002信号的傅里叶分析

1、信号的傅里叶分析北京科技大学阳建宏2021-11-19北京科技大学 机械工程学院2/ 80北京科技大学 机械工程学院2/ 80傅里叶傅里叶l“an arbitrary function, coutinous or with discontinuities, defined in a finite interval by an arbitrarily capricious graph can always be expressed as a sum of sinusoids”j.b.j. fourierfourier, jean baptiste josephfrench baron, phys

2、icist, mathematician1768 - 1830cooley, tukey: fft in 1965北京科技大学 机械工程学院3/ 80北京科技大学 机械工程学院3/ 80傅里叶傅里叶傅里叶最主要的两个贡献：傅里叶最主要的两个贡献：l“周期函数都可以表示成为谐波关系的正弦函数的加权和周期函数都可以表示成为谐波关系的正弦函数的加权和” 傅里叶的第一个主要论点，即傅里叶的第一个主要论点，即傅里叶级数傅里叶级数l“非周期函数都可以用正弦函数的加权积分表示非周期函数都可以用正弦函数的加权积分表示” 傅里叶的第二个主要论点，即傅里叶的第二个主要论点，即傅里叶变换傅里叶变换北京科技大学 机械

3、工程学院4/ 80北京科技大学 机械工程学院4/ 80l基本思想基本思想 “任意”的函数或者信号通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数是被充分研究而相对简单的函数类，使用正弦函数来表示可以更加简单地处理原来的信号。l意义意义 它将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工，最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。l应用应用 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。傅里叶变换傅里叶变换北京科技大学 机械工程学院5/ 80北京科技大

4、学 机械工程学院5/ 80傅里叶分析傅里叶分析12 23 34 4傅里叶级数傅里叶级数傅里叶变换离散傅里叶变换总结北京科技大学 机械工程学院6/ 80北京科技大学 机械工程学院6/ 80周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数), 2 , 1()()(nnttxtx0001( )(cossin)nnnx taantbnt00022/ft按按“三角函数形式三角函数形式”展开：展开：各参数分别为各参数分别为：上式可进一步表示为上式可进一步表示为100)cos()(nnntnaatx0020022x( ) cos.tntatnt dtt0020022( )sin.tntbx tnt dtt00aa2

5、2nnnaabnnnbarctga周期信号：周期信号：北京科技大学 机械工程学院7/ 80北京科技大学 机械工程学院7/ 80周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数并非任意的周期信号都能进行傅里叶级数展开并非任意的周期信号都能进行傅里叶级数展开充分条件：狄利克雷（充分条件：狄利克雷（dirichlet）条件）条件n在一周期内，只存在有限个间断点n在一周期内，只存在有限个极大值和极小值n在一周期内，信号是绝对可积的tttdttx00)(工程中的信号都满足上述条件所有周期信号都能进行傅里叶级数展开吗？所有周期信号都能进行傅里叶级数展开吗？北京科技大学 机械工程学院8/ 80北京科技大学 机械工程

6、学院8/ 80例：周期性三角波的傅里叶级数例：周期性三角波的傅里叶级数 0t0/2-t0/2ax(t)t. . . . ., 3, 2, 1),()()20(2)02(2)(00000nnttxtxttttaattttaatx周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数举例举例北京科技大学 机械工程学院9/ 80北京科技大学 机械工程学院9/ 80解：2d)2(2d)(12/0002/2/00000atttaatttxtattt2/00002/2/00000dcos)2(4dcos)(2tttnttnttaatttntxta), 6, 4, 2(0), 5, 3, 1(42sin422222nnn

7、anna0sin)(22/2/0000ttndttntxtb周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数举例举例北京科技大学 机械工程学院10/ 80北京科技大学 机械工程学院10/ 80), 5, 3, 1(cos42)(1022ntnnaatxn因此，有：因此，有：1022)2sin(42ntnnaa4a 24a92 4a2520a()03050003050 () a 22幅值谱幅值谱相位谱相位谱周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数举例举例北京科技大学 机械工程学院11/ 80北京科技大学 机械工程学院11/ 800000sincos)(21sin)(21cos00000njneeejne

