电磁场理论课件：电磁场数学习题解

1、2021-11-16Copy right By Dr.Fang1电磁场数学基础习题解电磁场数学基础习题解求（1） ；（2）矢量 的方向余弦；（3） ；（4） ；2021-11-16Copy right By Dr.Fang2AeABABA， （5）验证 ；32zyxeeeAzyeeB425yxeeCBACACBCBABACCABCBA1.1 ，（6）验证 解：解：AAeA（2 2）141cosAAx142cosAAy143cosAAz（3 3）111) 3()4(2zzyyxxBABABABA（1 1）123141414xyzeee2021-11-16Copy right By Dr.Fang

2、3 zyxzyxzyxBBBAAAeeeBAxyzzyyzxxzzxyyxBCeB CB CeB CB CeB CB CzyxeeeAC12156zyxeeeBA410 xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAe，4860102CBA，4812600ACB480250BAC所以所以BACACBCBA32zyxeeeAzyeeB4，zyxeee410（4 4）25yxeeC2520 xyzeee（5 5）验证）验证BACACBCBA2021-11-16Copy right By Dr.Fang42052zyxzyxAAAeeeCBA B A CC A BA C BA B C A

3、B CB A CC A B 所以所以zyxeee2052zyxeee2655 （6 6）验证）验证zyxzyxzyxCCCBBBeeeCBxyyxzzxxzyyzzyxCBCBeCBCBeCBCBeAB CB A CC A B 32zyxeeeA25yxeeCzyeeB4，5526xyzeee11BC2021-11-16Copy right By Dr.Fang51.2 1.2 给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，则可确定该给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，则可确定该未知矢量。设未知矢量。设为已知矢量，已知和，求为已知矢量，已知和，求 AXABXXABXAAAXAXAA)()

4、(解：解： BAXAAXAABBA22ABAABXXAAXA2)(XAAB2根据矢量公式(1.1.40)AB CB A CC A B 2021-11-16Copy right By Dr.Fang6 zueyuexueuzyx解：解： 1.3 1.3 求标量场在点（求标量场在点（2,-1,1）处的梯度以及沿矢处的梯度以及沿矢量方向上的方向导数。量方向上的方向导数。 32yzxyuzyxeeel22zyxeeeu33)1 , 1, 2(zyxleeelle313232 )1 , 1, 2()1 , 1, 2(leulu2323)2(yzezxyeyezyx31)31()3(32)3(321202

5、1-11-16Copy right By Dr.Fang7 1.41.4计算对中心原点单位立方体计算对中心原点单位立方体表面的面积分，计算表面的面积分，计算 对此立方体的体积分，验证散度定理。对此立方体的体积分，验证散度定理。3222224zyxexyexeAzyxA解：解：zxeSyddd3zxeSyddd4，zyeSxddd1zyeSxddd2，yxeSzddd5yxeSzddd6，621621ddddSSSSSASASASA654321dd24dd24dddddddd3223222222SSSSSSyxzyxyxzyxzxxyzxxyzyxzyx单位立方体六个表面的面积微元： xyzP0

6、.5x 0.5y 0.5y 0.5z 0.5x 0.5z 0.50.50.50.50.50.520.50.50.50.50.50.50.25d d0.25d d0.25d dy zy zxx z0.50.50.50.50.50.5222220.50.50.50.50.50.50.25d d3d d3d dxx zx yx yx yx y2021-11-16Copy right By Dr.Fang8 5 . 05 . 05 . 05 . 022dd32dyxyxSASVzAyAxAVAzyvxvd)(d故故VSVASAddxyyxdd65 . 05 . 05 . 05 . 022xyxd316

7、5 . 05 . 05 . 05 . 032 5 . 05 . 05 . 05 . 05 . 05 . 02222ddd7222zyxzyxyxx11117212121224 5 . 05 . 05 . 05 . 05 . 05 . 0222ddd72zyxzyxxx d12165 . 05 . 020.530.51 12 3x3222224zyxexyexeAzyxVzyxyxxvd)7222(22220.50.50.53220.50.50.5172d d3xy zy z 1242021-11-16Copy right By Dr.Fang9解：解： 4321ddd22llllLzzyyxx

