第三章空间向量与立体几何导学案(上课用)

1、§3.1.1空间向量及其加减运算学习目标1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算 律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立 体几何中的问题（1）向量 AB 与CD 是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在一条直线上；（2）单位向量都相等；（3）任一向量与它的相反向量不相等；（ 4 ）四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是AB=DC ；（5）模为 0 是一个向量方向不确定的充要条件；（ 6）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.新知 ：空间向量的加法和减法运算：变为两OB ，AB ，学习过程一、课前准备（预习教材 P8

2、4 P86，找出疑惑之处）复习 1：平面向量基本概念： 具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度） ；叫零向 量，记着；叫单位向量 . 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相 等向量 . 向量的表示方法有 和.复习 2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和 法 则。2. 实数与向量的积：实数 与向量 a 的积是一个量， 记作， 其长度和方向 规定如下：（1）|a|.（2）当> 0时， a与 a； 当 < 0 时， a 与 a； 当 0 时， a .3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 加法交换律： a b b a 加法结合律： （ab）

3、c a（ b c） 数乘分配律： （a b） ab【反思感悟】 解此类题主要是透彻理解概念， 对向量、零向量、单位向量、平行向量（共线向量 ）、共面向量的概念特征及相互关系要把握好试试 ： 1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求a b,a b.AC AB ,二、新课导学学习探究探究任务一 ： 空间向量的相关概念 问题 ： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单 位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？2. 点 C 在线段 AB 上，且 AC 5 ,则 CB 2BC AB .反思 ：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？加法交换律： a b ba；加法结合律： （ a b） ca（ bc）；推广

4、：试一试：判断下列语句是否正确，若不正确，请简述理由典型例题例1 已知平行六面体 ABCD A'B'C'D'（如图），化 简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：小结 ：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或 三角形法则， 遇到减法既可转化成加法， 也可按减法 法则进行运算，加法和减法可以转化 .动手试试练 1：在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，如图所示，下列各 式中运算的结果为向量 BD1 的是（ ） （ A1D1A1A） AB； （ BC BB1） D1C1； （ AD AB） 2DD1； （ B1D1A1A） DD1.A B C D 变式 ：在上

5、图中，用 AB,AD' ' ' ,AA' 表示 A'C , BD ' 和DB'练 2：在如图 所示的 平行 六面体中 ，求 证： AC AB' AD' 2AC'（2）平行六面AB AD AA'体的对角线向量AC = AB MB BO OM;小结 ：（1）空间向量加法的运算要注意： 首尾相接的 若干向量之和， 等于由起始向量的起点指向末尾向量 的终点的向量， 求空间若干向量之和时， 可通过平移 使它们转化为首尾相接的向量例 2 化简下列各式： AB BC CA; AB AC BD CD; OA OD DC .

6、三、总结提升学习小结1在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特 殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、 共终点等2通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可 以转化为加法3注意向量的三角形法则和平行四边形法则的 要点对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量 有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相 连对于向量减法要求两向量有共同的起点 4a b表示的是由减数 b的终点指向被减数 a 的终 点的一条有向线段知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的 平移， 而空间向量研究的是空间的平移， 它们的共同 点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的 长度”，空间的平移包含平面的平

7、移 .变式 ：化简下列各式： OA OC BO CO ; AB AD DC ; NQ QP MN MP .学习评价自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测 （时量： 5分钟 满分： 10分）计分：1. 下列说法中正确的是（ ）A. 若 a= b，则 a， b的长度相同，方向 相反或相同 ;B. 若 a 与 b 是相反向量，则 a = b ;C. 空间向量的减法满足结合律 ;D. 在四边形 ABCD 中，一定有 AB AD AC .2. 长 方 体 ABCD A'B'C 'D ' 中 ， 化 简 AA 

8、9; A'B' A'D' =论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立 体几何中的问题学习过程 一、课前准备 （预习教材 P86 P87，找出疑惑之处） 复习 1：化简： 5（ 3a 2b）+4（ 2b 3a）；3. 已知向量 a ，b 是两个非零向量， a0,b0 是与 a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）A. a0 b0 6 a 3b c a b c .C. a0 1D. a0 = b0中，B. a0 b0 或 a0 b0若 AC AB AD , 则四边形是4.在四边形 ABCD （）A. 矩形 B. 菱形5. 下列说法正确的是（