8、enjnjnjnjnjn0001( )(cossin)nnnx taan t bn t0001( )22jnw tjnw tnnnnnajbajbx taee根据欧拉公式可以得到周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数按按“指数形式指数形式”展开：展开：周期信号三角函数形式的傅里叶级数令0()2nnajbf nw考虑到na是n的偶函数，nb是n的奇函数可知01()()2nnfnwajb000001( )()()jnw tjnw tnx taf nw efnw e北京科技大学 机械工程学院12/ 80北京科技大学 机械工程学院12/ 80000011()()jnw tjnw tnnfnw ef

9、nw e000/2/201( )tjnw tntfx t edtt00( )jnw tnx tf nw e 令f(0)=a0考虑到 其中指数形式傅里叶级数的系数 得到x(t)的指数形式傅里叶级数0()f nw或者nf周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数 因为fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱，复数频谱不仅包括正频率项而且含有附频率项，因此这种频谱相对于纵轴是左右对称的。北京科技大学 机械工程学院13/ 80北京科技大学 机械工程学院13/ 80三角函数形式展开：三角函数形式展开：复指数函数形式展开：复指数函数形式展开：周期周期t内，内，n次谐波的幅值按下式计算，称为次谐波的幅值按下

10、式计算，称为傅里叶系数傅里叶系数： 0jntnnx tf e tt0002021jntnfx t edtt周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数如何理解傅里叶系数的物理含义？如何理解傅里叶系数的物理含义？待分析信号100)cos()(nnntnaatx北京科技大学 机械工程学院14/ 80北京科技大学 机械工程学院14/ 80频谱的定义：频谱的定义：将信号将信号x(t)的傅里叶系数的傅里叶系数fn称为信号称为信号x(t)的频谱的频谱系数（系数（spectral coefficients），简称频谱（），简称频谱（spectrum）。）。周期信号的频谱周期信号的频谱: :周期信号中各次谐波的幅

11、值周期信号中各次谐波的幅值anan和相位和相位 n n随频随频率率nn0 0的变化关系，一般为的变化关系，一般为双边谱，双边谱， 若若n0n0，称为称为单边谱单边谱， 02021tjnttnnxx nfx t edtt典型周期信号的谱图典型周期信号的谱图nnaf 2nnaf幅值谱相位谱北京科技大学 机械工程学院15/ 80北京科技大学 机械工程学院15/ 80典型周期信号的谱图典型周期信号的谱图周期矩形脉冲信号：幅值谱：相位谱：北京科技大学 机械工程学院16/ 80北京科技大学 机械工程学院16/ 80典型周期信号的谱图典型周期信号的谱图周期锯齿波：幅值谱：相位谱：北京科技大学 机械工程学院1

12、7/ 80北京科技大学 机械工程学院17/ 80周期信号的频谱特性周期信号的频谱特性离散性离散性：每条谱线代表一个频率分量谐波性谐波性：谱线出现在基波的整数倍频率上收敛性收敛性：总体上，谐波次数越高，谐波分量越小20hz80hz120hz叠加后得到叠加后得到20hz80hz120hz北京科技大学 机械工程学院18/ 80北京科技大学 机械工程学院18/ 80离散性离散性：每条谱线代表一个频率分量谐波性谐波性：谱线出现在基波的整数倍频率上收敛性收敛性：总体上，谐波次数越高，谐波分量越小周期信号的频谱特性周期信号的频谱特性对于复杂周期信号：对于复杂周期信号：周期的确定根据各频率值的周期的确定根据各

13、频率值的最大公约数最大公约数的倒数来确定的倒数来确定北京科技大学 机械工程学院19/ 80北京科技大学 机械工程学院19/ 80周期信号的频谱特性周期信号的频谱特性离散性离散性：每条谱线代表一个频率分量；谐波性谐波性：谱线出现在基波的整数倍频率上收敛性收敛性：总体上，谐波次数越高，谐波分量越小n信号的中高次谐波分量很小，所以其对信号波形的影响很小，有信号的中高次谐波分量很小，所以其对信号波形的影响很小，有时可以忽略。时可以忽略。n在一定的误差范围内，只考虑有限的频率分量：从在一定的误差范围内，只考虑有限的频率分量：从0 0频率到所必须频率到所必须考虑的最高次谐波分量之间的频段称为考虑的最高次谐

