高中数学《函数的奇偶性》

1、1.已知函数已知函数f(x)=x2,求求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及及f(-x) ,并画出它的图象。并画出它的图象。解解:f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-x)=(-x)2=x2f(-2)=f(2)f(-1)=f(1)f(-x)=f(x)-xxf(-x)f(x)xyo( x,y)(-x,y)1. 1.偶函数的概念偶函数的概念: : 偶函数定义偶函数定义: : 如果对于如果对于f(x)定义域内的定义域内的任意一个任意一个x,都有都有f(-x)=f(x), 那么函数那么函数f(x)就叫偶函数就叫偶函数.2.已知已知f(x)=x

2、3,画出它的图象画出它的图象,并求出并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及及f(-x)解解:f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-x)=(-x)3=-x3f(-2)= - f(2)f(-1)= - f(1)f(-x)= - f(x)-xf(-x)xf(x)xyo(-x,-y)(x,y)1. 1.奇函数的概念奇函数的概念: :奇函数定义奇函数定义: : 如果对于如果对于f(x)定义域内的定义域内的任意一个任意一个x,都有都有f(-x)=-f(x) ,那么函数那么函数f(x)就叫奇函数就叫奇函数.奇函数、偶函数定义的说明奇函数、偶

3、函数定义的说明:(1).函数具有奇偶性的前提：函数具有奇偶性的前提：定义域关于原点对称定义域关于原点对称 。 a ,b-b,-axo（2）.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：奇、偶函数定义的逆命题也成立，即： 若若f(x)为奇函数为奇函数, 则则f(-x)=f(x)成立。成立。 若若f(x)为偶函数为偶函数, 则则f(-x)= f(x) 成立。成立。（3） 如果一个函数如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数是奇函数或偶函数,那么我们就说函数那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。具有奇偶性。练习练习1. 1. 说出下列函数的奇偶性说出下列函数的奇偶性: :偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数

4、奇函数f(x)=x4 _ f(x)= x -1 _ f(x)=x _奇函数奇函数f(x)=x -2 _偶函数偶函数 f(x)=x5 _f(x)=x -3 _ 说明：对于形如说明：对于形如 f(x)=x n 的函数，的函数， 若若n为偶数，则它为偶函数。为偶数，则它为偶函数。 若若n为奇数，则它为奇函数。为奇数，则它为奇函数。例例1. 1. 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2解解:f(-x)=(-x)3+2(-x)= -x3-2x= -(x3+2x)即即 f(-x)= - f(x)f(x)为奇函数为奇函数 f(-x)=2(-x)

5、4+3(-x)2=2x4+3x2f(x)为偶函数为偶函数定义域为定义域为R解解:定义域为定义域为R即即 f(-x)= f(x) 先求定义域，看是否关于原点对称先求定义域，看是否关于原点对称; 再判断再判断f(x)= -f(x)或或f(-x)=f(x) 是否是否恒成立。恒成立。用定义判断函数奇偶性的步骤用定义判断函数奇偶性的步骤: :练习练习2. 2. 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性(2) f(x)= - x2 +1f(x)为奇函数为奇函数 f(-x)= -(-x)2+1 = - x2+1f(x)为偶函数为偶函数(1) f(x)=x- (1) f(x)=x- 1x解：定义域为解：定义域

6、为x|x0解：定义域为解：定义域为Rf(-x)=(-x) -1-x= -x+1 x即即 f(-x)= - f(x)即即 f(-x)= f(x)(3). f(x)=5 (4) f(x)=0(3). f(x)=5 (4) f(x)=0解解: (3) f(x)的定义域为的定义域为R f(-x)=f(x)=5 f(x)为偶函数为偶函数解解: (4)定义域为定义域为R f(-x)=f(x)=0 又又 f(-x)=-f(x)=0f(x)为既奇又偶函数为既奇又偶函数yox5oyx说明说明: 函数函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。 (5). f(x

7、)=x+1 (6). f(x)=x(5). f(x)=x+1 (6). f(x)=x2 2 x x- 1 , 3- 1 , 3解解: (5) f(-x)= -x+1 - f(x)= -x-1 f(-x)f(x) 且且f(-x) f(x) f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数解解: （6）定义域不关于原点定义域不关于原点 对对 称称 f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数yoxox-13y 奇函数奇函数 说明：说明：根据奇偶性根据奇偶性, 偶函数偶函数 函数可划分为函数可划分为四类四类: 既奇又偶函数既奇又偶函数 非奇非偶函数非奇非偶函数xoy-aa(a,f(a)(-a,f(-a)偶函数的图象关于

8、偶函数的图象关于y轴对称，反过来，轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于如果一个函数的图象关于y轴对称，轴对称，那么这个函数是偶函数那么这个函数是偶函数.xoy(a,f(a)(-a,f(-a)-aa奇函数的图象关于原点对称，反过来，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数那么这个函数是奇函数.oyx例3 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。例例2.根据下列函数图象根据下列函数图象,判断函数奇偶性判断函数奇偶性.2( )2f xx yxyx2( )2f xxxyx(

9、 )21f xxyx( )2f xxy,1x 用定义法判断函数奇偶性解题步骤用定义法判断函数奇偶性解题步骤:(1)先确定函数定义域先确定函数定义域,并判断并判断定义域是否关于原点对称定义域是否关于原点对称;(2)求求f(-x)，找，找 f(x)与与f(-x)的关系的关系;若若f(-x)=f(x),则则f(x)是偶函数是偶函数;若若f(-x)= - f(x),则则f(x)是奇函数是奇函数.(3)作出结论作出结论.f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函是偶函数或奇函数或非奇非偶函数或即是奇函数又是偶函数。数或即是奇函数又是偶函数。2. 2.奇偶函数图象的性质奇偶函数图象的性质: : 奇函数的图象关于

10、原点对称奇函数的图象关于原点对称. 反过来反过来,如果一个函数的图象关于原点对称如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数那么这个函数为奇函数. 偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称.反过来反过来,如果一个函数的图象关于如果一个函数的图象关于y轴对称轴对称,那么这个函数为偶函数那么这个函数为偶函数.注：奇、偶函数图象的性质可用于：注：奇、偶函数图象的性质可用于： .简化函数图象的画法。简化函数图象的画法。 .判断函数的奇偶性。判断函数的奇偶性。1奇偶性定义奇偶性定义:对于函数对于函数f(x),在它的定义域内，在它的定义域内， 若有若有f(-x)=-f(x), 则则f(x)叫做奇函数；叫做奇函数； 若有若有f(-x)=f(x), 则则f(x)叫做偶函数。叫做偶函数。 2图