高中数学函数的单调性15分钟片段教学

1、 1.3.1 函数的单调性学习目标：1、通过观察一些函数图像的升降，形成增（减）函数的直观认识；2、通过具体函数值的大小比较，认识 函数值随自变量的增大而增大（减小）的规律，得出增（减）函数的定义；3、掌握用定义证明函数单调性的基本方法和步骤。问题1：观察下列函数图像，说说他们反映了相应函数的哪些变化规律？例例1.如图如图6是定义在闭区间是定义在闭区间-5，5上的函数上的函数y=f(x)的的图象，根据图象说出图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一的单调区间，以及在每一单调区间上，函数单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数是增函数还是减函数. 5 3 1 -2 -5 x O

2、 y解：函数解：函数f(x)的单调区间有的单调区间有-5,-2)，-2,1)，1,3)，3,5,其中其中f(x)在区间在区间-5,-2)，1,3)上是减函数，上是减函数，在区间在区间-2,1)，3,5上是增函数上是增函数.问题:2：如何利用函数解析式f(x)= 描 述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小” “随着x的增大，相应的f(x)随着增大”？2x1增函数增函数 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对于定，如果对于定义域义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x ,x ，当当x x 时，都有时，都有f(x )f(a),则f(x)

3、在（a,b)上单调递增,对吗？为什么？ （举例或画图像说明）21xx 和21xx、bxxa211.增函数与减函数增函数与减函数定义定义：对于函数：对于函数y=f(x)的定义域的定义域I内某个区间内某个区间D上的上的任意两个自变量的值任意两个自变量的值x1,x2，若当若当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2),则说在这个区间上则说在这个区间上是是增函数增函数；若当若当x1f(x2),则说在这个区间上则说在这个区间上是是减函数减函数.abOxyy = f (x)x2x1f(x1)f(x2)y = f (x)x2x1f(x1)f(x2)Oxyab 单调性与单调区间单调性与单调区间 在单调区间上

4、，增函数的图象是上升的，减函数在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的的图象是下降的. 若函数若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则在某个区间是增函数或减函数，则就说函数就说函数y=f(x)在这一区间具有在这一区间具有(严格的严格的)单调性单调性,这一这一区间叫做函数区间叫做函数y=f(x)的单调区间的单调区间.此时也说函数此时也说函数y=f(x)是这一区间上的单调函数是这一区间上的单调函数. 例例2.物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 告诉我告诉我们，对于一定量的气体，当其体积们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证

5、明之。将增大。试用函数的单调性证明之。)( 为正常数kVkp 证明：根据单调性的定义，设证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域是定义域(0，+)上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且V1V2，则，则21121212()()VVkkp Vp VkVVVV由由V1，V2 (0，+)且且V10, V2- V1 0又又k0,于是于是0)()(21VpVp21 ()()p Vp V 所以，函数所以，函数 是减函数是减函数.也也就是说，当体积就是说，当体积V减少时，压强减少时，压强p将增大将增大.),0(,VVkp取值定号变形作差结论结论例例3 证明函数证明函数 在在R上是增函数上是增函数.23)

6、( xxf证明：设证明：设 是是R上的任意两个实数上的任意两个实数,且且 则则:21,xx21xx 12( )()f xf x)( 321xx 21xx 021xx0)()(21xfxf)()(21xfxf23)(xxf在在R上是增函数上是增函数. 12(32)(32)xx强化训练（强化训练（3分钟）分钟）求证求证:函数函数f (x) = x3 + 1在在(, + )上是减函数上是减函数.证明证明: 设设x1 ,x2R 且且 x1 x243)21)(2222121xxxxx043)21(22221xxx而 x1 x2 x1 x2 f (x2) f(x) = x3 + 1在在(, + )上是减函数上是减函数. 课堂小结：课堂小结： 讨论函数的单调性必须在定义域内进行讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的即函数的单调区间是其定义域的子集单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域必须先确定函数的定义域;根据定义证明函数单调性的一般步骤是：根据定义证明函数单调性的一般步骤是： 设设 是给定区间内的任意两个值，且是给定区间内的任意两个值，且21,xx21xx )()(21xfxf作差作差 并将此差式变形并将此差式变形(要注意变形的程度要注意变形的程度)判断判断 的正负（要注意说理的充分性）的正负（要注意说理的充分性）)()(