14、波分量之间的频段称为信号的频带宽度信号的频带宽度. .北京科技大学 机械工程学院20/ 80北京科技大学 机械工程学院20/ 80周期信号的频谱特性周期信号的频谱特性吉布斯现象吉布斯现象如图所示方波，可分解为：) 12sin(1213sin31sin2)(tkktttf北京科技大学 机械工程学院21/ 80北京科技大学 机械工程学院21/ 80周期信号的频谱特性周期信号的频谱特性吉布斯现象吉布斯现象01234567-2-1.5-1-0.500.511.5201234567-2-1.5-1-0.500.511.52选取第一项傅里叶级数选取第一项傅里叶级数前两项傅里叶级数叠加前两项傅里叶级数叠加北

15、京科技大学 机械工程学院22/ 80北京科技大学 机械工程学院22/ 80周期信号的频谱特性周期信号的频谱特性吉布斯现象吉布斯现象01234567-2-1.5-1-0.500.511.5201234567-2-1.5-1-0.500.511.52pi/29%前四项傅里叶级数叠加前四项傅里叶级数叠加不同级数项合成比较不同级数项合成比较n选取的傅里叶级数的项数越多，在合成的波形中出现的峰起越靠近周期信号的不连续点选取的傅里叶级数的项数越多，在合成的波形中出现的峰起越靠近周期信号的不连续点n选取项数选取项数n很大时，该峰起值趋于常值，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去很大时，该峰起值趋于常

16、值，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去北京科技大学 机械工程学院23/ 80北京科技大学 机械工程学院23/ 80傅里叶级数傅里叶级数小结小结针对针对连续周期信号连续周期信号的分析的分析可进行可进行 “三角函数三角函数”和和 “复指数形式复指数形式”的展开的展开傅里叶级数的傅里叶级数的本质本质：可获得幅值谱和相位谱可获得幅值谱和相位谱频谱特征：离散性、谐波性、收敛性频谱特征：离散性、谐波性、收敛性吉布斯现象吉布斯现象100)cos()(nnntnaatx 0jntnnx tf e( ),j tnfx t e北京科技大学 机械工程学院24/ 80北京科技大学 机械工程学院24/ 80傅

17、里叶分析傅里叶分析12 23 34 4傅里叶级数傅里叶变换傅里叶变换离散傅里叶变换总结北京科技大学 机械工程学院25/ 80北京科技大学 机械工程学院25/ 80傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶变换傅里叶变换t,变为非周期信号w0，所包围面积f0，则意味频谱变连续北京科技大学 机械工程学院26/ 80北京科技大学 机械工程学院26/ 80t20dt连续时间周期信号连续时间周期信号连续时间连续时间非非周期信号周期信号离散频谱离散频谱连续连续频谱频谱傅里叶级数傅里叶级数傅里叶变换傅里叶变换傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶变换傅里叶变换00( )()jntnx tf ne谐波正弦谐波正弦/ /加和加和频谱离

18、散频谱离散1( )()2jtx tfed非整谐波正弦非整谐波正弦/ /积分积分频谱连续频谱连续北京科技大学 机械工程学院27/ 80北京科技大学 机械工程学院27/ 80傅里叶正变换（分解公式）：傅里叶正变换（分解公式）： 傅里叶反变换（合成公式）：傅里叶反变换（合成公式）： 以上两式称为傅里叶变换对，记作以上两式称为傅里叶变换对，记作 dtetxtxfxtj dexxftxtj211 xtxft傅里叶变换傅里叶变换北京科技大学 机械工程学院28/ 80北京科技大学 机械工程学院28/ 80傅里叶变换的本质傅里叶变换的本质知识回顾：知识回顾：内积内积12121, ,( ), ( )( ) (

19、)ntniiinyyx yx yx xxx yyx ty tx t y t dt( ),j tnfx t e傅里叶级数傅里叶级数 - - 内积表示内积表示待分析信号待分析信号 “滤波镜片滤波镜片”5hz北京科技大学 机械工程学院29/ 80北京科技大学 机械工程学院29/ 802 hz x(t).*cos(2 ft) = -5.7e-151 hz x(t).*cos(2 ft) = -8.8e-15傅里叶变换的本质傅里叶变换的本质5 hz5 hz原始信号滤波镜片的信号北京科技大学 机械工程学院30/ 80北京科技大学 机械工程学院30/ 804 hz x(t).*cos(2 ft) = -2.

