工程力学第七章 弯曲内力

1、7 7 弯曲内力弯曲内力 7 7.1 .1 弯曲的概念弯曲的概念7 7.2 .2 剪力和弯矩剪力和弯矩7 7.3 .3 剪力方程、弯矩方程和剪力图、弯矩图剪力方程、弯矩方程和剪力图、弯矩图 7 7.4 .4 剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系7 7.5 .5 用叠加法作弯矩图用叠加法作弯矩图7. 1 7. 1 弯曲的概念弯曲的概念梁：梁：以弯曲变形为主要变形的杆件。以弯曲变形为主要变形的杆件。 弯曲变形：弯曲变形： 变形特点：变形特点：原为直线的轴原为直线的轴线变为曲线。线变为曲线。 受力特点：受力特点：垂直于轴线的垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力横向力

2、或轴线平面内的力偶。偶。 桥式起重桥式起重机的大梁机的大梁工程问题中，绝大部分受弯杆件的横截面都有一根对称轴，工程问题中，绝大部分受弯杆件的横截面都有一根对称轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。7. 1 7. 1 弯曲的概念弯曲的概念平面弯曲：平面弯曲：当所有外力当所有外力( (或者外力的合力或者外力的合力) )都都作用于作用于纵向对称面内时，杆件的轴纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯曲成一条平线在对称面内弯曲成一条平面曲线。也称为面曲线。也称为对称弯曲对称弯曲。本章讨论受弯杆件横截本章讨论受弯杆件横截面上的内力。面上的内力。 7. 1 7.

3、 1 弯曲的概念弯曲的概念7.1.1 支座的简化支座的简化 固定铰支座固定铰支座 可动铰支座可动铰支座 固定端固定端 7. 1 7. 1 弯曲的概念弯曲的概念7.1.2 载荷的简化载荷的简化 集中力集中力( (N，kN) )：集中力偶集中力偶( (Nm， kNm) )：分布载荷分布载荷( (N/m，kN/m) )：F分布范围远小于轴线的长度。分布范围远小于轴线的长度。Meq在梁全长或部分长度上连续分在梁全长或部分长度上连续分布的横向力。布的横向力。Me通过微小梁段作用在梁的纵向通过微小梁段作用在梁的纵向对称平面内的力偶对称平面内的力偶 7. 1 7. 1 弯曲的概念弯曲的概念7.1.3 梁的计

4、算简图梁的计算简图 静定梁静定梁 用静力学平衡方程即可求出全部支反力的梁。用静力学平衡方程即可求出全部支反力的梁。 用静力学平衡方程不能求出全部支反力的梁。用静力学平衡方程不能求出全部支反力的梁。 超静定梁超静定梁( (静不定梁静不定梁) ) 7. 2 7. 2 剪力和弯矩剪力和弯矩xmm一梁在载荷作用下，由平衡方一梁在载荷作用下，由平衡方程，可求得支反力。这样，就可以程，可求得支反力。这样，就可以进一步研究各横截面上的内力。进一步研究各横截面上的内力。截面法，取左段为研究对象截面法，取左段为研究对象 0yF1RSFFFA0OM)(1RaxFxFMAFs剪力剪力， M弯矩弯矩。 也可取右段为研

5、究对象。也可取右段为研究对象。0S1RFFFA0)(R1xFaxFMA7. 2 7. 2 剪力和弯矩剪力和弯矩为了使无论取左段为研究对象，还是取右段为研究对象，求为了使无论取左段为研究对象，还是取右段为研究对象，求得同一截面上的剪力和弯矩，不但数值相同而且符号也一样，把得同一截面上的剪力和弯矩，不但数值相同而且符号也一样，把剪力和弯矩的符号规定与梁的变形联系起来，规定如下：剪力和弯矩的符号规定与梁的变形联系起来，规定如下：7. 2 7. 2 剪力和弯矩剪力和弯矩例：例：求求C截面上的剪力和弯矩。截面上的剪力和弯矩。FRBFRA解：解：支反力支反力 0BM01234RqFFA 0yF02RRBA

