必修5数列知识点总结及题型归纳

1、1 / 11数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；（2）通项公式的定义：如果数列na的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如： 1 ，2 ，3 ，4， 5 ，：514131211，（3）数列的函数特征与图象表示：4 5 6 7 8 9 序号： 1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 （4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4，

2、5， 6， (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a,（5）数列 na的前 n 项和ns与通项na的关系：11(1)(2)nnnsnassn例：已知数列na的前 n 项和322nsn，求数列na的通项公式二、等差数列题型一 、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaad n或1(1)nnaad n。例：等差数列12nan，1nnaa题型二 、等差数列的通项公式：1(1

3、)naand；等差数列（通常可称为a p数列）的单调性：d0为递增数列，0d为常数列，0d为递减数列。例： 1. 已知等差数列na中，12497116aaaa，则，等于（）a15 b 30 c 31 d 64 2.na是首项11a，公差3d的等差数列，如果2005na，则序号n等于（a）667 （b）668 （c）669 （d）670 2 / 11题型三 、等差中项的概念：定义：如果a，a，b成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项。其中2abaa，a，b成等差数列2aba即：212nnnaaa（mnmnnaaa2）例： 1设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380a a a，

4、则111213aaa（）a120 b105c90 d752. 设数列na是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）a1 b.2 c.4 d.8 题型四 、等差数列的性质：（1）在等差数列na中，从第2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列na中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（3）在等差数列na中，对任意m，nn，()nmaanm d，nmaadnm()mn；（4）在等差数列na中，若m，n，p，qn且mnpq，则mnpqaaaa；题型五 、等差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnn aan nsnadnda）（2n2112。()

5、,(2为常数babnansnna是等差数列 ) 递推公式：2)(2)()1(1naanaasmnmnn例： 1. 如果等差数列na中，34512aaa，那么127.aaa（a）14 （b）21 （c）28 （ d）35 2. 设ns是等差数列na的前 n 项和，已知23a，611a，则7s等于 ( ) a 13 b35 c 49 d 63 3. 设等差数列na的前n项和为ns，若972s, 则249aaa= 4. 若一个等差数列前3 项的和为34， 最后 3 项的和为146， 且所有项的和为390， 则这个数列有 （）a.13 项b.12 项c.11 项d.10 项5. 设等差数列na的前n项

6、和为ns，若535aa则95ss6. 已知na数列是等差数列，1010a，其前 10 项的和7010s，则其公差d等于 ( ) 3132ba c.31 d.323 / 117设an为等差数列，sn为数列an的前n项和，已知s77，s1575，tn为数列nsn的前n项和，求tn。题型六 . 对与一个等差数列，nnnnnsssss232,仍成等差数列。例： 1. 等差数列 an 的前m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前3m项和为（）a.130 b.170 c.210 d.260 2. 一个等差数列前n项的和为48，前 2n项的和为60，则前 3n项的和为。3. 设ns为等差数列na的前

7、n项和，971043014ssss，则，= 4 （06 全国 ii ）设sn是等差数列an的前n项和，若36ss13，则612ssa 310b13 c18d19题型七 判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：）常数）（nndaann(1na是等差数列中项法：)221nnaaannn（na是等差数列通项公式法：),(为常数bkbknanna是等差数列前n项和公式法：),(2为 常 数babnansnna是等差数列例： 1. 已知一个数列na的前 n 项和422nsn，则数列na为（）a.等差数列 b.等比数列 c.既不是等差数列也不是等比数列 d.无法判断2. 已知一个数列na的前 n 项和

8、22nsn，则数列na为（）a.等差数列 b.等比数列 c.既不是等差数列也不是等比数列 d.无法判断3. 数列na满足1a=8，022124nnnaaaa，且（nn）求数列na的通项公式；题型八 . 数列最值（1）10a，0d时，ns有最大值；10a，0d时，ns有最小值；（2）ns最值的求法：若已知ns，ns的最值可求二次函数2nsanbn的最值；可用二次函数最值的求法（nn） ；或者求出na中的正、负分界项，即：4 / 11若已知na，则ns最值时n的值（nn）可如下确定100nnaa或100nnaa。例： 1等差数列na中，12910ssa，则前项的和最大。 2设等差数列na的前n项和

9、为ns，已知001213123ssa，求出公差d的范围，指出1221sss，中哪一个值最大，并说明理由。3. 已知na是等差数列，其中131a，公差8d。（1）数列na从哪一项开始小于0？（2）求数列na前n项和的最大值，并求出对应n的值题型九 . 利用11(1)(2)nnnsnassn求通项1已知数列na的前n项和，142nnsn则2. 设数列na的前 n 项和为 sn=2n2，求数列na的通项公式；3. 已知数列na中，31a前n和1) 1)(1(21nnans求证：数列na是等差数列求数列na的通项公式4. 设数列na的前 n 项和2nsn，则8a的值为（）（a） 15 (b) 16 (

10、c) 49 （d）64 等比数列等比数列定义：一、递推关系与通项公式mnmnnnnnqaaqaaaa推广：通项公式：递推关系：111q1 在等比数列na中,2,41qa，则na2在等比数列na中，22a，545a，则8a= 5 / 113. 在各项都为正数的等比数列na中，首项13a，前三项和为21，则345aaa（）a 33 b 72 c 84 d 189 二、等比中项：若三个数cba,成等比数列，则称b为ca与的等比中项，且为acbacb2，注：是成等比数列的必要而不充分条件. 例： 1.23和23的等比中项为( ) ( )1a()1b()1c()2d三、等比数列的基本性质，1. （1）q