20、2e-143 hz x(t).*cos(2 ft) = -4.6e-14傅里叶变换的本质傅里叶变换的本质5 hz5 hz北京科技大学 机械工程学院31/ 80北京科技大学 机械工程学院31/ 804.8 hz x(t).*cos(2 ft) = 74.55 hz x(t).*cos(2 ft) = 100傅里叶变换的本质傅里叶变换的本质5 hz5 hz当当“滤波镜片滤波镜片”的频率与原始信号频率完全吻合时，计算结果达到最大的频率与原始信号频率完全吻合时，计算结果达到最大北京科技大学 机械工程学院32/ 80北京科技大学 机械工程学院32/ 805.2 hz x(t).*cos(2 ft) =

21、77.56 hz x(t).*cos(2 ft) = 1.0e-14傅里叶变换的本质傅里叶变换的本质5 hz5 hz北京科技大学 机械工程学院33/ 80北京科技大学 机械工程学院33/ 80傅里叶变换的本质傅里叶变换的本质信号频率信号频率“滤波滤波镜片频镜片频率率”匹配值匹配值5hz1hz-8.8e-155hz2hz-5.7e-155hz3hz-4.6e-145hz4hz-2.2e-145hz4.8hz74.55hz5hz1005hz5.2hz77.55hz6hz1.0e-14( ),jtnfx te时域图hz5hz频谱图北京科技大学 机械工程学院34/ 80北京科技大学 机械工程学院34/

22、 80设设线性性质线性性质 时移性质时移性质频移性质频移性质 翻转性质翻转性质共轭性质共轭性质 iftixtx iftiyty niiiftniiixatxa11 xettxtjft00 00xtxefttjxtxft *xtxft傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质北京科技大学 机械工程学院35/ 80北京科技大学 机械工程学院35/ 80尺度变换性质尺度变换性质 对偶性质对偶性质微分性质微分性质 积分性质积分性质parsevalparseval定理定理其中其中 为为能量谱密度能量谱密度，简称，简称能量谱能量谱，只与信号的，只与信号的幅度谱有关，与相位谱无关。幅度谱有关，与相位谱无关。 axaa

23、txft1 xtxft2 xjdttdxft xjdttxftt1 dxdttx22212)()(xex傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质尺度变换示意图尺度变换示意图北京科技大学 机械工程学院36/ 80北京科技大学 机械工程学院36/ 80单位脉冲信号的傅里叶变换单位脉冲信号的傅里叶变换 单位直流信号的傅里叶变换单位直流信号的傅里叶变换)(ttj)(jf100 21ft)(tfet)(2 e 1ftt典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换北京科技大学 机械工程学院37/ 80北京科技大学 机械工程学院37/ 80典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换矩形脉冲矩形脉冲1t1t( )x tt0

24、1()x j1t12t周期脉冲序列周期脉冲序列北京科技大学 机械工程学院38/ 80北京科技大学 机械工程学院38/ 80傅里叶变换傅里叶变换小结小结信号类型信号类型连续周期信号连续周期信号连续非周期信号连续非周期信号分析手段分析手段傅里叶级数 傅里叶变换频谱特征频谱特征离散、谐波、收敛连续频谱00/2/2( )1( )jntnntjntntx tf efx t edttdtetxxdextxtjtj)()()(21)(北京科技大学 机械工程学院39/ 80北京科技大学 机械工程学院39/ 80傅里叶分析傅里叶分析12 23 34 4傅里叶级数傅里叶变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换总结北京科技