8、xl dAzeyexelzyxdddd4321dddd22llllyxxxyxxx8d0dd4d02022020yxxyxxAxyz22l2l1l3l41.5 计算 沿(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，(0,0,0)正方形闭合回路的线积分，再计算对此回路所包围的表面积的积分，以验证斯托克斯定理。zyexexeAzyx22A2021-11-16Copy right By Dr.Fang10zyxxzyxeeeAzyx22d22d dxzzSSASeyzexe x y验证了斯托克斯定理验证了斯托克斯定理 lSlASAddxeyzezx228dd22020 yxxdd

9、dzSe x yzyexexeAzyx22xyz22l2l1l3l42021-11-16Copy right By Dr.Fang11 zfeyfexfefzeyexefzyxzyxzfeyfexfezeyexefzyxzyx1.6 f 为任意一个标量函数，求为任意一个标量函数，求 f解：解： 000222222yzfexzfezyfeyxfezxfeyxfexyxzyz02021-11-16Copy right By Dr.Fang12 1.7 1.7 为任意一个矢量函数，求为任意一个矢量函数，求 。)(AyAxAexAzAezAyAeAAAzyxeeeAxyzzxyyzxzyxzyxyAx

10、yAexAzAezAyAezeyexeAxyzzxyyzxzyx解：解： 0222222yzAxzAxyAyzAxzAxyAxyzxyzA2021-11-16Copy right By Dr.Fang13 1.8 1.8 证明：证明： AfAfAf)(zzyyxxzyxfAefAefAezeyexeAf证明：证明： zfAzAfyfAyAfxfAxAfzzyyxxfAAfAfAfyxzxxyyzzxyzAAAffffe Ae Ae AeeexyzxyzyxzxyzAAAffffffAAAxyzxyz2021-11-16Copy right By Dr.Fang14 1.12 1.12 , ,试

11、求试求 , , , , 。sincos),(32zeezAAAA2解：解： sincos133zA代入得：代入得： 3213231213213211uhhAuhhAuhhAhhhA圆柱坐标系的拉梅系数：圆柱坐标系的拉梅系数：21cosAsin33A20A , , , ,2uzu 31u, , ,3322113213322113211hAhAhAuuuuhuhuhhhhAsin0cos132zeeez11h2h13h，cos32021-11-16Copy right By Dr.Fang15 sin0cos132zeeeAzsinsin3cos22zeeeAAA2)(公式：公式：AAA)(2所以

12、所以333222111uhuuhuuhucos3 A，cos3)(eeAsinsin3cos22zeeeAsin3cos3ee()3cos3sinAee 2021-11-16Copy right By Dr.Fang16 3322113213322113211hAhAhAuuuuhuhuhhhhAsin8sincoszeeeAAA)(2sinsin3cos132zeeeAzsinsin3cos22zeeeA，sin8sincossin3cos3zeeeeesin8sin2cos2zeee()3cos3sinAee 2021-11-16Copy right By Dr.Fang171.15 1.

13、15 , ,试求试求 及及 。2sin),(rrfff2333222111uhuuhuuhu解：解： 球坐标系的拉梅系数：球坐标系的拉梅系数：，11hrh 2sin3rh 2u3uru 1, , ,33123223121132132121uhhhuuhhhuuhhhuhhh222sinsinsinsinrrrrfeeerrr ffrfrrrfsin1sinsinsin122233cossin2rerersin2cossin244rr22222sinsin2sin1rrrrsinsincossin24222rsin14r2021-11-16Copy right By Dr.Fang182sin),(rrf1.16 求求 , S为球心位于原点，半径为为球心位于原点，半径为5的球面。的球面。 解：解： 球坐标系：球坐标系