高一数学必修第一册2019(A版)_《函数的基本性质》教材分析

1、3.2 函数的基本性质一、本节知识结构框图二、重点、难点重点：函数的单调性、奇偶性. 难点：增（减）函数的定义，利用增（减）函数的定义判断函数的单调性. 三、教科书编写意图及教学建议运动变化的规律性是性质，变化中的不变性也是性质，函数是刻画客观世界中运动变化的重要数学模型，因此，运动变化中的规律性或不变性通常反映为函数的性质. 高中阶段要研究的函数性质有：单调性、最大（小）值、奇偶性、周期性、函数的零点、正或负增长率（衰减率）、增长（减少）快慢等. 本节研究函数的单调性、最大（小）值、奇偶性，其中单调性是函数最重要的性质. 函数的单调性和奇偶性都可以在函数的图象上反映出来. 因此，首先借助函数

2、图象对其单调性和奇偶性有一个初步了解，并在此基础上进行定量刻画；然后用数学符号语言形成单调性与奇偶性的定义. 这是研究函数性质的一般过程与方法，这样做有利于发展学生的数形结合思想， 并由此培养学生数学抽象与直观想象等素养. 在教学时建议从若干实例出发，归纳出共同特征，再概括到同类事物中形成一般性质 . 这种从特殊到一般的归纳概括过程，有利于培养学生的数学思维和推理论证能力 . 3.2.1 单调性与最大（小）值1. 函数的单调性学习函数的单调性，不仅可以让学生加深对函数基本性质的认识，而且可以让学生体会研究函数性质的过程与方法. 教科书给出研究函数单调性的过程是：具体函数图象特征数量刻画符号语言

3、抽象定义单调性判定. （1）函数单调性的定性刻画教科书在研究函数的性质之前，给出了以下三个图形. 教学时可以让学生将图 3-6与图3-7（或图 3-8）进行比较，引导学生得出图3-6的特点是：图象从左至右保持上升；图3-7与图3-8的特点是：图象从左至右有升也有降. 由此产生问题： 图3-6对应的函数图象“从左至右始终保持上升”，这一不变性是函数的什么性质呢？这里要注意在“如何观察”上加强启发和引导，学生在初中学过函数的单调性， 采用描述“y随 x 的增大而增大 （减小）”，这是从图象上看到的函数的变化趋势（变化中的不变性），所以学生借助初中的经验还是能够说出这种规律的 . 对于图 3-7与图

4、3-8，观察发现，这两个函数图象具有的共同点是“在某个区间函数图象保持上升（或下降）”. 因此，图 3-6的函数图象从左到右始终保持上升，或者图 3-7、图3-8的函数图象在某个区间保持上升（或下降），这是函数的一种性质，我们把这种性质归为函数的单调性. （2）函数单调性的定量刻画从图象观察到的函数单调性是“定性”的，需要进一步地用“定量”的方法对这一性质准确刻画，这就需要回到函数定义，利用函数符号( )yf x. 例如，对于教科书上的例子2( )f xx ，可以借用信息技术给出图 3-9，并提出问题：你能从函数的对应关系出发说出图中点a的两个坐标的意义吗？在学生回答后， 可以在图 3-9中y

5、轴的左侧沿 x增大的方向拖动点a，让学生观察点a的坐标变化（图 3-10），引导他们得出函数值的变化规律：函数值随自变量的增大而减小 . 上述过程实现了将函数2( )f xx 在区间(,0上的“图象下降”这一不变性转化为“函数值随自变量的增大而减小”的数量化描述. 尽管仍是“定性刻画”，但是它离用精确的数量关系进行“定量刻画”已经近了一步. 用同样的方法，可以让学生理解：函数2( )f xx 在区间0,)上“函数值随自变量的增大而增大”这一规律. （3）函数单调性的定义当把函数( )f x在区间d上的单调性聚焦在“函数值随自变量的增大而减小（增大）”后，学生对“定量刻画”函数性质的必要性与数学