9、A. 零向量没有方向B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量6. 如图所示 a，b 是两个空间向量，则 AC 与AC是向量， AB与 BA 向量C. 正方形 D. 平行四边形 ）复习 2：在平面上，什么叫做两个向量平行？ 在平面上有两个向量 a,b， 若 b是非零向量， 则 a与 b 平行的充要条件是6.如图所示，已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1，M 为 A1C 1与 B1D1的交点，化简下列向量表 达式1）、新课导学学习探究探究任务一 ：两个空间向量的加、 减法与两个平面向 量的加、减法实质是一样的 .我们知道

10、平面向量还有数乘运算 . 类似地 , 同样 可以定义空间向量的数乘运算 , 其运算律是否也与平 面向量完全相同呢 ?新知 ：数乘空间向量的数乘运算与平面向量一样 ,实数 与空间向量 a 的乘积 a仍然是一个向量 .当0时, a与向量 a 的方向相同 ;3）4）AA1 + A1B1 ；11A1B1+ A1D1 ；2211AA1 2+ A1B1+ A1D1 ；22AB+ BC + CC1 +C1A1+ A1A;当当0时, a与向量 a 的方向相反 ;0 时 , a 是零向量 .注：空间向量的数乘运算满足分配律及结合律即： (a b) a b( )a a a( a) ( )a§ 3.1.2

11、 空间向量的数乘运算（一）探究任务二 ： 空间向量的共线问题 ：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定 它们的位置关系？新知 ：空间向量的共线：1. 如果表示空间向量的所在的直线互相或，则这些 向量叫共线向量，也叫平行向量 .2. 空间向量共线：定理： 对空间任意两个向量 a,b（ b 0 ）， a/b的充 要条件是存在唯一实数 ，使得 推论： 如图， l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量的直线， 对空间的任意一点 O ，点 P 在直 线 l 上的充要条件是【反思感悟】 化简向量表达式主要是利用平行四边形 法则或三角形法则， 遇到减法时可转化为加法， 也可 按减法进行运算 本题第一问是

12、开放式的表达式， 形 式不唯一，有多种解法变式 1：已知长方体 ABCD A'B'C'D'，M 是对角线AC' 中点，化简下列表达式：' AA' CB ;典型例题 AB' B'C' C' D例 1 已知 A、B、 点，若 OP xOAP三点共线，点 O是直线 AB 外一 yOB ，求 x+y 的值。 1 AD 1 AB 1 A'A222 OQ OA 3AB 2AC变式：如果已知 OP xOA yOB,且 x y 1 ,那么 A 、B 、P 三点共线吗 ?变式 2：如图，已知 A,B,C 不共线，从平

13、面 ABC 外 任一点 O ，作出点 P,Q,R,S,使得：OP OA 2AB 2AC OR OA 3AB 2AC OS OA 2AB 3AC .试用向量 a,b,c 表示向试试：已知 A,B,P 三点共线，点 O是直线 AB 外一点，1若 OP OA tOB ，那么 t 2例 2 已知平行六面体 ABCD A'B'C'D'，点 M 是棱 AA' 的中点，点 G 在对角线 A' C 上，且 CG:GA ' =2:1, 设 CD = a， CB b,CC' c ， 量 CA, CA', CM ,CG .小结 ：空间向量的化简

14、与平面向量的化简一样， 加法 注意向量的首尾相接， 减法注意向量要共起点， 并且 要注意向量的方向 .动手试试练 1. 下列说法正确的是（ ）A. 向量 a与非零向量 b共线， b与 c共线，则 a与 c 共线；B. 任意两个共线向量不一定共线；C. 任意两个共线向量相等；D. 若向量 a与b 共线，则 a b.11C. a b c ；2211D. a b c.222. 已 知 a 3m 2 n, b ( x 1)m 8，n a 0 ， 若 a/b ，求实数 x.b，AA1 c，试用 a、b、c 表示 MN ，6.如图所示 ,平行六面体 A1B1C1D1-ABCD ，1M 分 AC 成的比为

