波动方程的推导

1、波动方程的推导 波动方程的推导 有杆泵工况计算机综合诊断技术讨论 2诊断技术的理论基础抽油井计算机诊断是依据实测光杆载荷和位移,利用数学方法借助于 计算机来求得各级抽油杆柱截面和泵上的载荷及位移,从而绘出井下示功图,并依据它们来推断和分析全套抽油设备的工作状况.其中包括:计算抽油杆顶部断面上的应力,估算泵口压力;推断油井潜力;计算活塞和泵效;检验泵及油管锚的机械状况:以及计算和绘制扭矩曲线,并进行平衡和功率计算与分析. 诊断技术是把抽油杆柱作为一根井下动态的导 线,其下端的泵作为放射器,上端的动力仪作为接收器,井下泵的工作状况以应力波的形式沿抽油杆柱以声波速度传到地面.把地面记录的资料经过数学

2、处理,就可定量地推断泵的工作状况.归根究竟,诊断技术的依据是一个应力波的传播问 题.波在抽杆柱中过程可应力油传播用带阻波尼的动方程2拟:来模 n忆名 -己 _ 2 _ 2, 6 a尸 y. l u一 -尸一 . -一, -弋 -:尸' i ' a t () 1 2 .,波动方程的建立抽油杆柱的动力学模型可视为有阻力的弹性杆的纵向振动问题.在抽 油杆上的某一点x处取一微单元 d,如图2 x . 1所示. ' 1 f护尸, x,子 ' , j ,ux a口个 t t杏 a ' n pgx fx十d, ad x t ( ) 图21 .表示抽由杆莱徽单元d的受力

3、 x分析在该单元上作用的载荷有:弹性载荷:fx t. (*x t (, fxd, ) ) 波动方程的推导 有杆泵工况计算机综合诊断技术讨论 惯性载荷: 一a,p 2 t 2 阻力载荷: 一cd,警xo _a _ a f_j2 e p a. na x=召 -,宁沼,七刀立;一通 单元自 pgx该项为静重: ad,力项,不影响的结构,可方程因而在方程中不予考虑,只须在方程的解中加入重力项即可.从而可列出单元的运动微分方程式: ' at ' a t ( 2 ) f ea=a p a x将 ()式代入 ()式, 3 2令少= ( 3 ) p e方可() 4 ac 2l,a u i u

4、t若亚=,对(式端求导则令 x u,并 3两对t偏,有 () x t ) a 日 f a u二-=p a二于十户祖 vt一乃 or () 5 =a ea u a x这是波动方程的另一种表达方式.依据肯定的边界条件,便可求得偏 微分方程 ( )或偏微分方程组 ( )的解.对于多级杆而言,只须考虑在 4 5 两级杆的交接处的位移ix t或速度 ., ' )( (, ( t及载荷 f, x ) ) ( 1 x )的连续性即可.对于不同的边界,形成了求解抽油杆柱动力响应的不同的模 波动方程的推导 有杆泵工况计算机综合诊断技术讨论 型: ()诊断模型:己知光杆位移u t 1 ( ) 0,光杆载荷

5、 f, ( t 0 ),求解 u t f, ( ) (t x, ), x .这是油井故障诊断的基础.)猜测模型:己 2知光杆位移t( t ) 0及泵处载荷凡随泵处位移j, i n的变化规律 f (, p ),求解 n( t fxt ,这是抽油机井设计的基 x) ( ),及,础. 求解波动方程有很多种数值解法,这里只争论位移差分解法,速度差 分解法及分别变量法.在采纳差分解法时,为了保证同一单元内的物理及几何性质全都,采纳了在各级杆之间,沿 x方向的步长不同的变步长差分格式.而且要保证差分解的稳定收敛,选择的,t x要满意收敛条件, 即在断型要竺,在测型要竺 1:诊模中求 dt 1而预模中求 a

6、t . a a2 . 2位移差分法* j月j二 ', .,花 l d二 l4t二 r,ll41k七, * i丁万 2 a a月 i', jl,yw - .习:二 a 7 n a干不-,二一 .决 .二 . '%- a k 11 4, 4 *乍尸石一 x夕 i i%日 2血, a - a t t a 2a x 日 x ii+子 一a) (t l,x - a ;i召+一, u- - .j 2;j告 1 ui ),+,七 . . . . .叫口. .月 . . .白 . . . . .口卜叫口, . . . .月 . .月 .网一 . .白 .,月. . () 6 八x x ' 2 i= . 1 a+ 2j j一a+ l u 4左2 () f,i u, a:t+一, p -; t i; ' t a- at可得到如下的用位移表示的波动方程诊断模型的差分格式:产i.=( *j, , ,