘数 小 120. 以除代乘例如， 25× 123678448 123678448 × 100 ÷ 4 12367844800÷4 309196120021. 以减代除 1986 662 1324 3510 ÷ 15 3510 1170 ÷10 23422. 以乘代除例如， 2.7 ÷ 4÷6× 24 ÷ 2723. 以除代除观看其特点，24. 并数凑整例如

20、， 372 499 372 500 1 871 56.7 12.8 56.7 13 0.2 43.925. 拆数凑整例如， 476 302 476 300 2 778 9.42 3.1 9.42 3 0.1 6.3226. 加分数凑整应用“被减数、减数同时增加或削减相同的数，其差不变”的性质，使原先减去一个带分数或带小数，变成减去整数；例 3 8.37-5.68=8.37+0.32-5.68+0.32=8.69-6=2.6930. 凑公因数例如， 1992 ×27.5 1982 ×72.5 1992 × 27.5 1992-10 × 72.5 1992

21、× 27.5 1992 × 72.5-10 × 72.5 1992 × 27.5 72.5-725=199200-725=198475或原式 =1982 10 × 27.5 1982 × 72.531. 和差积法32. 直接写得数观看整数和分数部分，明显原式=3 ；33. 变数为式34. 分解再组合例如， 1 2 3 99 4 812 396 1 2 3 99 41+2+3 99 51 2+3 9935. 先分解再通分有的同学通分时用短除法，找了很多数试除都不行，而肯定57 和 76 为互质数；判定两个数是否互质，不必用2、3、5、逐

22、个试除；把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可；57 3× 19 ，假如 57 和 76 有公有的质因数，只可能是3 或 19；用 3、 19 试除，57 ， 76 19× 3× 4 228 ；26 2× 13 ， 65 和 91 是 13 的倍数；最小公分母为13× 2× 5× 7910 ；37. 巧用分解质因数教材中讲分解质因数，主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数，给通分和约分打基础；其实，分解质因数在解题中很有用处；供应新解法，启发制造思维；例 1 184 × 75原式 2&#

23、215; 2×46 ×3× 5× 5=46 × 3× 2× 52=138 × 100=13800 ；38. “ 1、1 ”法一个整数减去一个带分数，可用这个整数减去比减数的整数部分多1 的数，再从1 中减去分数部分；为便于记忆，称“1、 1”法； 39. “ 1，9 ，910”法一个整数减去一个小数末位不为0，可先减去比小数高位多1 的数， 再从 9 中减去其它位数，最终从 10中减去末位数；40. 转变运算次序例 1 650 × 74÷ 65 650 ÷ 65 × 74 1

24、0× 74 740例 2 176 × 98÷ 49 176 × 98 ÷ 49 176 × 2 352例 3 7 ÷ 13 × 52÷4例 4 102 × 99 0.125 × 99 × 8 102 × 99 1× 99 99× l00 9900 99 999941. 用数据熟记一些特别数据，可使运算简捷、快速；例 1由 37 × 3 111知37× 6 111 × 2 22237× 15 37×

25、 3× 5 555例 3 1000以内 不包括整十、整百只含因数2 或 5 的 2、4、8、16、 32、64、 128 、256 、512 ； 5、25、125 、 625 ；这些数作分母的分数才能化成有限小数，不需试除；例 4特别分数化小数分母是 5、20、25、50 的最简分数，在化为小数时，把分子相应地扩大2、5、4、2 倍，再缩小10 、100倍；分母是 8 的最简分数，分子是1、3，小数的第一位也是1、 3；分母是 9 的最简分数，循环节的数字和分子的数字相同；例 5 1 91× 3.14 3.14 6 × 3.14 18.842× 3.14

26、 6.28 7 × 3.14 21.983× 3.14 9.42 8 × 3.14 25.124× 3.14 12.56 9 × 3.14 28.265× 3.14 15.7熟记这些数值，可口算；3.14 × 13=10 +3 =40.823.14 × 89=90 -=282.6-3.14=279.46 ×1.58变为整数，三位数前面补0 改为四位数，这样不会把数位搞错，将结果左端的0 去掉，点上小数点得4.9612 ；也可从高位算起；42. 想特别性认真审题，知其次个括号里的结果为0，此题得0；所以可直