15、2，N 分 A1D成 的比为 2，设 AB a， AD三、总结提升学习小结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论 .知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的 平移， 而空间向量研究的是空间的平移， 它们的共同 点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的 长度”，空间的平移包含平面的平移 .学习评价你完成本节导学案的情况为（B. 较好 C. 一般 D. 较差 时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：）.自我评价A. 很好当堂检测1. 下列说法正确的是（ ）7对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点 的连线与另一对边平行于同一平

16、面A. a与非零向量 b共线,b与 c共线，则 a与 c共线B. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D. 若向量 a与b 共线，则 a b点 E 是 上 底面2.正方 体 ABCD A'B'C'D' 中，A'B'C'D' 的中心，若 BD' xAD yAB zAA ,'则 x，y，z;若 AE xAD yAB zAA' ，则 x ，y，§ 3.1.2 空间向量的数乘运算（二）z 。5. 已知平行六面体 ABCD A'B'C'D '，11B. a b

17、 c ；学习过程、课前准备3. 若点 P是线段 AB的中点，点 O在直线 AB外，则 OP OA +OB .4. 平行六面体 ABCD A'B'C'D',O为 A1C与 B1D 的交点 ,则 1（AB AD AA'） AO3M 是 AC与 BD 交点，若 AB a,AD b,A'A c ，则与 B'M 相等 的向量是（ ）11A. a b c ；22学习目标1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数 式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推 论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立 体几何中的问题（预习教材

18、 P86 P87，找出疑惑之处）复习 1：什么叫空间向量共线？空间两个向量a,b，若 b 是非零向量，则 a 与 b 平行的充要条件是复习 2：已知直线 AB，点 O 是直线 AB 外一点，若OP 1OA 2 OB ，试判断 A,B,P 三点是否共线？ 33典型例题例1B. 2D. 4C. 3二、新课导学学习探究 探究任务一 ： 空间向量的共面 问题 ：空间任意两个向量不共线的两个向量a,b 有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位 置关系？新知 ：共面向量：同一平面的向量 .2. 空间向量共面： 定理：对空间两个不共线向量 a,b ，向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在， 使得

19、.推论： 空间一点 P 与不在同一直线上的三点 A,B,C 共面的充要条件是： 存在，使 对空间任意一点 O ，有中， 使 M,A,B,C 四点共面的个数是 （ ） OB OC;1 1 1 OM 1OA 1OB 1OC;OM 5OA 3OB 2OC; MA MB MC 0; OM OA OB OC 0.A. 1变式：已知 A,B,C 三点不共线， O 为平面 ABC 外一点，若向量 OP 1OA 7OB OC R ,53则 P,A,B,C 四点共面的条件是试试： 若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满111足关系式 OP OA OBOC ,则点 P 与 A,B,C236共面吗？例

20、2 如图，已知平行四边形 ABCD, 过平面 AC 外一点 O 作射线 OA,OB,OC,OD, 在四条射线上分别取点E,F,G,H,并且使OE OF OGOA OB OCOHOOHD k,求证： E,F,G,H 四点共面 .反思：若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满 足关系式 OP xOA yOB zOC, 且点 P 与A,B,C 共面，则 x y z .变式 ：已知空间四边形 ABCD 的四个顶点 A,B,C,D 不 共面， E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,AD 的中点，求证：（1）E,F,G,H 四点共面 ;（2）求证： BD平面 EFGH.D小结 ：空间向量的化

21、简与平面向量的化简一样， 加法 注意向量的首尾相接， 减法注意向量要共起点， 并且 要注意向量的方向 .动手试试练 1. 已知 A,B,C 三点不共线，对平面 ABC 外任一 点 P ，满足条件 OP 1OA 2OB 2OC ，试判断： 555点 P与 A,B,C 是否一定共面？试说明理由。样，当我们说 a，b 共线时，表示 a，b 的两条有向线 段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线； 当我们说 ab 时，也具有同样的意义（2）“共线”这个概念具有自反性 a a，也具有 对称性，即若 a b，则 b a.（3）如果应用上述结论判断 a，b 所在的直线平行， 还需说明 a（或 b） 上有