6、FqFFkN9RBFkN11RAF取取C截面左段为研究对象截面左段为研究对象 0yF 0CM0SRFFFA012RMFFAkN1RSFFFAkN1012RFFMA7. 2 7. 2 剪力和弯矩剪力和弯矩kN9RBFkN11RAF取取C截面右段为研究对象截面右段为研究对象 0yF 0CM02RSBFqF0212RMqFBkN18422RSBFqFkN104292212RqFMB7. 2 7. 2 剪力和弯矩剪力和弯矩直接计算梁的任一横截面上的剪力和弯矩。直接计算梁的任一横截面上的剪力和弯矩。 ( (1) ) 某横截面上的剪力，在数值上等于该横截面左侧或者右侧某横截面上的剪力，在数值上等于该横截面

7、左侧或者右侧梁上外力的代数和。该横截面左侧梁上的外力向上取正值，向下梁上外力的代数和。该横截面左侧梁上的外力向上取正值，向下取负值；该横截面右侧梁上的外力向上取负值，向下取正值。取负值；该横截面右侧梁上的外力向上取负值，向下取正值。 ( (2) ) 某横截面上的弯矩，在数值上等于该横截面左侧或者右侧某横截面上的弯矩，在数值上等于该横截面左侧或者右侧梁上外力对该横截面形心取矩的代数和。该横截面左侧梁上的外梁上外力对该横截面形心取矩的代数和。该横截面左侧梁上的外力对截面形心取矩顺时针为正值，逆时针为负值；该横截面右侧力对截面形心取矩顺时针为正值，逆时针为负值；该横截面右侧梁上的外力对截面形心取矩逆

8、时针为正值，顺时针为负值。梁上的外力对截面形心取矩逆时针为正值，顺时针为负值。 口诀：口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。 7. 2 7. 2 剪力和弯矩剪力和弯矩例：例：计算计算1-1,2-21-1,2-2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。kN10kN50RRBAFF:11 kN)5 . 01020(R1SAFFmkN)25. 05 . 0105 . 05 . 120(R1AFM:22kN)5 . 1105020(2SFmkN)2075. 05 . 1105 . 1505 . 220(2M解：解：计算支反力计算支反力 kN25mkN25. 6

9、mkN25. 6kN15FRBFRA7. 3 7. 3 剪力方程、弯矩方程和剪力图、弯矩图剪力方程、弯矩方程和剪力图、弯矩图在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随横截面位置不在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随横截面位置不同而变化的。如果横截面在梁轴线上的位置用横坐标同而变化的。如果横截面在梁轴线上的位置用横坐标 x 表示，则表示，则各横截面上的剪力和弯矩可表示为横坐标各横截面上的剪力和弯矩可表示为横坐标 x 的函数，即的函数，即)(SSxFF )(xMM 即为即为剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程。 以平行于梁轴的横坐标以平行于梁轴的横坐标 x 表示横截面的位置，以纵坐标表示表示横截

10、面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力或弯矩。这种图线分别称为相应截面上的剪力或弯矩。这种图线分别称为剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图。与绘制轴力图或扭矩图一样，也可用图线表示梁的各横截面与绘制轴力图或扭矩图一样，也可用图线表示梁的各横截面上剪力和弯矩沿轴线变化的情况。上剪力和弯矩沿轴线变化的情况。7. 3 7. 3 剪力方程、弯矩方程和剪力图、弯矩图剪力方程、弯矩方程和剪力图、弯矩图例：例：列剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。列剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：解：1.1.计算计算支反力支反力 00RlFFbMAB00RFalFMBAlFaFlFbFBA/RR2.2.剪力方程和

11、弯矩方程剪力方程和弯矩方程 )0()(SaxlFbxF)0()(axxlFbxMAC段：段： xFRAFRBx)()(SlxalFaxF)()()(lxaxllFaxMCB段：段： 7. 3 7. 3 剪力方程、弯矩方程和剪力图、弯矩图剪力方程、弯矩方程和剪力图、弯矩图剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 )0()(SaxlFbxF)0()(axxlFbxM)()(SlxalFaxF)()()(lxaxllFaxM3.3.作作剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图( (设设 a b ) ) lFabMlFbFmaxmaxS7. 3 7. 3 剪力方程、弯矩方程和剪力图、弯矩图剪力方程、弯矩方程和剪力图、

