第八章第五节直线圆的位置关系

1、第八章 第五节 直线、圆的位置关系课下练兵场命题报告难度及题号知识点容易题（题号 ）中等题（题号）稍难题（题号）直线与圆的位置关系1、45、711圆的切线、弦长问题2、38、912圆与圆的位置关系6一、选择题1“k1”是“直线 xyk0 与圆 x2 y2 1相交”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C充分必要条件D 即不充分也不必要条件解析： 当 k1 时，圆心到直线的距离 d |k| 2<1，此时直线与圆相交，所以充分22性成立反之，当直线与圆相交时， d |k2|< 1，|k|< 2，不一定 k 1，所以必要性不 成立答案： A2直线 x 3y 10与圆 x2

2、y22x20相交于 A，B两点，则线段 AB 的长度为 （ ）A 1B2C. 2D2 2解析： 本题解题思路是先利用圆的方程确定其圆心与半径，再由平面几何知识确定相 应的弦长注意到圆 x2y22x20，即（x1）2y23 的圆心坐标是 （1,0） ，半径是 3， 因此|AB|2（ 3）2（12 1）22 2.答案： D3 （2010 ·安徽师大附中模拟 ）直线 l：yk（x2）2与圆 C： x2 y2 2x 2y 0 相切，则 直线 l 的一个方向向量 v （ ）1A （2， 2）B（1,1）C（3,2）D（1，2）解析： 由圆知圆心 （1,1）， r 2. |1k|2 2，k1，可

3、知 A 符合题意1k2答案： A4如果直线 axby4 与圆 x2y24 有两个不同的交点，则点 P（a， b）与圆的位置关系 是 （ ）AP 在圆外BP 在圆上CP 在圆内D 不能确定解析： 根据直线与圆相交得圆心到直线的距离小于半径，24 2< 2，即 a2b2>4，a b所以点 P（a，b）在圆 x2y24 的外部答案： A5直线 l 与圆 x2y22x4ya0（a<3）相交于 A、B 两点，若弦 AB 的中点为 （2,3）， 则直线 l 的方程为 （ ） A xy50Bx y10C xy50Dx y30解析： 结合圆的几何性质处理会更简捷 由圆的一般方程可得圆心 O（

4、1,2），由圆的性 质易知 O（1,2），C（2,3）的连线与弦 AB 垂直，故有 kAB×kOC 1? kAB 1，故直线 AB的方程为： y 3 x 2 整理得： xy50.答案： A6已知圆 x y 9 与圆 x y 4x4y10 关于直线 l 对称， 则直线 l 的方程为 （ ） A 4x 4y 10Bx y 0C xy0Dxy20解析： 由于两圆的圆心分别为 （0,0）与（2， 2），则可知两圆圆心所在直线的中垂线方程 为 y1x1? y x 2，即直线 l 的方程为 xy20.答案： D二、填空题7.若射线 y=x+b（x 0）与圆 x2+y2=1 有公共点，则实数 b的

5、取值范围 为.解析：数形结合可以得到答案： - 2,18过点 M （1,2）的直线 l 将圆（x2）2y29分成两段弧，其中的劣弧最短时，直线l 的方程为 解析： 设圆心为 N ，点 N 的坐标为 （2,0） ，由圆的性质得直线 l 与 MN 垂直时，形成的 劣弧最短，由点斜式得直线 l 的方程为 x 2y 3 0.答案： x 2y 3 09从圆 （x1）2（y1）21 外一点 P（2,3）向这个圆引切线，则切线长为 解析： 记圆心为点 C，圆心 C 为（1,1），则 |PC|25，切线长 |PC|21 2.答案： 2三、解答题10已知：过点 A（0,1）且斜率为 k的直线 l与圆 C：（x2

6、）2（y3）21相交于 M、N 两点 （1） 求实数 k 的取值范围；（2） 求证： AM ·AN 为定值 解：（1）法一：直线 l过点 A（0,1）且斜率为 k，直线 l 的方程为 y kx1. 将其代入圆 C： （x2）2（y3）21， 得（1k2）x24（1k）x70， 由题意： 4（1k）24×（1k2）×7>0，法二 ：同法一得直线方程为 y kx 1，即 kx y 1 0.解得 43 7<k<43 7.（2）证明：设过 A点的圆的切线为 AT，T 为切点则|AT|2 |AM | ·|AN|， |AT|2（02）2（13）21

7、7， AM ·AN 7. 根据向量的运算：AM ·AN |AM | ·|AN | ·cos0°7为定值11已知 m R ，直线 l： mx （ m2 1）y 4m 和圆 C：x2y28x 4y160. （1）求直线 l 斜率的取值范围；1（2）直线 l能否将圆 C 分割成弧长的比值为 12的两段圆弧？为什么？解： （1）直线 l 的方程可化为 y 2m x 42m ，直线 l 的斜率 k 2m ，m 1 m 1 m 1 因为 |m| 21（m21），所以|k|m|2m|121，当且仅当 |m|1 时等号成立11所以斜率 k的取值范围是 12，

8、12(2)不能1 由(1)知 l的方程为 yk(x4)，其中 |k|2.圆 C 的圆心为 C(4， 2)，半径 r 2.2 圆心 C 到直线 l 的距离 d 2 2.1k21 4 r 由 |k|21，得 d 4 >1，即 d>2r.从而，若 l与圆 C 相交，则圆 C截直线 l所得的弦所对的圆心角小于2.3.1所以 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 21的两段弧12已知 M：x2(y2)21，Q是 x轴上的动点， QA、QB分别切 (1)如果 |AB| 4 3 2，求直线 MQ 的方程；3M于 A、B 两点(2) 求证直线 AB 恒过一个定点；(3) 求动弦 AB 的中点 P

9、的轨迹方程解： (1)由 P是AB 的中点， |AB|432，31.3.可得 |MP|MA|2(|A2B|)2由射影定理，得 |MB |2 |MP | ·|MQ |，得 |MQ | 3，在 Rt MOQ 中，|OQ| |MQ |2 |MO |2 32 22 5.故 Q 点的坐标为 ( 5，0)或 ( 5， 0)所以直线 MQ 的方程是： 2x 5y2 50或 2x 5y2 50.(2)证明：设 Q(a,0)，由题意知 M，A，Q，B 四点共圆，直径为 MQ ， 上任一点，设 R(x，y)是该圆由 AR ·QR 0 得， x（x a）（y2）y0.即 x2y2ax 2y0.式与 x2(y2)21联立，消去 x2 y2项得两圆公共弦 AB 的方程为 ax 2y 3，无论 a取何值，直线 AB恒过点 (0， 32)（3）连结 MB，MQ ，设 P（x，y），Q（a,0），点M、P、Q 在一条直线上，当 a 0时，得2