22、一点不在 b（或 a）上AB BC 或 AB AC 即可也可用“对空间 任意一点 O，有OB tOA （1t）OC”来证明三点共 线2向量共面的充要条件的理解MP xMAyMB.满足这个关系式的点 P 都在 平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满 足这个关系式这个充要条件常用以证明四点共面（2）共面向量的充要条件给出了空间平面的向量 表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个 不共线的向量表示出来， 它既是判断三个向量是否共 面的依据， 又可以把已知共面条件转化为向量式， 以 便于应用向量这一工具 另外， 在许多情况下， 可以 用“若存在有序实数组 （x，y，z） 使得

23、对于空间任意一 点 O，有 OB （1t）OAxOAyOBzOC，且 x yz1 成立，则 P、A、B、C 四点共面”作为判定 空间中四个点共面的依据知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的 平移， 而空间向量研究的是空间的平移， 它们的共同 点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的 长度”，空间的平移包含平面的平移 .学习评价自我评价A. 很好当堂检测你完成本节导学案的情况为（ ）.B. 较好 C. 一般 D. 较差 时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：1. 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，向量 D1A 、D1C 、 A1C1 是（ ） A. 有相同

24、起点的向量 C共面向量B等长向量D 不共面向量 .2.已知向量 a,b，且 AB a 2b ，BC 5a 6b , CD 7a 2b ，则一定共线的三点是（A. A 、 B 、D B A、CB、C、DB、CDA 、C、D三、总结提升学习小结1向量共线的充要条件及其应用（1）空间共线向量与平面共线向量的定义完全一3. 在下列语句中：若 a、b 共线，则 a、b 所在的直 线平行；若 a、b 所在的直线是异面直线，则 a、 b 一定不共面； 若 a、b、c 三向量两两共面， 则 a 、 b、c 三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，知，已e则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p xa yb

25、zc其中正确的个数为 （） .A 0B.1 C. 2 D. 34. 设 e1,e2 是 空 间 中 两 个不 共 线 的 向量 ， AB 2e1 ke2 ， CB e1 3e2 ， CD 2e1 且 A、B、D 三点共线，求 k 的值。学习探究探究任务一 ：空间向量的数量积定义和性质 问题 ：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量， 能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角 和空间线段的长度问题？新知：1） 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量 a,b ， 在空间一点 O，作 OA a,OB b ，则 AOB 叫做向 量 a与 b 的夹角，记作 .5. 已知边长为 1 的正四面体 O ABC

26、，边 OA 的中 点为 M，自 O 作平面在 ABC 的垂线 h，h与平面试试 ：范围 : a,ba,b =0 时,a与 b; a,b =时,a与 b a,b b,a 成立吗？ a,b ，则称 a与 b 互相垂直，记作ABC 交于点 H ，h与平面 MBC 交于点 I，用 OA，OB ， OC 表示 OI2） 向量的数量积：已知向量 a,b ，则叫做 a,b 的数量积，记作 a b ，即 a b .3.1.3空间向量的数量积（ 1）学习目标1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两 个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题一、课前准备（预习教

27、材 P90 P92，找出疑惑之处） 复习 1：什么是平面向量 a与 b的数量积？规定 :零向量与任意向量的数量积等于零 .反思： 两个向量的数量积是数量还是向量？ 0 a （选 0 还是 0 ） 你能说出 a b 的几何意义吗？3）空间向量数量积的性质：（1）设单位向量 e ，则 a e |a|cos a,e （ 2） a b a b （ 3） a a .4） 空间向量数量积运算律：（1）（2）（3）( a) b (a b) a ( b) a b b a (交换律)a (b c) a b a c (分配律)反思：（ a b） c a （b c） 吗？举例说明复习 2：在边长为 1的正三角形 A