27、接得0；例 31.9-1.9 × 0.9 ÷3.8 2.8除数为 1，就商就是被除数；43. 想变式44. 用规律例 1 682 702两个连续奇 偶数的平方和，等于这两个数之积的2 倍加 4 的和；原式 68× 70× 2 4 9520 4 9524 ；例 2 522 512 52 51 103两个连续自然数的平方差，等于这两个数的和；例 3 18 × 19 20任意三个连续自然数，最小数与中间数的乘积加上最大数的和，等于最大数与中间数的乘积减去最小数；原式 20× 19 18 362 ；例 4 16 × 17 15

28、15; 18四个连续自然数，中间两个的积比首尾两个的积多2；原式 2；证明：设任意四个连续自然数分别为a 1、a、a1、a 2，就 aa 1 a 1a 2 a2+a-a2-a 2 2；例 5 一个从第一位开头有规律循环的多位数包括整数部分是0 的纯循环小数 ，乘以一个与其循环节位数相同的数，其规律适用于一些题的简算；abab × cd ab × 100 ab × cd ab × 100 ×cd ab × cd cd × 100 cd × ab cdcd × ab如： 125 × 5×1

29、616 × 78 125 × 5× 7878 × 16 125 × 8× 5× 2× 7878 7878000045. 基础题法在基础题上深化；例如，观看 1 的解题过程， 逆用各步的结构特点，46. 巧归纳例如， 1 2 100 99 1 1 100 的和为 5050 ，再加一倍为10100 ，减去多加的100 为 10000 ；但速度太慢；有相同的行数和列数，用点或圈列成正方形的数，叫作正方形数；由图知1 2 3 2+1 32，1 2 3 4+5 4+3 21 52；不难发觉，和为最大加数的平方；明显， 5 6

30、 29 30 29 6 5 302 42-4 900 16 4 880 ；【学校数学解题思路大全】巧想妙算文字题（一）1. 想 数码例如， 1989 年“从小爱数学”邀请赛试题6：两个四位数相加，第一个四位数的每一个数码都不小于5，其次个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置；某同学的答数是16246 ；试问该同学的答数正确吗？如果正确，请你写出这个四位数；假如不正确，请说明理由；思路一：易知两个四位数的四个数码之和相等，奇数奇数偶数，偶数偶数偶数，这两个四位数相加的和必为偶数；相应位数两数码之和，个、十、百、千位分别是17、13 、11、15；所以该同学的加法做错了；正确答案是思路二：每个

31、数码都不小于5，百位上两数码之和的11 只有一种拆法5 6，另一个5 只可能与8 组 成13， 6 只可能与9 组成 15 ；这样个位上的两个数码，8 9 16 是不行能的；不要把“数码调换了位置”误会为“数码次序颠倒了位置；”2. 尾数法例 1比较1222 × 1222 和 1221 × 1223 的大小；由两式的尾数2× 24， 1× 3 3，且 4 3；知1222 × 1222 1221 × 1223例 2二数和是382 ，甲数的末位数是8，如将 8 去掉，两数相同；求这两个数；由题意知两数的尾数和是12，乙数的末位和甲数的十位

32、数字都是4；由两数十位数字之和是8 1 7，知乙数的十位和甲数的百位数字都是3；甲数是 348 ，乙数是34；例 3请将下式中的字母换成适当的数字，使算式成立；由 3 和 a5 乘积的尾数是1，知 a5 只能是 7；由 3 和 a4 乘积的尾数是7 2 5，知 a4 是 5；不难推出原式为142857 × 3 428571 ；3. 从较大数想起例如，从110 的十个数中，每次取两个数，要使其和大于10，有多少种取法？思路一：较大数不行能取5 或比 5 小的数；取 6 有 6 5；取 7 有 7 4， 7 5， 7 6；取 10 有 九种10 1， 10 2，10 9；共为13 5 7

33、9 25 种；思路二：两数不能相同；较小数为1 的只有一种取法1 10 ；为 2 的有 29， 2 10；较小数为9的有 9 10；共有取法12 3 4 54 3 2 125 种这是从较小数想起，当然也可从9 或 8 、 7、开头；思路三：两数和最大的是19；两数和大于10 的是 11、12 、 19 ；和是 11 的有五种1 10 ， 2 9， 38， 4 7， 56；和是 11 19 的取法5 4 4 33 2 21 1 25 种；4. 想大小数之积用最大与最小数之积作内项或外项 的积，剩的相乘为外项或内项 的积，由比例基本性质知交换所得比例式各项的位置，可很快列出全部的八个比例式；5.