6、意义应该有所体验，但如何用数量关系精确刻画“在区间d上，函数值随自变量的增大而减小（增大）”这一规律还是存在困难的 . 对于函数2( )f xx 而言，为进一步精确刻画它在区间(,0上“函数值随自变量的增大而减小”这一规律， 可以借助信息技术作出图 3-11加以理解 . 在y轴左侧任意改变a，b的位置，可以发现：只要保持点a的横坐标大于点b的横坐标，就会有点a的纵坐标大于点b的纵坐标 . 利用函数的定义及解析式把上述规律表示出来，就可以得到函数2( )f xx 在区间(,0上满足：若1x ，2(,0 x，且12xx ，就有12fxfx. 虽然上述改变a，b的位置是随意的，但仍不能保证发现的结论

7、在区间(,0上的任何情况下都是正确的. 因此，我们必须找到一种方法加以证明. 这样，就有了以下用符号语言刻画的过程：1x ，2(,0 x，得到211fxx ，222fxx ，那么当12xx 时，有12fxfx. 这时我们就说函数2( )f xx 在(,0上是单调递减的 . 教科书的边空中要求学生说明“为什么12fxfx”，实际上是让学生利用不等式的基本性质证明2221xx . 教学中，还可以让学生再举几个自己熟悉的例子，用上述方法描述函数的单调性. 在此基础上，再引入函数单调性的定义. 需要注意的是，教科书区分了“单调递增”与“增函数”“单调递减”与“减函数”，这是与以往教科书有所不同的. 实

8、际上，函数的单调性是函数的一种“局部性质”，一个函数在其定义域内的某些区间上“增”而在另一些区间上“减”的情况是常见的 . 这时， 如果仅仅以“增函数”“减函数”加以定义，会引起混淆 . 因此，教科书仅把在整个定义域上单调递增（减）的函数称为增（减）函数. 教科书给出函数单调性定义后设置了“思考”，意在引导学生体会函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的. 函数在某个区间上单调，并不意味着函数在整个定义域内都是单调的，教学时可以要求学生举例说明. （4）函数的单调区间在本节中，只需会求一次函数、二次函数、反比例函数及形如( )f xx 的简单函数的单调区间，而求更加复杂的函数的单调区间， 待今

9、后再学习 . 例如学习导数后，利用导数去求函数的单调区间. 在教学中，既要重视由函数图象获得单调区间，也应重视由函数的单调性帮助画函数的图象 . 这样数形结合地思考和解决问题，不仅可以更方便地发现解决问题的途径，而且有利于培养学生的直观想象素养. （5）关于函数单调性的判定虽然我们可以通过函数的图象了解函数的单调性，但证明函数在某个区间上单调递增（减），就必须回到定义上来. 从函数单调性定义可知，证明函数在某个区间上的单调性，需要用到不等式的性质和代数变形等 . 初中阶段，学生接触代数证明题较少，而通过代数运算（变形）证明数学命题是高中数学学习的重要任务，所以教学中应引起足够的重视. 让学生证

10、明一些简单函数在某个区间上的单调性，不仅可以加深他们对函数单调性的理解，还可以让他们从中体会到面对“无穷”时的数学处理方法，从中感受数学的美与力量 . 为了帮助学生规范证明过程，可以将（用定义）证明函数( )f x在区间d上的单调性的过程归纳为以下步骤：第一步，在区间d上任取两个自变量的值1x ，2xd ，并规定12xx ；第二步，计算12fxfx，将12fxfx分解为若干可以直接确定符号的式子；第三步，确定12fxfx的符号 . 若120fxfx，则函数( )f x在区间d上单调递增；若120fxfx，则函数( )f x在区间d上单调递减 . （6）增（减）函数定义的等价形式教科书习题 3.