28、BC中，求 AB BC . 若 a b a c ，则 b c 吗？举例说明 . 若 a b 0 ，则 a 0 或 b 0 吗？为什么？、新课导学典型例题例 1 已知空间向量 a，b满足 a 4， b 8，a与 b 的夹角是 150 °，计算： (1) (a 2b)(2a b) ； (2) 4a 2b 变式：在平行四边形 ABCD 中， AB=AC=1 ， ACD=90 °，将它沿对角线 AC 折起，使 AB 与 CD 成 60°角，求 B ，D 间的距离变式：求如图所示， AB ·OC .已知正四面体O-ABC 的棱长为 a，1 a三、总结提升例 2 在

29、 平 行 六 面 体 A B C D1 1A B1 中CAB=4,AD=4, AA1=5, BAD=90BAA1= DAA1=60O(1)求 AC1 的长(2)求证 : AA1 BD动手试试练 1. 已知向量 a,b 满足D则 a b .2练 2.已知 a 2 2 , b ,a b 2 , 则 a 与 b 的夹角大小为 .学习小结1.向量的数量积的定义和几何意义 .2. 向量的数量积的性质和运算律的运用知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题， 求两 条直线的夹角和线段长度的新方法 .学习评价自我评价 你完成本节导学案的情况为( )A. 很好 当堂检测 (时量： 1.下列命题中： 若

30、a b 0 ，则 a 若 a 0 且 a b (a b) c a (b (3a 2b) (3a 2b) 9 a2 4b 正确有个数为( )A. 0 个 B. 1 个C. 2 个B. 较好 C. 一般 D. 较差5 分钟 满分： 10 分) 计分 ：如果 ABa,BD b,AC c,求 C、D 间的距离 .， b 中至少一个为 a c ，则 b cc)2. 已知 e1 和 e2 是两个单位向量，夹角为D. 3 个 ，则下面3向量中与 2e2 e1 垂直的是()A. e1 e2B.e1 e2C.e13.已知 ABC 中， A, B, C所对的边为 a,b,c ， 且a 3,b 1, C 30 ,则

31、BC CA =b 2，且a和 b不共线，当 a b与4.已知4，D. e2a b 3 ，则a b 的夹角是锐角时， 的取值范围是 .5. 已知向量 a,b 满足 a 4， b 2， ab§ 3.1.3空间向量的数量积( 2)课后作业：1.已知空间四边形 ABCD 中， 求证： AD BC .AB CD ， AC BD ，学习目标掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单 问题，如：利用数量积求角、利用数量积证明垂 直关系学习过程一、课前准备复习 1：空间向量的数量积公式及其运算律是什么？复习 2：2已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60&

32、#176;，那么 |a3b|等于 ()A. 7B. 10C. 13D 4二、新课典型例题例1 如图，在空间四边形 ABCD中，AB 2，BC 3，BD 2 3 ， CD 3 ， ABD 30 ， ABC 60 ，2. 已知线段 AB、BD 在平面 内 ,BD AB,线段 AC,求 AB 与 CD 的夹角的余弦值变式 ：用向量方法证明： 已知： m,n 是平面 内的两 条相交直线，直线 l 与平面 的交点为 B，且 l m, l n.求证： l 【反思感悟】 在异面直线上取两个向量， 则 两异面直线所成角的问题可转化为两向量的 夹角问题需注意的是： 转化前后的两个角的 关系可能相等也可能互补变式

33、 ：如图，在正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1中，若AB= 2 BB1,则 AB1与 C1B 所成的角为( )A. 60° B. 90° C. 105°D. 75°课堂小结 ：空间两个向量 a，b 的数量积，仍旧保留平面向 量中数量积的形式，即： a·b | a|b |cos a， b， 这里 a， b表示空间两向量所成的角 (0 a，b ) 空间向量的数量积具有平面向量数量积的运 算性质应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题， 可 以求两直线夹角问题和线段长度问题即(1) 利用 ab? a·b0 证线线垂直 (a，b 为 非零