25、大学 机械工程学院40/ 80北京科技大学 机械工程学院40/ 80连续时间信号的离散化：连续时间信号的离散化：数字计算机和大规模集成电路的高度发展，为信号处理提供了强有力的数字计算机和大规模集成电路的高度发展，为信号处理提供了强有力的技术手段。为了借助于这些手段，进行连续信号的分析，首先需要将连技术手段。为了借助于这些手段，进行连续信号的分析，首先需要将连续信号经过采样变成离散信号，即续信号经过采样变成离散信号，即信号的离散化信号的离散化。离散傅里叶变换离散傅里叶变换如何使信号离散化？如何使信号离散化？北京科技大学 机械工程学院41/ 80北京科技大学 机械工程学院41/ 80在时域对连续时

26、间信号进行在时域对连续时间信号进行冲击串采样冲击串采样，可以实现时，可以实现时域信号的离散化。域信号的离散化。( )x t0t( )p tt2t2ttt0t0t2tt2t)()()(tptxty离散傅里叶变换离散傅里叶变换 采样定理采样定理北京科技大学 机械工程学院42/ 80北京科技大学 机械工程学院42/ 80在没有任何条件限制的情况下，从连续时间信号采样所得到的样本序列不能唯一地确定原来的连续时间信号。对同一个连续时间信号，当采样间隔不同时也会得到不同的样本序列。在t的整倍数时刻点上具有相同值的三个连续时间信号离散傅里叶变换离散傅里叶变换 采样定理采样定理北京科技大学 机械工程学院43/

27、 80北京科技大学 机械工程学院43/ 80s()pxjl在时域对连续时间信号在时域对连续时间信号进行冲击串采样，就相进行冲击串采样，就相当于在当于在频域频域将信号的频将信号的频谱以采样间隔进行谱以采样间隔进行周期周期延拓。延拓。采样频率；采样频率；mw信号频率；信号频率；)()()(jwpjwxjwyswmwwmw-)( jwx-sws-2wsw2swwwswmwmw-msww mmswww)( jwp离散傅里叶变换离散傅里叶变换 采样定理采样定理北京科技大学 机械工程学院44/ 80北京科技大学 机械工程学院44/ 80离散傅里叶变换离散傅里叶变换 采样定理采样定理北京科技大学 机械工程学

28、院45/ 80北京科技大学 机械工程学院45/ 80离散傅里叶变换离散傅里叶变换 采样定理采样定理北京科技大学 机械工程学院46/ 80北京科技大学 机械工程学院46/ 80要使采样后的信号能完全代表原来的信号，要求在周期性延拓时不能发生频谱的混叠。为此必须要求:nx(t)必须是带限的，最高频率分量为必须是带限的，最高频率分量为fm。n必须保证采样频率必须保证采样频率 fs 2fm 。在工程实际应用中，理想滤波器是不可实现的。而非理想滤波器一定有过渡带，因此实际采样时, 必须fs2fm，一般取fs=(2.564)fm信号最高分析频率信号最高分析频率采样频率采样频率离散傅里叶变换离散傅里叶变换

29、采样定理采样定理北京科技大学 机械工程学院47/ 80北京科技大学 机械工程学院47/ 80采样频率fs越高，采样点越密，所获得的数字信号越逼近原始信号nfs 越高，数据量就越大，所需存储量和计算量也越大nfs 太小，不能满足采样定理，则会丢失原来的信息频率分辨力（率）fn频谱谱线间的最小间隔nf与采样长度l成反比， n为一个周期内的采样数：n需要综合考虑采样频率与采样长度的矛盾工程中的采样频率设置：工程中的采样频率设置：nfnftnfms56.21离散傅里叶变换离散傅里叶变换 采样定理采样定理北京科技大学 机械工程学院48/ 80北京科技大学 机械工程学院48/ 80n采样点数n与谱线数m的