11、pnmaaaaqpnm，则若),(nqpnm其中（2）)(2nnaaaaaqmnmnnmnmn，（3）na为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. （4）na既是等差数列又是等比数列na是各项不为零的常数列. 例： 1在等比数列na中,1a和10a是方程22510 xx的两个根 , 则47aa( ) 5()2a2()2b1()2c1()2d2. 在等比数列na中，143613233nnaaaaaa，求na若nnntaaat求,lglglg213. 等比数列na的各项为正数，且5647313231018,loglogloga aa aaaa则（） a12 b10 c8 d2+3log 5

12、四、等比数列的前n 项和，)1(11)1() 1(111qqqaaqqaqnasnnn例： 1. 已知等比数列na的首相51a，公比2q，则其前n 项和ns2. 设等比数列na的前 n 项和为ns，已, 62a30631aa，求na和ns6 / 113设4710310( )22222()nf nnn，则( )f n等于（）a2(81)7nb12(81)7n c32(81)7n d 42(81)7n五. 等比数列的前n 项和的性质若数列na是等比数列，ns是其前 n 项的和，*nk，那么ks，kkss2，kkss23成等比数列 . 例： 1. 一个等比数列前n项的和为48，前 2n项的和为60，

13、则前 3n项的和为（）a83 b108 c 75 d63 2. 已知数列na是等比数列，且mmmsss323010，则，六. 等比数列的判定法（1）定义法：（常数）qaann 1na为等比数列；（2）中项法：)0(221nnnnaaaana为等比数列；（3）通项公式法：为常数）qkqkann,(na为等比数列；（4）前n项和法：为常数）（qkqksnn,)1(na为等比数列。为常数）（qkkqksnn,na为等比数列。七. 利用11(1)(2)nnnsnassn求通项例： 1. 数列 an 的前n项和为sn，且a1=1，113nnas，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an 的通项公

14、式2. 已知数列na的首项15,a前n项和为ns， 且*15 ()nnssnnn， 证明数列1na是等比数列7 / 11求数列通项公式方法（1） 公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例： 1 已知等差数列na满足：26, 7753aaa， 求na；2. 已知数列na满足)1(1,211naaann，求数列na的通项公式； 3.数列na满足1a=8，022124nnnaaaa，且（nn） ，求数列na的通项公式；4. 已知数列na满足211,211nnaaa，求数列na的通项公式；5. 设数列na满足01a且111111nnaa，求na的通项公式6. 已知数列na满足)1(3, 2

15、11naaann，求数列na的通项公式；7. 已知数列na满足2122142nnnaaaaa且，（nn） ，求数列na的通项公式；8. 已知数列na满足，21a且1152(5 )nnnnaa（nn） ，求数列na的通项公式；9. 已知数列na满足，21a且115 223(5 22)nnnnaa（nn） ，求数列na的通项公式；（2）累加法1、累加法适用于：1( )nnaaf n若1( )nnaaf n(2)n，则21321(1)(2)( )nnaafaafaaf n8 / 11两边分别相加得111( )nnkaaf n例： 1.已知数列na满足141,21211naaann，求数列na的通项公

16、式。2. 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。3. 已知数列na满足112 313nnnaaa，求数列na的通项公式。4. 设数列na满足21a，12123nnnaa，求数列na的通项公式（ 3）累乘法适用于：1( )nnaf n a若1( )nnaf na，则31212(1)(2)( )nnaaafff naaa，例： 1. 已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。2.已知数列na满足321a，nnanna11，求na。3.已知31a，nnanna23131)1(n，求na。（4）待定系数法适用于1( )nnaqaf n解题基本步骤：1

17、、确定( )f n2、设等比数列1( )naf n，公比为3、列出关系式)() 1(2211nfanfann9 / 114、比较系数求1，25、解得数列1( )naf n的通项公式6、解得数列na的通项公式例： 1. 已知数列na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。2在数列na中，若111,23(1)nnaaan，则该数列的通项na_ 3.已知数列na满足1123 56nnnaaa，求数列na的通项公式。解：设1152(5 )nnnnaxax4已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na5 已知数列na满足11124 31nnnaaa，求数列na的通项公式

18、。（ 5）递推公式中既有ns又有na把已知关系通过11,1,2nnns nassn转化为数列na或ns的递推关系，然后采用相应的方法求解。1. 数列 an的前n项和为sn，且a1=1，113nnas，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列 an的通项公式2. 已知数列na中，31a前n和1)1)(1(21nnans求证：数列na是等差数列求数列na的通项公式3已知数列na的各项均为正数， 且前 n 项和ns满足1(1)(2)6nnnsaa，且249,aa a成等比数列，求数列na的通项公式。（6）倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例： 1. 已知数列na满足112,12nnnaaaa，求数列na的通项公式。10 / 11数列求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和。dnnnaaansnn2) 1(2)(11)1(1)1 ()1(11qqqaqnasnn公比含字母时一定要讨论例： 1。已知等差数列na满足, 11a32a，求前n项和ns2已知等比数列na满足, 11a32a，求前n项和ns3. 设4710310( )22222()nf nnn，则( )f n等于（）a.2(81)7n b.12(81)7n c.32(81)7nd.42(81)7n2错位相减法求和：如：.,2211的和求等比等差nnnnbabababa例： 1求和21123nn