34、向量 ) (2) 利用 a·b| a| ·|b |cos a，b，cosa·b| a|·|b| ，求两直线的夹角(3) 利用|a| 2a·a，求解有关线段的长度问题课后作业：1 空 间 四 边 形 OABC 中 ， OB=OC ，例 2 用向量方法证明： 在平面上的一条直线， 如果和 这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它也和这条斜 线垂直 .AOB AOC , 则 cos OA,BC 的 值为 3()121A BCD 02 2 22. 正方体 AC1中，有下列说法：22(1) (AA1 AD AB)2 3AB ;(2) A1C (A1B 1

35、A1A) 0;4）正方体的体积为(3) AD1 与 A1B 的夹角为 60 ；AB AA1 AD 。其中正确的个数是 （）A 1B2C 3D4 探究任务一 ： 空间向量的正交分解问题 ：对空间的任意向量 a ，能否用空间的几个向量 唯一表示？如果能， 那需要几个向量？这几个向量有 何位置关系？3.已知下列说法：（1）2）3）4）a b（ 0） ，那么 a b ；a b 0，那么 a,b中至少有一个为 0 ； a b 0 ，那么 a b ；a b a b 0 ，那么 a 与 b 的夹角为新知： 空 间向量的正交分解 ：空间的任意向量 分解为不共面的三个向量1a1、 2a2 、 3a3 ，使a 1

36、 a1 2a2 3a3. 如果 a1,a2,a3 两两，这种分解 就是空间向量的正交分解 .均可钝角或平角；（5）若 a b 0，那么 a与 b的夹角为钝角。 其中错误的是 .（2）空间向量基本定理 ：如果三个向量 a,b,c ， 对空间任一向量 p ，存在有序实数组 x,y,z ，使得 p xa yb zc. 把的一个基底， a,b,c 都叫做基向量 .4在棱长为 2 的正方体 AC1中，O 是底面 ABCD 的中心， E、F 分别是 CC1 ,AD 的中点， 则 OE与 D1F 所 成角的余弦值为 .注：对于基底 a,b,c,除了应知道 a,b,c 不共面， 还应明确：§ 3.1

37、.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示学习目标1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和 坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；学习过程、课前准备反思 ：空间任意一个向量的基底有个实数 x，y，使得 a xi 为向量 a的，即 a .、新课导学学习探究x,y,z ，使得 x,y,z 为向量 ao-xyz 中 ， y 轴、2、点 M（ 2，-3，-4）在坐标平面 xoy 、xoz 、yoz 内的正投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点为， 关于 z 轴的对称点为，（预习教材 P92-96 找出疑惑之处） 复习 1：平面向量基本定理： 对平面上的任意一个向量 P ， a,b 是平面上两

38、个 量，总是存在实数对 x,y ，使得向量 P 可以用 a,b来 表示，表达式为，其中 a,b 叫做 . 若 a b ，则称向量 P 正交分解 .复习 2：平面向量的坐标表示： 平面直角坐标系中，分别取 x 轴和 y 轴上的向量 i,j 作为基底，对平面上任意向量 a ，有且只有一对 y j ，则称有序对 x,y单位正交分解： 如果空间一个基底的三个基向量 互相，长度都为，则这个基底叫做 单位正 交基底 ，通常用 i,j,k表示 . 空间向量的坐标表示 ：给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量 a，且设 i、j、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正 方向的单位向量，则存在有序实数组a xi y

39、 j zk ，则称有序实数组 的坐标，记着 p .练习：1、在空间坐标系 AB e1 2e 23e （e1,e2,e3 分别是与 x 轴、1 2 1 2 3z 轴的正方向相同的单位向量 ） ，则 AB 的坐标为。典型例题例 1 已知向量 a， b，c是空间的一个基底，那 么向量 ab，a b，c 能构成空间的一个基底吗？为 什么？是侧面 BB'C'C 的中心， 且 OA a ，OC b,OO' c， 试用向量 a,b,c 表示下列向量 : OB',BA',CA' OG.小结 ：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的 方法是：这三个向量一定 不共

