第二节平面向量的基本定理及坐标表示

1、平面向量的基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任意向 量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2.其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2平面向量的坐标运算（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设 a（x1，y1），b（x2， y2），则ab（x1x2，y1y2），ab（x1x2，y1y2），a（1x，1y）， |a| x12y12.（2）向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A（x1，y1），B（x2， y2），则 AB （x2x1，y2 y1）

2、， |AB | x2 x1 2 y2y1 2.3平面向量共线的坐标表示设 a（x1，y1），b（x2， y2），其中 b0.ab? x1y2 x2y10.1若a、b为非零向量，当 ab时，a，b的夹角为 0°或 180°，求解时容易 忽视其中一种情形而导致出错；2要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意 义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息3若 a （x1，y1），b（x2，y2），则 ab 的充要条件不能表示成 xx12yy12，因22为 x2，y2 有可能等于 0，应表示为 x1y2x2y1 0. 试一试 1若向量 BA（2,3），CA（4

3、,7），则 BC（）A（2， 4）B（2,4）C（6,10）D（6， 10）答案：A2（2013 ·石家庄模拟 ）已知向量 a（1,2），b（x,1），ua2b，v2ab， 且 uv，则实数 x 的值是1 解析： u（12x,4），v（2x,3），uv，84x36x，x 2.1答案：12 用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用 练一练 设 e1、e2 是平面内一组基向量，且 a e12e2，b e1 e2，则向量 e1 e2 可以表示为另一组基向量 a，b 的线性组合，即 e1 e2ab.解析： 由题意，设 e1e2ma nb.因为 ae12e2，b e1 e2， 所以 e1e2

4、m（e12e2） n（e1e2）（mn）e1（2mn）·e2.mn1， 由平面向量基本定理，得2mn1，2m3， 所以 3n 13. 答案： 23 13考点一 平面向量的坐标运算 3a ，1.（2014昆·明一中摸底 ）已知点 M（5，6）和向量 a（1，2），若 MN则点 N 的坐标为 （）C（6,2）解析： 选 A MN D（2,0）3a 3（1，2）（ 3,6），设 N（x，y），则 MN （xA(2,0)B(3,6)x5 3，x 2， 5， y（6）（ 3,6），所以即 选 A.y66，y 0，2（2013 ·北京高考 ）向量 a，b，c在正方形网格中的位

5、置如图所示若 cab（，R），则 .解析：设 i，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则 a ij， b6i2j，ci3j，所以 i3j（ij）（6i2j），根据平面向量基本定理得 2， 21，所以 4. 2答案：43已知 A（2,4），B（3，1），C（3，4）设 AB a， BC b， CA c. （1）求 3a b 3c；（2）求满足 ambnc 的实数 m，n.解：由已知得 a（5， 5），b（6，3），c（1,8）（1）3ab3c3（5，5）（6，3）3（1,8）（1563， 15324）（6， 42）（2）mbnc（6mn， 3m 8n），6mn5，m 1， 解得 3m

6、8n 5，n1.类题通法1向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使 几何问题转化为数量运算2两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同此时注意方程(组 )思想的考点二平面向量基本定理及其应用应用1典例 如图，在梯形 ABCD中，ADBC，且 AD3BC，E，F 分别为线段 AD 与 BC 的中点设 BA a，BCb，试 用 a， b 为基底表示向量 EF ， DF ，CD.解 EF EA ABBF 16ba12b13ba，DF DE EF 16b 31ba 16ba，CD CF FD 1 1 2 2b 6ba a 3b.类题通法用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择

7、一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通 过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要 熟练运用平面几何的一些性质定理针对训练 1(2014 ·济南调研 )如图，在ABC中， AN 3 NC ，P是 BN上的一点，若AP m AB 121 AC ，则实数 m的值为解析： 因为 AP AB BP AB kBN AB k(AN AB）ABk 41 ACAB（1k） AB k4AC ，2且 APmAB 11AC，所以 1k2 km，411，83 解得 k 11，m 11.答案： 131考点三平面向量共线的坐标表示典例 平面内给定三个向

8、量 a（3,2），b（1,2），c（4,1）（1）求满足 ambnc 的实数 m，n；（2）若 （akc）（2ba），求实数 k；解 （1）由题意得 （3,2）m（1,2）n（4,1），5，m 4n3，m9，所以 得 2mn2，n 89.（2）akc（34k,2k），2ba（5,2），由题意得 2×（34k）（ 5）×（2k）0.k16.13.在本例条件下，若 d 满足（dc）（ab）， 且|dc| 5，求 d.解：设 d（x，y），dc（x4，y1），ab（2,4），4 x 4 2 y1 0， 由题意得 2 2x4 2 y1 25，得 x 3， 或 x 5， y 1y3.d （3， 1）或（5,3）类题通法 1向量共线的两种表示形式设 a（x1，y1），b（x2，y2），a b? ab（b0）； a b? x1y2x2y10， 至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用 .2两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线 （平行 ），可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共 线的充要条件可以列出方程 （组 ），求出未知数的值针对训练已知 A（1,1），B（3， 1），C（a，b）（1）若 A，B，C三点共线，求 a，b 的关系式；（2）若 AC2AB