11、2中的第 9题，实际上是给出增 （减）函数定义的等价形式 . 这个等价形式不仅可以简化判断单调性的过程，也为将来研究平均变化率与导数提供了基础，教学时要提醒学生加以注意. 比如， 对于教科书上的例 1， 可以利用第 9题中函数增减性的等价形式加以解决：1x ，2xr ，且12xx ，则12121212fxfxkxbkxbykxxxxx.当0k时，0yx，所以( )fx是增函数；当0k时，0yx，所以( )f x是减函数 . （7）函数的单调区间不能简单合并例如， 函数1( )f xx在区间(,0)和(0,)上都单调递减，我们说函数1( )f xx在区间(,0)和(0,)上单调递减，但不能说1(

12、 )f xx在(,0)(0,)上单调递减，或在整个定义域内单调递减，即不能说1( )f xx是减函数 . （8）例题、练习与习题的处理教科书在函数单调性部分安排了3个例题 . 例1是利用单调性的定义研究一次函数( )(0)f xkxb k的单调性 . 这里不仅是让学生熟悉利用定义研究函数单调性的过程，也是对初中阶段从图象中得到的结论进行严格的证明. 此外，这里将“比较1fx与2fx的大小”转化为“比较12fxfx与0的大小”的做法，体现了数学中“化繁为简”“化难为易”的转化与化归思想 . 例2本质上是研究反比例函数的单调性. 在用定义证明函数的单调性时，要特别注意培养学生数学表达的严谨性和书写

13、过程的规范性. 例3中的函数1( )f xxx其实是正比例函数与反比例函数的和. 教学时，除按函数单调性的定义进行证明外， 还可以引导学生用定义探究1( )f xxx在整个定义域内的单调性 . 如果利用习题 3.2 第9题所提供的单调性定义的等价形式，可以得到121212121fxfxx xyxxxx x. 因此，1x ，2xd ，且12xx ，可以得到如下表格：d(,1 1,0)(0,11,)yx的符号( )f x单调递增单调递减单调递减单调递增所以，( )f x的增区间是(, 1和1,)，减区间是 1,0)和(0,1. 本小节的 4个练习可这样处理：第 1题结合单调性定义进行处理；第2题结

14、合例 1处理；第 3题、第 4题结合例 2进行处理 . 所有的练习应让学生独立思考后画出函数图象，以帮助理解问题中函数的单调性和证明过程. 2. 函数的最大（小）值函数的最大（小）值与函数的单调性有着密切的联系. 通常，知道了函数的单调性，就能较方便地找到函数的最大（小）值. （1）函数的最大（小）值的定义函数的最大（小）值的定义是借助二次函数及其图象引出的，概念的出现仍然是遵循从特殊到一般的原则. 这里给出了两个“思考”，第一个思考以学生熟悉的素材给学生提供尝试的机会，也为引出最大值概念作准备；第二个思考，是让学生学会用类比的方法独立获得最小值概念. 教学时不要由教师取而代之，要给学生提升数

15、学思维能力的机会，并结合具体实例解决函数最小值的理解问题. （2）例题、练习与习题的处理例4是一个实际应用问题， 这里需要物理中的斜抛运动知识作准备，如果学生没有这方面的知识，那么教学时宜作适当的说明. 例5是借助函数的单调性求函数最值的问题. 教学时，需要强调证明函数单调性的重要性，只有在证明了函数在给定区间上是单调递减的，才能说明函数在区间端点取到的函数值是函数的最大（小）值. 本小节的 3个练习可这样处理： 第1题配合例 4；第2题配合最大（小）值的概念；第3题配合例 5。3.2.2 奇偶性与函数单调性不同，函数的奇偶性是函数的整体性质，即它要求定义域中任意一个自变量都具有这样的特性.

16、教科书在处理函数的奇偶性时，沿用了处理函数的单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生获得函数奇偶性的直观定性认识；然后利用表格研究发现数量变化特征；最后通过代数运算，验证发现的数量特征的普遍性，在此基础上建立奇（偶）函数概念 . 将上述研究函数奇偶性的过程概括起来就是：具体函数图象特征（对称性）数量刻画符号语言抽象定义奇偶性判定. 1. 偶函数（1）偶函数的定性认识教科书先研究偶函数 . 在引导学生观察函数2( )f xx 和( )2|g xx的图象时，发现图象关于y轴对称应该是不难的，难的是如何精确刻画一个图象关于y对称，所以教科书以“探究”的形式提出了问题. 教学时，不要一步到位地