34、由得数想例如，摸索题：在五个0.5 中间加上怎样的运算符号和括号，等式就成立？其结果是0， 0.5 ， 1， 1.5 ， 2；从得数动身，想：两个相同数的差，等于0；一个数加上或减去0，仍等于这个数；一个因数是0，积就等于0； 0 除以一个数 不是 0 ，商等于0； 两个相同数的商为1；1 除以 0.5 ，商等于2； 解法很多，只举几种：0.5 0.5 × 0.5 × 0.5 ×0.5 00.5 0.5 0.5 0.5 ×0.5 00.5 0.5 0.5 × 0.5 0.5 00.5 0.5 0.5 0.5 ×0.5 00.5 0.5

35、 × 0.5 × 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 × 0.5 0.5 0.5 0.50.5 0.5 × 0.5 0.5 0.5 0.50.5 0.5 × 0.5 0.5 0.5 10.5 ÷ 0.5 0.5 0.5 ×0.5 10.5 0.5 ÷ 0.5 0.5 0.5 10.5 0.5 ÷ 0.5 0.5 0.5 1 0.5 0.5 0.5 0.5 ÷0.5 1.5 0.5 0.5 × 0.5 0.5 0.5 1.5 0.5 0

36、.5 0.5 0.5 0.5 1.50.5 ÷ 0.5 0.5 ÷ 0.5 0.5 1.50.5 ÷ 0.5 ÷0.5 0.5 0.5 2 0.5 0.5 ÷ 0.5 0.5 0.5 20.5 0.5 0.5 0.5 ÷0.5 20.5 0.5 × 0.5 0.5 ÷0.5 26. 想平均数思路一：由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”；设第一个数为“1”，就中间数占知这三个数是14、15、 16；二、一个数分别为16 1 15 ，15 1 14或16 2 14；如先求第一个数，就思路三：设第三个数为“1”，就

37、其次、三个数，知是 15、16 ；思路四：第一、三个数的比是7 8，第一个数是2÷ 8 7 ×7 14 ；如先求第三个数，就2÷ 8 7 × 816 ；7. 想奇偶数例 1 摸索题：在1、2、3 、4、5、6、7、8、9 九个数字中，不转变它们的次序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100 ；例如1 23 4 56 78 9 100123 45 67 8 9 100你仍能想出不同的添法吗？1 2 3 45 6 78 9 45；如去掉7 和 8 间的“”，式左为1 2 3 4 5 6 78 9，比原式和增大了78 7 8 63 ，即1 2

38、3 45 6 78 9 45 63 108 ；为使其和等于100 ，式左必需减去8；加 4 改为减 4，即可12 3 45 6 78 9 100 ；“减去 4”可变为“减1、减 3”，即 1 2 34 5 6 78 9100 二年级学校生没学过负“1”， 不能介绍；假如式左变为12 34 5 6 7 89 ；12 1 2 89 8 9 81；即12 3 4 5 67 89 45 81 100 26；要将“”变为“”的数和为13，在 3、4、5、 6、7 中有 6 7，3 4 6，因而有12 34 5 6 7 89 100 ，12 34 5 6 7 89 100 ， 同理得12 3 4 567

39、8 9 100 ，1 23 4 56 7 8 9 100 ，1 2 34 567 8 9 100 ，123 4 5 6 7 8 9 100 ，123 4 5 67 89 100 ，123 45 67 89 100 ；为了削减运算；应留意：1 能否在 1、23 、4、 5、6、7、89 中间添上加、减 不再去掉某两数间的加号，结果为100 呢 ？1、23、5、7、89 的和或差是奇数，4、6 的和或差是偶数，奇数±偶数奇数，结果不会是100 ；2 有一个是四位数，结果也不行能为100 ；由于 1234 减去余下数字组成按次序 的最大数789 ，再减去余下的 56 ，差大于100 ；例

