Chapter 4-3 向量组的秩

1、 .; 只含零向量的向量组没有最大无关组只含零向量的向量组没有最大无关组, 规定规定它的秩为它的秩为 0 . 线性无关的向量组的最大无关组就是它本身线性无关的向量组的最大无关组就是它本身.(1) 向量组的最大无关组一般不是唯一的向量组的最大无关组一般不是唯一的. (2) 向量组向量组 A 和它自己的最大无关组和它自己的最大无关组 A0 等价等价. 全体全体 n 维向量构成的向量组记作维向量构成的向量组记作 Rn , 求求 Rn 的一个最大无关组及的一个最大无关组及 Rn 的秩的秩. 显然显然, Rn 的最大无关组很多的最大无关组很多, 任何任何 n 个线性个线性无关的无关的 n 维向量都是维向

2、量都是 Rn 的最大无关组的最大无关组. 设齐次线性方程组设齐次线性方程组075,032,02243214214321xxxxxxxxxxx的全体解向量构成的向量组为的全体解向量构成的向量组为 S，求，求 S 的秩的秩. R(a1 , a2 , , am). 今后向量组今后向量组 a1 , a2 , , am 的秩也记作的秩也记作 设矩阵设矩阵,97963422644121121112A求矩阵求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组的列向量组的一个最大无关组, 并用最并用最大无关组表示其余向量大无关组表示其余向量.方法评注方法评注方法评注方法评注求求矩阵的列向量组的最大无关组较有效的方矩阵的列向

3、量组的最大无关组较有效的方法是：法是：利用初等行变换把矩阵化为行阶梯形，利用初等行变换把矩阵化为行阶梯形，利用初等行变换把矩阵化为行阶梯形，利用初等行变换把矩阵化为行阶梯形，则行阶梯形中非零行的个数即为列向量组的秩，则行阶梯形中非零行的个数即为列向量组的秩，则行阶梯形中非零行的个数即为列向量组的秩，则行阶梯形中非零行的个数即为列向量组的秩，每个非零行的非零首元所在的列对应的向量即每个非零行的非零首元所在的列对应的向量即每个非零行的非零首元所在的列对应的向量即每个非零行的非零首元所在的列对应的向量即为列向量组的一个最大无关组为列向量组的一个最大无关组为列向量组的一个最大无关组为列向量组的一个最大

4、无关组. . 若要用最大无关若要用最大无关若要用最大无关若要用最大无关组表示其余向量，则需进一步把矩阵化为行最组表示其余向量，则需进一步把矩阵化为行最组表示其余向量，则需进一步把矩阵化为行最组表示其余向量，则需进一步把矩阵化为行最简形矩阵，在行最简形中容易得到列向量组的简形矩阵，在行最简形中容易得到列向量组的简形矩阵，在行最简形中容易得到列向量组的简形矩阵，在行最简形中容易得到列向量组的线性关系，从而可得原矩阵的列向量组的线性线性关系，从而可得原矩阵的列向量组的线性线性关系，从而可得原矩阵的列向量组的线性线性关系，从而可得原矩阵的列向量组的线性关系关系关系关系. .设向量组设向量组 A : a

5、1 , a2 , , am 构成矩阵构成矩阵 A = (a1 , a2 , , am )，根据向量组的秩的定义及，根据向量组的秩的定义及等于它的行向量组的秩等于它的行向量组的秩等于它的行向量组的秩等于它的行向量组的秩. .定理定理定理定理 6 6矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩, , 也也也也有有RA = R(a1 , a2 , , am ) = R(A) .由此可知，由此可知，前面介绍的定理前面介绍的定理1、2、3、4中出现的中出现的矩阵的秩都可改为向量组的秩矩阵的秩都可改为向量组的秩. 前面我们建立定理前面我们建立定理1、2、3时，限制向量组只时，限制向量组只含有限个向量，现在我们要去掉这一限制，含有限个向量，现在我们要去掉这一限制，把定把定理理1、2、3推广到一般的情形推广到一般的情形. 推广的方法是利用推广的方法是利用向量组的最大无关组作过渡向量组的最大无关组作过渡. 如定理如定理 3 可