17、用符号语言刻画函数图象关于y轴的对称，要为培养学生的数形结合思想创造机会. 具体地，要让学生将现在的研究与函数单调性的研究联系起来，产生将自己发现的图象特征进行“定量刻画”的想法，进而寻找“定量刻画”的方法 . （2）偶函数的数量刻画让学生观察下列表格中的数量特征：x-3 -2 -1 0 1 2 3 2( )f xx9 4 1 0 1 4 9 ( )2g xx-1 0 1 2 1 0 -1 学生应该不难发现结论：自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等. 但是，“如何给定表格中自变量的取值”“上述发现的结论是否具有一般性”“如何说明上述结论具有一般性”是教学中应充分重视的问题. 对于初学用符

18、号语言刻画函数特征的学生来说，它们不仅是重点也是难点，教学时可以通过让学生回顾刻画函数单调性的方法来突破这个难点. 实际上，函数的奇偶性就是平面几何中中心对称图形、轴对称图形的解析表示 .利用平面几何中轴对称的知识，对直角坐标系中点的位置关系与相应的坐标之间的关系稍作思考， 就可以容易地想到：xr，点( ,( )p x f x与点(,()px fx关于y轴对称，那么y轴是线段 pp的垂直平分线，根据坐标的意义即得()( )fxf x；反之也对 . （3）偶函数的定义教学时可以引导学生思考：为何要从( 3)(3)ff，( 2)(2)ff，( 1)(1)ff得出()( )fxf x？如何说明xr，

19、都有()( )fxf x？这样做体现了从特殊到一般的思想，这是人们发现规律和不变性的重要方法，也是抽象数学概念的重要过程，教学时应注意给学生创造这样思考的机会. 对于上述第二个问题，教科书给出的处理过程如下：实际上，xr，都有22()()( )fxxxf x ，这时称函数2( )f xx 为偶函数. 在这里，要向学生说明用解析式证明第二个问题中的结论，实质上就是用符号语言刻画函数的性质 . 教科书给出偶函数的定义与以往教科书给出的定义有所不同，在于强调了“偶函数的定义域关于原点对称”， 即“如果xi， 都有xi”，这在原来教科书定义中是一个隐性条件，现在将其显性化了. 2. 奇函数在给出偶函数

20、定义的基础上，教科书设置了探究栏目，启发学生用类比的方法得出奇函数的定义 . 为此， 教科书在表 3.2-2 中留下大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，并由此建立奇函数的概念 . 教学时要贯彻教科书的这一编写意图，放手让学生展开自主探究活动. 在得到奇函数的定义后，要让学生将奇函数的定义与偶函数的定义进行比较，指出奇函数与偶函数的共同点是：（1）定义域关于原点对称；（2）都是函数的整体性质 . 奇函数与偶函数的不同点是：（1）当自变量取一对相反数时， 偶函数的函数值相等， 而奇函数的函数值是一对相反数；2）偶函数的图象关于

21、y轴对称，而奇函数的图象关于原点对称. 3. 函数奇偶性的判定根据奇（偶）函数的定义判断一个函数的奇偶性，可以按如下步骤进行：第一步，求出函数的定义域. 第二步， 判断定义域是否关于原点对称. 若否， 则函数不具有奇偶性，结束判断；若是，则进行第三步 . 第三步，xi（i为定义域），计算()fx，若()( )fxf x，则( )f x为偶函数； 若()( )fxf x， 则( )f x为奇函数；若()( )fxf x， 且()( )fxf x， 则( )f x既不是偶函数也不是奇函数. （1）注意在函数奇偶性判断中加强数形结合有了偶函数的概念后， 教科书给出了两个函数2( )1f xx，22( )11f xx加以说明. 教学时，不仅要引导学生从偶函数的定义去思考，还要让他们想象一下这两个函数的图象 . 有条件的话，可让学生用信息技术画一画函数的图象. 对于一个奇函数或偶函数，根据它的图象关于原点或y轴对称的特性，就可由自变量取正值时的图象和性质， 来推断它在整个定义域内的图象和性质. 其实，这也是研究函数奇偶性的好处所在简化对函数的认识过