学案34一元二次不等式及其解法

1、学案34一元二次不等式及其解法导学目标： 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图自主梳理1一元二次不等式的定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是_的不等式叫一元二次不等式2二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式b24ac>00<0二次函数yax2bxc(a>0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a>0)的根有两相异实根x1,2(x1<x2)有两相等实根x1x2_没有实根一元二次不等式a

2、x2bxc>0的解集a>0x|x<x1，或x>x2x|x_a<0x|x1<x<x2_自我检测1(2011·广州模拟)已知p：关于x的不等式x22axa>0的解集是R，q：1<a<0，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2设函数f(x) 则不等式f(x)>f(1)的解集是()A(3,1)(3，) B(3,1)(2，)C(1,1)(3，) D(，3)(1,3)3已知不等式x22x3<0的解集为A，不等式x2x6<0的解集是B，不等式x2axb<0的解集是AB，

3、那么ab等于()A3 B1 C1 D34(2011·厦门月考)已知f(x)ax2xc>0的解集为(3,2)，则yf(x)的图象是()1 / 125当x(1,2)时，不等式x2mx4<0恒成立，则m的取值范围为_.探究点一一元二次不等式的解法例1解下列不等式：(1)x22x>0；(2)9x26x10.变式迁移1解下列不等式：(1)2x24x3<0；(2)3x22x80；(3)8x116x2.探究点二含参数的一元二次不等式的解法例2已知常数aR，解关于x的不等式ax22xa<0.变式迁移2解关于x的不等式ax2(a1)x1<0.探究点三一元二次不等式恒

4、成立问题例3(2011·巢湖月考)已知f(x)x22ax2 (aR)，当x1，)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围变式迁移3(1)关于x的不等式<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围(2)若不等式x2px>4xp3对一切0p4均成立，试求实数x的取值范围转化与化归思想的应用例(12分)已知不等式ax2bxc>0的解集为(，)，且0<<，求不等式cx2bxa<0的解集【答题模板】解由已知不等式的解集为(，)可得a<0，为方程ax2bxc0的两根，由根与系数的关系可得4分a<0，由得c<0，5分则cx2bxa<0可化为x2

5、x>0.6分÷，得<0，由得·>0，、为方程x2x0的两根10分0<<，不等式cx2bxa<0的解集为x|x<或x>12分【突破思维障碍】由ax2bxc>0的解集是一个开区间，结合不等式对应的函数图象知a<0，要求cx2bxa<0的解集首先需要判断二次项系数c的正负，由方程根与系数关系知·>0，因a<0，c<0，从而知道cx2bxa<0的解集是x大于大根及小于小根对应的两个集合要想求出解集，需用已知量，代替参数c、b、a，需对不等式cx2bxa<0两边同除c或a，用、代

6、替后，就不难找到要求不等式对应方程的两根，从而求出不等式的解集本题较好地体现了三个“二次”之间的相互转化1三个“二次”的关系：二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的根，也是相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点2解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：1°二次项若含有参数应讨论

7、参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系.3°确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式3不等式恒成立问题：不等式恒成立，即不等式的解集为R，一元二次不等式ax2bxc>0 (a0)恒成立的条件是ax2bxc<0 (a0)恒成立的条件是 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1函数y的定义域是()A，1)(1， B，1(1，)C2，1)(1,2 D(2，1)(1,2)2(2010·抚顺模拟)已知集合Px|>0，集合

8、Qx|x2x20，则xQ是xP的()A充分条件但不是必要条件B必要条件但不是充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件3(2011·银川模拟)已知集合Mx|x22 008x2 009>0，Nx|x2axb0，若MNR，MN(2 009，2 010，则()Aa2 009，b2 010 Ba2 009，b2 010Ca2 009，b2 010 Da2 009，b2 0104若(m1)x2(m1)x3(m1)<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是()Am>1 Bm<1Cm< Dm>1或m<5(创新题)已知a1>a2>a3>0，

9、则使得(1aix)2<1 (i1,2,3)都成立的x的取值范围是()A. B.C. D.二、填空题(每小题4分，共12分)6在R上定义运算：xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)<1对任意实数x恒成立，则a的取值范围为_7已知函数f(x)则满足f(x)>1的x的取值范围为_8(2011·泉州月考)已知函数f(x)的定义域为(，)，f(x)为f(x)的导函数，函数yf(x)的图象如右图所示，且f(2)1，f(3)1，则不等式f(x26)>1的解集为_三、解答题(共38分)9(12分)解关于x的不等式<0 (aR)10(12分)若不等式ax2bxc0的解集

10、是，求不等式cx2bxa<0的解集11(14分)(2011·烟台月考)已知函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求a的取值范围学案34一元二次不等式及其解法自主梳理122.R自我检测1C2.A3.A4.D5(，5解析记f(x)x2mx4，根据题意得解得m5.课堂活动区例1解题导引解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2bxc>0(a>0)，ax2bxc<0(a>0)(2)计算相应的判别式(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根(4)根据对