30、关系：n = 2.56m n谱线数m与最高分析频率fm的关系： m = fm/fn频率分辨率f与采样点数n的关系： f = fm/ n工程中的采样频率设置：工程中的采样频率设置：离散傅里叶变换离散傅里叶变换 采样定理采样定理北京科技大学 机械工程学院49/ 80北京科技大学 机械工程学院49/ 80举例 机器转速3000r/min=50hz，如果要分析的故障频率估计在8倍频以下，要求谱图上频率分辨率f=1 hz ,则采样频率和采样点数设置为：n最高分析频率： fm = 850hz = 400hz;n采样频率： fs = 2.56 fm = 2.56400hz = 1024hz;n采样点数： n

31、=2.56(fm /f) = 2.56(400hz/1hz)1024n谱线数：m = n/2.56 = 1024/2.56 = 400条工程中的采样频率设置：工程中的采样频率设置：离散傅里叶变换离散傅里叶变换 采样定理采样定理北京科技大学 机械工程学院50/ 80北京科技大学 机械工程学院50/ 80满足采样定理满足采样定理离散傅里叶变换离散傅里叶变换连续信号连续信号离散信号离散信号计算机只能处理有限长的信号，计算机只能处理有限长的信号，如何获得有限长的信号？如何获得有限长的信号？北京科技大学 机械工程学院51/ 80北京科技大学 机械工程学院51/ 80 定义频域矩形窗函数为：定义频域矩形窗

32、函数为： 理想采样信号理想采样信号的频谱与幅值为的频谱与幅值为t t的矩形窗函数相乘，得的矩形窗函数相乘，得 即完成即完成将原信号的频谱在采样频率之内完整地提取出来将原信号的频谱在采样频率之内完整地提取出来。 2,02, 1ssg 2,1ssxtxttgx2sw2swwg(w)1离散傅里叶变换离散傅里叶变换 加窗截断加窗截断北京科技大学 机械工程学院52/ 80北京科技大学 机械工程学院52/ 80常用窗函数的常用窗函数的时域图时域图离散傅里叶变换离散傅里叶变换 加窗截断加窗截断北京科技大学 机械工程学院53/ 80北京科技大学 机械工程学院53/ 80时域图时域图离散傅里叶变换离散傅里叶变换

33、 加窗截断加窗截断加窗是否会造成能量泄漏？加窗是否会造成能量泄漏？北京科技大学 机械工程学院54/ 80北京科技大学 机械工程学院54/ 80时域截断产生的能量泄漏与窗函数频谱的旁瓣相关，需要选择合适的窗函数对窗函数的基本要求n在时域中：改善截断处的不连续状态n在频域中：窗谱的主瓣窄而高，以提高分辨力窗谱的主瓣窄而高，以提高分辨力旁瓣幅值小，减少泄漏和假频旁瓣幅值小，减少泄漏和假频常用窗函数的频域图离散傅里叶变换离散傅里叶变换 加窗截断加窗截断北京科技大学 机械工程学院55/ 80北京科技大学 机械工程学院55/ 80时域图时域图离散傅里叶变换离散傅里叶变换时域相乘，频域如何变化？时域相乘，频

34、域如何变化？沟通时域沟通时域频域的桥梁频域的桥梁卷积卷积北京科技大学 机械工程学院56/ 80北京科技大学 机械工程学院56/ 80卷积的运算卷积的运算l反转l平移l相乘l积分h(t)t00h(-)0h(t1 -)反转反转平移平移0h(t1-)x(t)相乘相乘x(t)0t积分积分x(t)0t)()(thtx北京科技大学 机械工程学院57/ 80北京科技大学 机械工程学院57/ 80（1）t=0时，时，y(0)=2a2 t0y(t)2a2t02t0-2t00 x(t)t0-t0h(0-)t0-t0t0-t0tt000卷积的运算示例卷积的运算示例)()()(thtxtya2北京科技大学 机械工程学

35、院58/ 80北京科技大学 机械工程学院58/ 80（2） t= t0 /2时，时，y(t0/2)=3a2 t0/2y(t)2t0-2t00 x(t)t0-t0h(t0/2- )t0-t0a2t0-t0)()()(thtxty2a2t03a2t0/2卷积的运算示例卷积的运算示例北京科技大学 机械工程学院59/ 80北京科技大学 机械工程学院59/ 80（3） t= t0时，时，y(t0)=a2 t0y(t)2a2t02t0-2t00 x(t)t0-t0h(t0- )t0-t0a2t0-t0)()()(thtxty卷积的运算示例卷积的运算示例北京科技大学 机械工程学院60/ 80北京科技大学 机

