系统动力学第一章答案

1、1.解：根据势能相等原理：1 2 1 2 1 2 1 2 kxk1x1k2x2k3x32 2 2 21 则系统的等效刚度为 k k1k2 k342 解：分别对圆盘左右两边的轴求刚度44d4Gd 4Gk1，k2 ，32l132l 2由于两轴并联，所以系统的等效刚度：k k1 k2d 4G 1 132 l1 l 22Id4G l1 l2。232Il 1l 23 解：有材料力学得，中间点的静挠度为：所以固有角频率为：jmgl 31 48E3I ，于是只需要求出2 Ml 3系统的等效质量即可。有材料力学得：设中间点的挠度为y中 ，令物体 m 在振动过程中的最大速度为：y物 max . 。于是梁上各点的

2、最大运动速度为：yxxymaxy物 max.y物 max. 。y中2l中间点的最大动能为：l 1 2Tyy maxdx1ly物 maxy 物 max24l2系统的最大动能为：1T 物 Tym22ly 物 max y 物 max242 12l m y2物 max系统的等效质量为：M l m12将该式子带入到 f48EI12l m l3G4.解：在空气中： T1 2n kgG在液体中有系统的振动方程： x 2 Ax kx 0（ 2）gT21 2 nc22mkg Ag结合 （1）（3）可得：T222 2 Ag 2T1将上式变形后得：Ag 22T1GAg T1T 22GT 22 T122 G T 22

3、 T12gAT 1T 25解me 2 sin质量 m 产生的离心惯性力是 me 2 。它在 L 法线方向的分量是摆线与 O 之间的夹角）由几何关系可以得到：Re（ 是摆线与水平线之间的夹角） sin sinRR当摆角很小时有： sin sin me 2 sinm 2R质量 m 的切向加速度：eel R l ，（ 是摆线与质量到 O 连线的夹角）二力对 O 点取力矩的合力应等于零。整理后得到 ml 2 m 2R l m R l l （ 1）无阻尼受迫振动方程为： I k T （ 2）将（ 1）（2）对比后得到： I ml 2，k m 2Rl系统的固有角频率为：n2 k m 2Rl R 2 n R

4、 f RIml 2l l 2 lB 点，根据简6 解：杆与水平面的夹角为 ，则利用等效质量和等效刚度先把原系统简化到 化后动能相等。2121m2a44me22T 1 m1 a12mea m1 m2a4简化前后势能相等。22k2a4a4固有频率：1 a2 k1 a3 k 22 a1 m1 a 4 m27 解：在临界位置系统的自由振动方程的解为： xB1 B2t e nt 其中B1 x0, B2 x 0nx0 ，x0x 0 nx0 t e ntx n x0x 0 nx0t e nt x 0 nx0nt到达平衡位置时 x 0， tm118.80 10 s 1 带入相关数据得x0 令 n x 0 nx

5、0U12k1a2212k2 a3 212kea42kea2k1a3t 0.5s8 解：在临界点状态时系统的自由度振动方程解为：x B1 B 2t e nt其中 B1 x0, B2 x 0nx0nn0 nx0 t e nt1）0 nx 00 nx0到达平衡位置时 x 0，由（ 1）可得 tx0x 0 nx0令n118.80 10 s 1 带入相关数据得t 0.5s到达最远位置时 x 0，由（ 2）可得 t nx00.6s1x 0 nx0带入到（ 1）可得 x max 0.00124 cm9 解：系统的振动方程为 m x c x kx F 0 sin t其解为 x e nt A1cos dt A2

6、 sin dt X sin t 式中 d 1- 2 nF0mn 22 4 2 n2 22 n 2arctan 2 2 arctan 2 ，n 21F0km 1 2 2 2,1常数 A1，A2 由初始条件 t 0,x0 0, x0 0确定，利用（ 1）可得XA X sin , An sincos 带入（ 1）得初始响应为：dx Xet sin cos dt 1n sincos sin dt X sin td（ 2）由已知条件可知，1，F 0 1n,dn 。 X, ,1 带入（ 2）近k 2 2似得到 x Fk 21 e nt 1 cos nt 。式子中固有频率为 nkGg2921090609.8 14s 1e nt1 ， e nt 100 ， t 1 In1004.605 1.645 s100 n 0.2 1410 解 :有图示可得 F（ t）的方程式0t2 F 02 ,F t0 t232 F 0, F t2由傅里叶级数求各项系数a0,an,bn 分别为a00,an2T0 F t cosn t2 02 2 F 0 t cos n tdt 2t cosn tdt 3t 2 cosnbn2 0 F t sinn t2 02 2 F0 tsinn tdt232 F 0T 0 2tsin n tdt 322t sin n ta0将 a0,an,bn 带入 F