12、弯矩图例：例：列剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。列剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：解：1.1.计算计算支反力支反力 2RRqlFFBA2.2.剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 )0(2)(SlxqxqlxF)0(22)(2lxxqxqlxM3.3.作作剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 822maxmaxSqlMqlFxFRAFRB82ql7. 3 7. 3 剪力方程、弯矩方程和剪力图、弯矩图剪力方程、弯矩方程和剪力图、弯矩图例：例：列剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。列剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：解：1.1.计算计算支反力支反力 lMFFBA/eR

13、R2.2.剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 )0()(eSlxlMxF)0()(eaxxlMxMAC段：段： )()()(elxaxllMxMCB段：段： 3.3.作作剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图( (设设 a b ) ) lbMMlMFemaxemaxSxFRAFRBx7. 3 7. 3 剪力方程、弯矩方程和剪力图、弯矩图剪力方程、弯矩方程和剪力图、弯矩图例：例：列剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。列剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：解：1.1.计算计算支反力支反力 qlFAR2.2.剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 )0()()(SlxxlqxF)0(2)()(2

14、lxxlqxM3.3.作作剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 22maxmaxSqlMqlF22qlMAxMAFRA7. 3 7. 3 剪力方程、弯矩方程和剪力图、弯矩图剪力方程、弯矩方程和剪力图、弯矩图在以上几个例题中，凡是集中力在以上几个例题中，凡是集中力( (包括支包括支反力及集中荷载反力及集中荷载) )作用的截面上，剪力似乎没作用的截面上，剪力似乎没有确定的数值。有确定的数值。事实上事实上, 集中力不可能集中力不可能“集中集中”作用于一作用于一点点, 它是分布于一个微段它是分布于一个微段 内的分布力经简内的分布力经简化后得出的结果。化后得出的结果。 x若在若在 范围内，把载荷看作是均匀分布范

15、围内，把载荷看作是均匀分布的，则剪力将连续地从的，则剪力将连续地从 FS1 变到变到 FS2 。x对集中力偶作用的截面，也可作同样的解对集中力偶作用的截面，也可作同样的解释。释。7. 4 7. 4 剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系 0yF 0CM 0ddSSSxFxFxxqxF xqxxFddS xxFxMxMxMddS xFxxMSdd xxFxxMddddS22 2ddxxxq0dxxyx xq7. 4 7. 4 剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系剪力、弯矩和分布载荷集度间外力间的微分关系剪力、弯矩和分布载荷集度

16、间外力间的微分关系7. 4 7. 4 剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系解：解： 1.1.计算支反力计算支反力 2.2.画剪力图画剪力图 kN5kN10RRBAFFkN7maxSF3.3.画弯矩图画弯矩图 mkN4 . 2maxM例：例：作剪力图和弯矩图。作剪力图和弯矩图。 EFRAFRB7. 5 7. 5 用叠加法作弯矩图用叠加法作弯矩图一梁在载荷作用下，当变形很小时，其跨长的改变可略去不一梁在载荷作用下，当变形很小时，其跨长的改变可略去不计，因而在求梁的支反力、剪力和弯矩时，均可按其原始尺寸进计，因而在求梁的支反力、剪力和弯矩时，均可按其原始尺寸进行计

17、算，所得结果均与梁上载荷成线性关系。行计算，所得结果均与梁上载荷成线性关系。在这种情况下，当梁上受几项载荷在这种情况下，当梁上受几项载荷 ( (如集中力、集中力偶或如集中力、集中力偶或分布力分布力) ) 共同作用时，某一横截面上的弯矩就等于梁在各项载荷共同作用时，某一横截面上的弯矩就等于梁在各项载荷单独作用下同一横截面上弯矩的代数和。单独作用下同一横截面上弯矩的代数和。7. 5 7. 5 用叠加法作弯矩图用叠加法作弯矩图qxFxF)(S221)(qxFxxMFxF)(S1FxxM)(1qxxF)(S22221)(qxxM可见，可见，F单独作用时引起的内力与单独作用时引起的内力与 q 单独作用时引起的内力相加，单独作用时引起的内力相加，就是就是 F 和和 q 共同作用时的内力。共同作用时的内力。这是一个普遍存在的原理，称为这是一个普遍存在的原理，称为叠加原理叠加原理。 7. 5 7. 5 用叠加法作弯矩图用叠加法作弯矩图由于弯矩可以叠加，所以表示弯矩沿梁轴线变化情况的弯矩由于弯矩可以叠加，所以表示弯矩沿梁轴线变化情况的弯