40、面 .变式 ：已知 O,A,B,C 为空间四点， 且向量 OA,OB,OC 不构成空间的一个基底， 那么点 O,A,B,C 是否共面？例 3 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面， 分别为 AB 、PC的中点，并且 PA=AD ，求 MN的坐标。例 2 如图， M,N 分别是四面体 QABC 的边 OA,BC 的 中点， P,Q 是 MN 的三等分点，用 OA,OB,OC 表示 OP 和 OQ .【反思感悟】 空间直角坐标系的建立必须寻求三条两 两垂直的直线 在空间体中不具备此条件时， 建系后 要注意坐标轴与空间体中相关直线的夹角动手试试练 1. 正方体 ABCD A'B

41、9;C'D'的棱长为 2，以 A 为 '坐标原点，以 AB,AD,AA ' 为 x轴、y 轴、 z轴正方向 建立空间直角坐标系， 则点 D1，AC,AC' 的坐标分别 是，.练 2. 在平行六面体 ABCD ABCD中， AB a，ADb，AAc，P是 CA的中点， M是CD 的中点， N是 CD的中点， 点 Q是 CA上的点， 且 CQ QA 4 1，用基底 a， b， c表示以下向【反思感悟】利用空间的一个基底 a，b，c 可以表 示出所有向量 注意结合图形， 灵活应用三角形法则、 平行四边形法则变式 ：已知平行六面体 ABCO A'B

42、9;C'O'，点 GABO A1B1O1中， AOB= ，2 |AO|=4 ， |BO| =2，|AA 1|=4， D 为 A 1B1的中点， 则在如图所示的空间直角坐标系中，求DO,A1B的坐标 .自我评价 你完成本节导学案的情况为().A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测 (时量： 5分钟 满分： 10分)计分：1. 以下四个命题中正确的是 () A空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示 B若 a， b，c为空间向量的一组基底，则 a，b，c 全不是零向量C ABC为直角三角形的充要条件是 AB ·AC0D任何三个不共线的向量都可构成空间向量

43、的一个 基底2. 设 i、j、k 为空间直角坐标系 A-xyz中 x轴、 y轴、 z 轴正方向的单位向量，且 AB i j k ，则点 B 的坐标是3. 在三棱锥 OABC 中， G 是 ABC 的重心(三条中 线的交点)，选取 OA,OB,OC 为基底，试用基底表示 OG 4. 正方体 ABCD A'B'C'D'的棱长为 2，以 A 为坐 '标原点，以 AB,AD,AA ' 为 x轴、 y轴、 z轴正方向建 立空间直角坐标系， E 为 BB1中点，则 E 的坐标是 .5. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 O为 AC1与 BD 1

44、的交点， AO xAByBCzCC1，则 xyz6. 已知三棱锥 A BCD.1 (1) 化简21( ABACAD)并标出化简结果的向量； (2) 设 G 为 BCD 的重心，试用 AB ， AC，AD 表示三、总结提升学习小结 1空间的一个基底是空间任意三个不共面的向 量，空间的基底可以有无穷多个 一个基底是不共面 的三个向量构成的一个向量组， 一个基向量指一个基 底的某一个向量2对于 OP (1t)OAxOAyOBzOC，当且仅当 xyz1 时，P、A、B、C四点共面3对于基底 a，b，c除了应知道 a，b，c 不共 面，还应明确：(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向 量的一个基底

45、， 基底选定以后， 空间的所有向量均可 由基底惟一表示(2)由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与 任意两个非零向量共面， 所以， 三个向量不共面， 就 隐含着它们都不是 0.知识拓展建立空间直角坐标系前， 一定要验证三条轴的垂直关 系， 若图中没有建系的环境， 则根据已知条件， 通过 作辅助线来创造建系的图形 .学习评价向量 AG.7.已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面， M、 N分别是 AB，PC 的三等分点且 PA AB 1，求 MN 的坐标PN 2NC ，AM 2MB ，§ 3.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点

46、间距 离公式、中点坐标公式；2. 会用这些公式解决有关问题 .学习过程一、课前准备(预习教材 P95 P97，找出疑惑之处)复习 1：平面向量的坐标表示及运算律：复习 2：空间直角坐标系中的坐标：二、新课导学学习探究 探究任务一 ： 空间向量的直角坐标运算 设 a(a1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)，则a b；a b；a( R) ；a· b.(5) a/b.( 6) a b.试试 ：已 知 a ( 2 , 3， b ( 3,1, 4) ， 求 a ,b a , b| a| , .8a a b探究任务二 ： 空间向量坐标表示夹角和距离公式问题 ：在空间直角坐标系中， 如何用坐