11、应二次函数的图象，写出不等式的解集解(1)两边都乘以3，得3x26x2<0，因为3>0，且方程3x26x20的解是x11，x21，所以原不等式的解集是x|1<x<1(2)不等式9x26x10，其相应方程9x26x10，(6)24×90，上述方程有两相等实根x，结合二次函数y9x26x1的图象知，原不等式的解集为R.变式迁移1解(1)不等式2x24x3<0可转化为2(x1)21<0，而2(x1)21>0，2x24x3<0的解集为.(2)两边都乘以1，得3x22x80，因为3>0，且方程3x22x80的解是x12，x2，所以原不等式的

12、解集是(，2，)(3)原不等式可转化为16x28x10，即(4x1)20，原不等式的解集为例2解题导引(1)含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式(3)其次对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集解上述不等式不一定为一元二次不等式，当a0时为一元一次不等式，当a0时为一元二次不等式，故应对a进行讨论，然后分情况求解(1)a0时，解为x>0.(2)a>0时，44a2.当>0，

13、即0<a<1时，方程ax22xa0的两根为，不等式的解集为x|<x<当0，即a1时，x；当<0，即a>1时，x.(3)当a<0时，>0，即1<a<0时，不等式的解集为x|x<或x>0，即a1时，不等式化为(x1)2>0，解为xR且x1.<0，即a<1时，xR.综上所述，当a1时，原不等式的解集为；当0<a<1时，解集为x|<x<；当a0时，解集为x|x>0；当1<a<0时，解集为x|x<或x>；当a1时，解集为x|xR且x1；当a<1时，解集为x

14、|xR变式迁移2解当a0时，解得x>1.当a>0时，原不等式变形为(x)(x1)<0，a>1时，解得<x<1；a1时，解得x；0<a<1时，解得1<x<.当a<0时，原不等式变形为(x)(x1)>0，<1，解不等式可得x<或x>1.综上所述，当a<0时，不等式解集为(，)(1，)；当a0时，不等式解集为(1，)；当0<a<1时，不等式解集为(1，)；当a1时，不等式解集为；当a>1时，不等式解集为(，1)例3解题导引注意等价转化思想的运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转化为二次

15、函数区间最值问题解方法一f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa.当a(，1)时，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a<1；当a1，)时，f(x)minf(a)2a2，由2a2a，解得1a1.综上所述，所求a的取值范围为3a1.方法二令g(x)x22ax2a，由已知，得x22ax2a0在1，)上恒成立，即4a24(2a)0或解得3a1.变式迁移3解(1)x22x3(x1)22>0，不等式<2同解于4xm<2x24x6，即2x28x6m>0.要使原不等式对任意实数x恒

16、成立，只要2x28x6m>0对任意实数x恒成立<0，即648(6m)<0，整理并解得m<2.实数m的取值范围为(，2)(2)x2px>4xp3，(x1)px24x3>0.令g(p)(x1)px24x3，则要使它对0p4均有g(p)>0，只要有.x>3或x<1.实数x的取值范围为(，1)(3，)课后练习区1A由已知有(x21)0，x<1或1<x.2D化简得Px<1，或x>1，Qx2，或x1，集合P，Q之间不存在包含关系，所以xQ是xP的既不充分又不必要条件3D化简得Mx|x<1或x>2 009，由MNR，M

17、N(2 009,2 010可知Nx|1x2 010，即1,2 010是方程x2axb0的两个根所以b1×2 0102 010，a12 010，即a2 009.4C当m1时，不等式变为2x6<0，即x<3，不符合题意当m1时，由题意知化简，得解得m<.5B(1aix)2<1，即ax22aix<0，即aix(aix2)<0，由于ai>0，这个不等式可以化为x<0，即0<x<，若对每个都成立，则应最小，即ai应最大，也即是0<x<.6(，)解析由题意知，(xa)(xa)<1(xa)(1xa)<1x2x(a2

18、a1)>0.因上式对xR都成立，所以14(a2a1)<0，即4a24a3<0.所以<a<.7(，1)(2，)解析当x>0时，由log2x>1，得x>2；当x0时，由x2>1，得x<1.综上可知，x的取值范围为(，1)(2，)8(2,3)(3，2)解析由导函数图象知当x<0时，f(x)>0，即f(x)在(，0)上为增函数；当x>0时，f(x)<0，即f(x)在(0，)上为减函数，故不等式f(x26)>1等价于f(x26)>f(2)或f(x26)>f(3)，即2<x260或0x26<3，解得x(2,3)(3，2)9解<0(xa)(xa2)<0，(2分)当a0或a