40、2求 59 199 的奇数和；由从 1 开头的连续n 个奇数和、等于奇数个数n 的平方1 3 5 7 2n 1 n2奇数比它对应的序数2 倍少 1；用 n 表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n 1；例如， 32 对应奇数2× 32 163；奇数199 ，从 1 起的连续奇数中排列在1002n 1 199 ， n 100的位置上；知 1 199 的奇数和是1002 10000 ；此和包括59 ，2n 1 57 、n 29、1 57 的奇数和为292 841 ；所求为10000 841 9159 ；或者59 30× 21， 302 900 ， 10000 900 59 915

41、9 ；例 1 摸索题：在1、2、3 、4、5、6、7、8、9 九个数字中，不转变它们的次序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100 ；例如1 23 4 56 78 9 100123 45 67 8 9 100你仍能想出不同的添法吗？1 2 34 5 6 7 8 9 45 ；如去掉7 和 8 间的“”，式左为1 2 34 5 6 789，比原式和增大了787 8 63，即1 23 4 5 678 9 45 63 108 ；为使其和等于100 ，式左必需减去8；加 4 改为减 4，即可 1 23 4 5 678 9 100 ；“减去 4”可变为“减1、减 3”，即 12 3 4 5

42、6 78 9 100 二年级学校生没学过负数“1”， 不能介绍；假如式左变为12 3 4 56 7 89 ； 12 1 2 89 8 9 81；即12 3 45 6 7 89 45 81 100 26；要将“”变为“”的数和为13，在 3、 4、5、6、7 中有 6 7， 3 46，因而有 12 3 4 56 7 89 100 ，12 3 4 56 7 89 100 ，同理得12 3 4 567 8 9 100 ，1 23 4 56 78 9 100 ，1 2 34 567 8 9 100 ，123 4 5 6 7 8 9 100 ，123 4 5 67 89 100 ，123 45 67 8

43、9 100 ；为了削减运算；应留意：1 能否在 1、23 、4、 5、6、7、89 中间添上加、减 不再去掉某两数间的加号，结果为100 呢 ？1、23、5、7、89 的和或差是奇数，4、6 的和或差是偶数，奇数±偶数奇数，结果不会是100 ；2 有一个是四位数，结果也不行能为100 ；由于 1234 减去余下数字组成按次序 的最大数789 ，再减去余下的 56 ，差大于100 ；例 2 求 59 199 的奇数和；由从 1 开头的连续n 个奇数和、等于奇数个数n 的平方1 3 57 2n 1 n2奇数比它对应的序数2 倍少 1；用 n 表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n 1；例

44、如， 32 对应奇数2×32 1 63 ；奇数199 ，从 1 起的连续奇数中排列在1002n 1 199 ， n 100 的位置上；知 1 199 的奇数和是1002 10000 ；此和包括59 ， 2n 1 57、 n 29 、1 57 的奇数和为292 841 ；所求为10000 841 9159 ；或者59 30× 2 1， 302 900 ， 10000 900 59 9159 ；8. 约倍数积法任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积，等于这两个自然数的积；证明：设m、n都是自然数 的最大公约数为p，最小公倍数为q 、且 m 、n 不公有的因数各为a、b；那么

45、m × n p× a× p×b；而 q p× a× b ， 所以m × n p× q ；例 1 甲乙两数的最大公约数是7，最小公倍数是105 ；甲数是21 ，乙数是多少？例 2 已知两个互质数的最小公倍数是155 ，求这两个数；这两个互质数的积为1× 155 155 ，仍可分解为5× 31 ；所求是 1 和 155 ， 5 和 31；例 3 两数的最大公约数是4，最小公倍数是40，大数是数的2.5 倍，求各数；由上述定理和题意知两数的积，是小数平方的2.5 倍；小数的平方为4×40 &

46、#247;2.5 64 ；小数是 8；大数是 8× 2.5 20 ；算理： 4× 40 8×20 8× 8 ×2.5 82 × 2.5 ；9. 想 份数10. 巧用分解质因数例 1四个比 1 大的整数的积是144 ，写出由这四个数组成的比例式； 144 24 ×32 22 ×3 × 2 × 3 × 2 4× 3 ×6 × 2可组成 4 6 23 等八个比例式；例 2三个连续自然数的积是4896 ，求这三个数；4896 25× 32 ×1