47、标求线段的长 度和两个向量之间的夹角？新知：1. 向量的模 ：设 a ( a1, a2 , a3) ，则 a2. 两个向量的夹角公式：设 a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3) ， 由向量数量积定义： a·b |a|b|cos< a,b>， 又由向量数量积坐标运算公式： a· b，由此可以得出： cos< a,b>试试 ： 当 cos< a、 b> 1 时，a与 b所成角是； 当 cos< a、 b> 1时，a与 b所成角是； 当 cos< a、 b> 0 时，a与 b所成角是，即 a 与 b 的位置关系是

48、，用符合表示为 .反思：设 a (a1,a2,a3)，b (b1,b2,b3) ，则a/B.a 与 b 所成角是a 与 b 的坐标关系为；ab a 与 b 的坐标关系为；3. 两点间的距离公式 ：在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点 A(x1,y1,z1) ，B(x2,y2,z2)，则线段 AB 的长度为：AB (x2 x1)2 (y1 y2 )2 (z1 z2)2 .4. 线段中点的坐标公式 ：在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点 A(x1,y1,z1) ，B(x2,y2,z2)，则线段 AB 的中点坐标为 :.典型例题例 1. 设 a (1,5， 1)，b(2,

49、3,5)(1)若(kab) (a 3b)，求 k；(2)若(kab) (a 3b)，求 k.变式：已知 A(3,3,1)， B(1,0,5)，求：(1)线段 AB 的中点坐标和长度；(2)到 A，B 两点距离相等的点 P(x，y，z)的坐标 x，y，z 满足的条件例 3. 如图， 正方体 ABCD A1B1C1D1中， 点 E,F 分别 是 BB1,CD 的中点，求证： D1F 面 ADE .例 2 如图 ,在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E1,F1分变式：已知 A(2,3,1)，B(2，5,3)，C(8,1,8)，D(4,9,6) ， 求证：四边形 ABCD 为平行四边形求 BE

50、1 与 DF1 所成的别是 A1B1,C1D1 的一个四等分点， 角的余弦值动手试试1.已知 a 2, 3,1 ,b 2,0,3 ,c 0,0,2 ，求： a b c ； a 6b 8c.小结 ：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合 适的直角坐标系中找出两个向量的坐标， 然后再用公变 式 ： 如 上 图 , 在 正 方 体 A B CD 1A 1B 1C 1中D ，B1E1 D1F1 A1B1 ，求 BE1与 DF1所成角的余弦值1 1 1 1 3222. 已知关于 x 的方程 x2 t 2 x t2 3t 5 0 有两 个实根， c a tb ，且 a 1,1,3 ,b 1,0, 2 ，

51、 当 t时， c 的模取得最大值 .3. 已知 A 3,5, 7 ,B 2,4,3 ,求 AB, BA, 线段 AB 的中点坐标及线段 AB 的长度 . 综合训练 向量坐标的运用三、总结提升学习小结练 1. 棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 为 DD 1的中点， O1、 O2、 O3 分别是平面 A1B1C1D1、平面 BB1C1C 、平面 ABCD 的中 心(1)求证： B1O3 PA；(2)求异面直线 PO3 与 O1O2 所成角的余弦值；(3) 求 PO2 的长1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公 式、中点坐标公式；2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立 合适的空间直角坐标系， 写出向量的坐标， 然后再 代入公式进行计算 .知识拓展在平面内取正交基底建立坐标系后， 坐标平面内的任 意一个向量， 都可以用二元有序实数对表示， 平面向 量又称二维向量 . 空间向量可用三元有序实数组表 示，空间向量又称三维向量 .二维向量和三维向量统 称为几何向量 .的值为(6B.666D. 6C.4.若 a x,2,0 ,b 3,2角，则 x 的取值范围是(A. x 4 B.C. 0 x 4 D.小结：在特殊的几何体中建立空