线性代数考试题与答案3

1、2009 2010 学年第一学期期末考试线性代数 试卷答卷说明 ： 1、本试卷共 6 页，五个大题，满分 100 分， 120 分钟完卷。号学题号一二三四五总分分数2 、闭卷考试。评阅人 : 总分人： 得分、单项选择题。(每小题 3 分 ,共 24 分 )名姓】1.行列式(A)0(B)(C) 2(D) 3】2.设 A为 3阶方阵，2， A 3 ，则(A) 24(B)24(C) 6(D)】4.设A为3阶方阵 , A a2(A) a( B) a2】5.设矩阵 A与 B等价，则有(A) R(A) R(B)(C) R(A) R(B)】3.已知 A,B,为 n阶方阵，则下列式子一定正确的是2 2 2(A

2、) AB BA (B) (A B) 2 A2 2AB B2(C) AB BA (D) (A B)(A B) A2 B20 ，则 A34(C) a3(D) a4(B) R(A) R(B)(D) 不能确定 R(A)和 R(B)的大小】 6.设n元齐次线性方程组 Ax 0的系数矩阵 A的秩为 r，则 Ax 0有非零解 的充分必要条件是(A) r n (B) r n (C) r n (D) r n】7. 向量组 a1,a2,am(m 2) 线性相关的充分必要条件是(A) a1,a2,am 中至少有一个零向量(B) a1,a2,am 中至少有两个向量成比例(C) a1,a2,am 中每个向量都能由其余

3、m 1个向量线性表示(D) a1,a2,am 中至少有一个向量可由其余 m 1个向量线性表示】8. n阶方阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是(A) R(A) n(B) A有 n个互不相同的特征值(C) A有n个线性无关的特征向量(D) A一定是对称阵(每小题 3 分,共 15 分 )1.已知 3阶行列式 D 的第 2行元素分别为 1,2, 1 ，它们的余子式分别为 1, 1,2，则D。0 1462. 设矩阵方程 X ，则 X1 02 13. 设 x 是非齐次线性方程组 Ax b的一个特解， 1, 2为对应齐次线性方程组 Ax 0的基础解系， 则非齐次线性方程组 Ax b 的通解为 .4.设m

4、 n矩阵 A的秩 R(A) r ，则n元齐次线性方程组 Ax 0的解集 S的最大无 关组 S0 的秩 Rs0。5. 设 是方阵 A的特征值，则是 A2的特征值三、计算题 (每小题 8 分,共 40 分).1211 计算行列式2 1 01 3 453122. 已知矩阵 A1022 1 3 ，求其逆矩阵 A4183. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知 1, 2, 3是它的三个解向量且31 ， 2 3452 ，求该方程组的通解。34214. 求矩阵 A12的特征值和特征向量。5. 用配方法化二次型222f x1 2x2 5x3 2x1x2 2x1x3 6x2 x3 成标准型。1. 解下

5、列非齐次线性方程组2x1x2x3x414x12x22x3x4 22x1x2x3x412. 已知向量组123a1 2 ,a23 ,a313116求 （1） 向量组的秩； （2） 向量组的一个最大无关组， 并把不属于最大无关组的向量用 该最大无关组线性表示。得分五、证明题（ 5 分）0 ，证明 A 及 A 2E 都可逆，并证明：设 n 阶方阵 A满足 A2 A 2E求A 1及(A 2E)一、单项选择题。 （每小题 3 分 ,共 24 分1 A2 B 3 C 4 B 5 C 6二、填空题。 （每小题 3 分,共 15 分 ）1. 4212. 3. x c1 1 c2 24 6 1 1 2 2(c1,

6、c2 R)4. n r5.1025102512130232解：=210101411 13420327102501411=00520 001040102501411=00520 0000=0 (2 分）1022. 已知矩阵 A213，求其逆矩阵A1。418三、计算题 （每小题 8 分 ,共 40 分 ）.1.2 分）2 分）2 分）102100解： (A,E) 2130104180012 分）100 r 0 1 011 2 24014 分）0 0 1 6 1 111 2 2则A 1 4 0 16 1 12 分）3. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3 ，已知 1, 2, 3 是它的三个解向

7、量且231 ， 2 34512 ，求该方程组的通解。34因此齐3 分）解：由已知可得：对应的齐次线性方程组 Ax 0 的解集 S的秩为 4 3 1， 次线性方程组 Ax 0 的任意非零解即为它的一个基础解系。 令 2 1 （ 2 3 ）则 A A2 1 （ 2 3 ） 2A 1 A 2 A 3 2b b b 03 分）所以（3,4,5,6）T 0 为齐次线性方程组 Ax 0 的一个基础解系。 由此可得非齐次线性方程组Axb 的通解为：3243xkk(kR) （ 2 分）5465214. 求矩阵 A的特征值和特征向量。12解： A 的特征多项式为：AE( 1)( 3)所以 A的特征值为 1 1,

8、 2 3 。4 分）1）当 1 1 时，对应的特征向量满足1 1 x1011 11 xx1200 ，解得： x1 x21则 1 1 对应的特征向量可取 p1（ 2 分）11 1 x101 ，解得：x1 x21 1 x201则 1 3 对应的特征向量可取p212）当 1 3 时，对应的特征向量满足2 分）2225. 用配方法化二次型 f x12 2x22 5x3 2 2x1x2 2x1x3 6x2x3 成标准型。解： f2x1x22x1x32x225x326x2x32 x1(x1x2 x3)222x2 4x3 4x2x3x222x3)2 (x2 2x3)2 4 分）y1 x1 x2 x322令

9、y2 x2 2x3 则把 f 化成标准型得： f y12 y22 ( 4 分) y3 x3四综合题（每小题 8 分 ,共 16 分 ）1. 解下列非齐次线性方程组2x1 x2x3x414x1 2x22x3x422x1 x2x3x41解：对增广矩阵B 作初等行变换21111r2B 4 2212021111011010010 （ 5 分）0000由上式可写出原方程组的通解为：x1100x2211c1c2(c1,c2 R)x3010x40002. 已知向量组123a1 2 ,a23,a3131163 分）2 分）故向量组的最大无关组有 2 个向量， 知 a1,a2求 （1） 向量组的秩； （2） 向量组的一个最大无关组， 并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。1231 r07解： A 231015 （ 2 分）3116000则 RA 2 ，为向量组的一个最大无关组。2 分）且 a3 7a1 5a2 ( 2 分)五、证明题( 5 分)证明：设 n阶方阵 A满足 A2 A 2E 0，证明 A及 A 2E都可逆，并求 A1及 (A 2E) 1 。证明：1(1 )