专题讲座空间中的垂直问题(传统方法)

1、高中数学专题讲座 垂直问题 1、空间的垂直关系总论22、直线与直线垂直23、直线与平面垂直4（1）直线与平面垂直的定义4（2）直线与平面垂直的判定定理43平面与平面垂直6（1）平面与平面垂直的判定定理6（2）平面与平面垂直的性质定理61、空间的垂直关系总论空间的垂直关系：线线 线面 面面可见垂直关系的基础是线线垂直2、直线与直线垂直空间两条直线垂直包括两种情况相交（共面）垂直和异面垂直,均可用表示.要证明空间两条直线（线段）垂直，首先判断两直线是相交还是异面：1、若两直线是相交的，往往借助平面几何的一些性质，如：（1）等腰三角形底边上的中线与底边垂直；（2）直角三角形；法1：勾股定理，法2：若

2、一个三角形一边上的中线长等于该边的一半则为直角三角形；（3）矩形，正方形，菱形自身的属性；（4）直径所对的圆周角为直角;（5）一些特殊平面图形的几何特征：模型1: 长宽比为的长方形例 矩形中，E是DC的中点，下面证明AEBD:所以，故模型2：长宽比为1:2的长方形模型3:边长为112的直角梯形模型4：内角为60°的菱形2、若两条直线是异面的，则需要利用空间的一些特殊方法；（1），；（2）（所在的一个平面）；两个重要模型：（1） 三垂线定理直线b是平面的一条斜线，即与平面相交但不垂直，直线c在平面内，因为a平面，则ac；若mc，则因为a，m是相交直线，则c平面，于是cb（这个定理最重要

3、的应用在于，证明平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，尤其是二者是异面直线时）应用举例：正方体中，求证：（2） 双等腰模型已知： ，求证： 证明：取MN的中点为O，连接AO,BO，在因为，则AOMN，BOMN，又AOBO=O，则MN平面AOB，于是3、直线与平面垂直（1）直线与平面垂直的定义是指直线与平面任何一条(所有)直线垂直，l 知道下面两个事实：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. （2）直线与平面垂直的判定定理法1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即 简记为“线线垂直线面垂直”法2：如果平行线中一条直线垂

4、直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.例1 已知PAO所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点（不同于），（1）求证：平面PAC.（2）过A点作AEPC于点E，求证：AE平面PBC. 证明：（1）PA平面ABC，PABC.又AB是O的直径，BCAC.而PAAC=，BC平面PAC.（2）在（1）中已证BC平面PAC.又AE在平面PAC内，BCAE.PCAE，且PCBC=C，AE平面PBC.例 如图, 矩形所在的平面，分别是、的中点求证：；证法1：证明所在的一个平面即可；连，取中点，连，则NEPA，PA平面ABCD， NE平面ABCD，NEAB，在ABC中，ME是中位线，故MEAB，MEN

5、E=E，所以AB平面MNE,MNAB证法2：取DC的中点E，去证明AB平面NME即可【思路2】：注意到AB与MN是相交的，可以考虑利用平面几何的方法，产生下面的解法证法3：因为与相交，是中点，所以可以考虑用“等腰三角形底边上的中线与底边垂直”这个方法；连,平面，又,BC平面PAB;BCPB那么在直角PBC中，NB=½PC，在直角PAC中，AN=½PC;AN=NBMNAB4平面与平面垂直（1）平面与平面垂直的判定定理若一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，则这两个平面互相垂直 可见，证明面面垂直的关键还是线面垂直，归根结底是线线垂直！例如图所示，ABC所在平面外一点，且，BA

6、=BC，点D为AC的中点.求证：平面SBD平面SAC；分析：在两个三角形平面内寻找，哪条线垂直于另外的平面，逐个扫描，如果有现成的自然好，若没有，则考虑做辅助线；证明：因为SA=SC，D为AC的中点， 所以SDAC.连接BD.在ABC中，BA=BC，所以 BDAC.又SDBD=D， 所以AC平面ABC，又平面SAC;所以平面SBD平面SAC；例 （呼市2014届一模） 四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PD平面ABCD，PD=AB=2，角BAD=60°，E,F分别为BC，PA的中点，（1） 求证：平面DEF平面PAD（2） 求平面PDE与平面PAB所成二面角的正弦值解：（1）连

7、接BD，在BDC中，BD=DC=BC，又E为BC的中点，故DEBC，而ADBC，于是ADDE；又PD平面ABCD，于是PDDE；PDDA=D,所以DE平面PAD，则PDDE，PD=AD，F为PA的中点，则PAFD，于是PA平面FDE，PA在平面PAD内，所以平面PDE平面PAD【技巧总结】 要证明面面垂直，关键是在一个面内找到另一个面的垂线，注意到此时两个平面一定是相交的，所以，我们先找到交线，然后，先逐条扫描每个面内的线是否可能垂直交线，我们遇到的问题中，平面多用三角形或四边形表示，因此这个扫描的工作量是不大的，如果现成的线中没有，就考虑做辅助线。（2）平面与平面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于