47、7 24 × 17× 2× 32 16 × 17× 181728 26× 33 22 × 33 123385 5× 7× 11例 4 1992年学校数学奥林匹克试题初赛c 卷题 3：找出 1992 的全部不同的质因数，它们的和是多少？1992 2×2× 2× 3× 832 3 83 88例 5甲数比乙数大9，两数的积是1620 ，求这两个数； 1620 22× 34 ×5 32 ×22 × 32 × 5甲数是 45，

48、乙数是36 ；例 6把 14 、30、33 、75、143 、 169 、4445 、4953 分成两组，每组四个数且积相等，求这两组数；八个数的积等于2× 7× 2× 3×5× 3× 11× 3× 5×5× 11× 13× 13 × 13× 5×7× 127 ×3× 13× 127 ；每组数的积为2× 32 ×52 ×7× 11 × 132 ×

49、127 ；两组为例 7 600 有多少个约数？600 6× 100 2× 3× 2×2× 5× 5 23 × 3× 52只含因数2、3、5、 2× 3、2× 5、3× 5、2× 3× 5 的约数分别为：2、22、23 ；3；5、52；2× 3、22× 3、23 × 3；2× 5、22× 5、23 × 5、 2× 52 、22× 52、23× 52；3× 5、3

50、5; 52；2× 3× 5、 22×3× 5、23× 3× 5、2× 3× 52、22 × 3×52 、23 ×3× 52；不含 2× 3× 5 的因数的数只有1；这八种情形约数的个数为； 3 1 2 36 2 61 24；不难发觉解题规律：把给定数分解质因数，写成幂指数形式，各指数分别加1 后相乘，其积就是所求约数的个数； 3 1 ×1 1× 2 1 24 ；17. 想法 就用来说明运算规律或方法 的文字，叫做法就；子比分母少16；求

51、这个分数？由“一个分数乘以5，是分子乘以5 分母不变”，结果是分子的5 倍比3 倍比分母少16；知分子的 5 3 2倍是 2 16 18 ，分子为18 ÷2 9，分母为9×5 2 43 或 9× 3 16 43；18. 想公式证明方法：以分母 a，要加 或减 的数为2 设分子加上 或减去 的数为 x，分母应加上或减去 的数为 y ；19. 想性质例 1 1992年学校数学奥林匹克试题初赛c 卷题 6：有甲、乙两个多少倍？200 ÷16 12.5 倍 ；例 2 摸索题：三个最简真分数，它们的分子是连续自然数，分母大于10 ，且它们最小公分母是60 ；其中一

52、个分数的值，等于另两个分数的和；写出这三个分数；由“分母都大于10 ，且最小公分母是60 ”，知其分母只能是12、15、 20； 12、 15、30 ； 12、15 、60 ；由“分子是连续自然数”，知分子只能是小于12 的自然数；满意题意的三个分数是二第 400 个分数是几分之几？ 此题特点：2 每组分子的排列：假设某一组分数的分母是自然数n ，就分子从1 递增到 n ，再递减到1；分数的个数为n n 12n 1，即任何一组分数的个数总是奇数；3 分母数与分数个数的对应关系，正是自然数与奇数的对应关系分母： 1、2、3、4、5、分数个数： 1、3、5、7、 9、4 每组分数之前包括这组本身全

53、部分数个数的和，等于这组的组号这一组的分母的平方；例如，第3 组分数前 包括第 3 组 全部分数个数的和是32=9 ；10× 21 6=13 个 位置上；分别排在81 7 88 个， 81 13=94 个 的位置上；或 者 102=100 ，100 12=88 ；100 6 94，88 6 94；问题 二：由上述一串分数个数的和与组号的关系，将400 分成某数的平方，这个数就是第400 个 分数所在的组数400 202 ，分母也是它；第 400 个分数在第20 组分数中， 400 是这 20 组分数的和且正好是20 的平方无剩余， 故可肯定是最终一个，即如分解为某数的平方有剩余，例如

54、，第415 个和 385 个分数各是多少；逆向摸索，上述的一串分数中，分母是35 的排在第几到第几个？352 35 × 2 1 1 1225 69 1 1157 ；排在 1157 1225 个的位置上；20. 由规章想例如， 1989 年从小爱数学邀请赛试题：接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数字；例如， 8× 972 ，在 9 后面写 2， 9× 218 ，在 2 后面写 8，得到一串数：1989286这串数字从1 开头往右数，第1989 个数字是什么？先按规章多运算几个数字，得1989286884286884明显， 1989 后面