36、械工程学院60/ 80（4） t= 3t0/2时，时，y(3t0/2)=a2 t0/2y(t)2a2t02t0-2t00 x(t)t0-t0h(3t0/2- )t0-t0a2t0-t0)()()(thtxty卷积的运算示例卷积的运算示例北京科技大学 机械工程学院61/ 80北京科技大学 机械工程学院61/ 80（5） t= 2t0时，时，y(2t0)=0y(t)2a2t02t0-2t00 x(t)t0-t0h(2t0- )t0-t0a2t0-t0)()()(thtxty卷积的运算示例卷积的运算示例北京科技大学 机械工程学院62/ 80北京科技大学 机械工程学院62/ 80（6） t= -t0/

37、2时，时，y( -t0/2)=3a2t0/2y(t)2a2t02t0-2t00 x(t)t0-t0h(-t0/2- )t0-t0a2t0-t0)()()(thtxty卷积的运算示例卷积的运算示例北京科技大学 机械工程学院63/ 80北京科技大学 机械工程学院63/ 80（7） t= -t0时，时，y( -t0)=a2t0y(t)2a2t02t0-2t00 x(t)t0-t0h(-t0- )t0-t0a2t0-t0)()()(thtxty卷积的运算示例卷积的运算示例北京科技大学 机械工程学院64/ 80北京科技大学 机械工程学院64/ 80（8） t= -3t0/2时，时，y( -3t0/2)=

38、3a2t0/2y(t)2a2t02t0-2t00 x(t)t0-t0h(-3t0/2- )t0-t0a2t0-t0)()()(thtxty卷积的运算示例卷积的运算示例北京科技大学 机械工程学院65/ 80北京科技大学 机械工程学院65/ 80（9） t= -2t0时，时，y( -2t0)=0y(t)2a2t02t0-2t00 x(t)t0-t0h(-2t0- )t0-t0a2t0-t0)()()(thtxty卷积的运算示例卷积的运算示例北京科技大学 机械工程学院66/ 80北京科技大学 机械工程学院66/ 80卷积的应用卷积的应用含有脉冲函数的卷积：含有脉冲函数的卷积：设设 h(t)=(t-t

39、)+ (t+t)卷积为卷积为)()()()()()()()(ttxttxdtxttdtxhtyth(t)0tx(t)0tth(t)*x(t)0t计算函数计算函数x(t)x(t)和脉冲函数和脉冲函数的卷积，就是简单地将的卷积，就是简单地将x(t)x(t)在发生脉冲函数的坐标位在发生脉冲函数的坐标位置上置上( (以此作为坐标原点以此作为坐标原点) )重新构图重新构图。北京科技大学 机械工程学院67/ 80北京科技大学 机械工程学院67/ 80卷积的性质卷积的性质时域卷积定理：时域卷积定理：)()()(*)();()()(*)();()();()(fxfhtxthxhtxthxtxhthftftft

40、ft如果如果则有则有时域卷积定理：时域卷积定理：时间函数卷积的频谱等于各个时间函时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积，既在时间域中两信号的卷积，等效于数频谱的乘积，既在时间域中两信号的卷积，等效于在频域中频谱相乘。在频域中频谱相乘。北京科技大学 机械工程学院68/ 80北京科技大学 机械工程学院68/ 80卷积的性质卷积的性质时域卷积定理图例时域卷积定理图例x(t)t0-t0h(0-)t0-t0 2a2t02t0-2t0t时域卷积时域卷积ftftftft频域相乘频域相乘y(f)fftft北京科技大学 机械工程学院69/ 80北京科技大学 机械工程学院69/ 80频域卷积定理：频域卷积定理：如果如果则有则有频域卷积定理：频域卷积定理：两时间函数的频谱的卷积两时间函数的频谱的卷积等效于时域中两时间函数的乘积。等效于时域中两时间函数的