工程测量第六章误差理论

1、 测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：1、对同一量多次观测，其观测值不相同。2、观测值之和不等于理论值： 三角形 +180 闭合水准 h0这种误差在对变量进行观测和量测的过程中反映出来的，称为测量误差。粗差：因读错、记错、测错造成的错误。一、一、 等精度观测：观测条件相同的各次观测。 不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。1. 仪器误差2. 观测误差3. 外界条件的影响观测条件直接观测：间接观测：独立观测：非独立观测真值：测量中的被观测量，客观上存在一个真 实值，简称真值。对该量进行观测得到 观测值。真值与观测值之差，称为真误 差。 测量误差是通过多余观测产生的差异来反映出

2、来的。二、二、 在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现出以下特性： 误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；（同一性） 误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化；（单向性） 误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。（累积性） 1、系统误差 误差的大小、符号相同或按一定 的规律变化。 钢尺尺长、温度、倾斜改正 水准仪 i角 经纬仪 c角、i角 注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。 1）校正仪器； （2）观测值加改正数； （3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。 在相同的观测条件下，对某个固定量作一系列的观测，如果观测结果的差异在正负号及数值上，都没有表现出一致的倾向， 即没有任

3、何规律性，这类误差称为偶然误差。 2、偶然误差 偶然误差的特性偶然误差的特性180lxl真误差观测值与理论值之差观测值与理论值之差 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等， 可相互抵消；（对称性） 同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平 均值，随着观测次数的增加而趋近于零， 即： 0limnn在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限度;（有界性）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会要多；（密集性、单峰性）（抵偿性）1、粗差：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。2、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、抵 消和削弱。a.检校仪器；b.加改正数； c.采用是党的观测方法。3、偶然

4、误差：根据误差特性合理的处理观测数据 减少其影响：a.适当提高仪器等级； b.多余观测；c.求最可靠值或最或是 值。返回精度：又称精密度，指在对某量进行多 次观测中，各观测值之间的离散 程度。评定精度的标准 中误差 容许误差 相对误差一、一、 中误差中误差 定义 在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次独立观测，观测值l1， l2，ln，偶然误差（真误差）1，2，n，则中误差m的定义为：nmxliin,.2232221式中式中式中：例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。解：第一组观测值的中误差：解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：第二组观测值的中误差： ，说明第一组的精度

5、高于第二组的精度。，说明第一组的精度高于第二组的精度。说明：中误差越小，观测精度越说明：中误差越小，观测精度越高高5 . 210) 4(2) 1() 2(34) 3(12022222222221 m2 . 310) 1() 3(017) 1(0) 6(2) 1(22222222222 m21mm 定义 由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。二、容许误差（极限误差）二、容许误差（极限误差） 测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；即容=2m 或容=3m 。极限误差的作用：极限误差的作用： 区别误差和错误的界限。区别

6、误差和错误的界限。偶然误差的绝对值大于中误差9的有14个，占总数的35%，绝对值大于两倍中误差18 的只有一个，占总数的2.5%，而绝对值大于三倍中误差的没有出现。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。 相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式 来表示，称其为相对（中）误差。即:mDDmK1三、三、 相对误差相对误差 :角度、高差的误差用m表示，量距误 差用K表示。例 已知：D1=100m, m1=0.01m，D2=200m, m2=0.01m，求： K1, K2解：20000120001. 010000110001.

7、 0222111DmKDmK返回 概念 误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值 函数中误差的关系的定律。 函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用设非线性函数的一般式为：设非线性函数的一般式为：式中：式中： 为为独立独立观测值；观测值； 为独立观测值的中误差。为独立观测值的中误差。当各观测值带有真误差当各观测值带有真误差i i时，函数也随之也带有真误差时，函数也随之也带有真误差Z ZZ+ Z+ Z Z= =（x x1 1+1 1, x, x2 2+2 2, , x, xn n+n n) )按泰勒级数展开，取近似值按泰勒级数展开，取近似值即求函数的全微分

8、：即求函数的全微分：由于真误差很小，用由于真误差很小，用i i替代相应的微分替代相应的微分dxdxi i，得，得),(321nxxxxfz ixnmmmm,321 nxnxxZxfxfxf )()()(2121n)dxnxf()dxxf(dxxfdZ 2211）（若对各独立变量都测定了K次，则其平方和关系式为：误差传播定律的一般形式误差传播定律的一般形式（中误差的公式）（中误差的公式）例已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角=15000030求：水平距离D解：1.函数式 2.全微分 3.求中误差 dDDddD)sin()(cos cosDD2222203)15sin50(05.0)1

9、5(cos)sin()(cos mDmmDD)(048.0mmD二、二、 线性函数的误差传播定律线性函数的误差传播定律设线性函数为：nnxkxkxkz2211式中 为独立的直接观测值， 为常数， 相应的 观测值的中误差为 。 nxxx,21nkkk,21nxxx,21nmmm,212222222121nnzmkmkmkm一般函数中误差关系式：小结：第一步：写出函数式第二步：对各观测值取偏导数第三步：套用误差传播定律，写出中误差式。注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测值 必须是独立观测值。22222221122.ynnmfmfmfm三、三、 运用误差传播定律的步骤运用误差传播定律的步骤函数

10、名称函数名称函数式函数式函数的中误差函数的中误差倍数函数倍数函数和差函数和差函数线性函数线性函数算术平均算术平均值值一般函数一般函数2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm nxxxZ 21nn2211xkxkxkZ ),(21nxxxfZ 22221nzmmmm 2222222121nnzmkmkmkm nmmX nnnnnllllx12111 kxZ xzkmm 设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为l1、l2ln，中误差为m1、m2 mn，则其算术平均值（最或然值、近似真值） 为：一、求最或是值一、求最或是值 nlnlllxn 21算术平均值及其中误差算术平均

11、值及其中误差 设未知量的真值为X，可写出观测值的真误差公式为 （i=1i=1，2 2，n n）将上式相加得或故 nXlllnn )(2121nXl Xnln推导过程：Xlii 由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时， 即 （算术平均值） 说明，n趋近无穷大时，算术平均值 即为真值X。 0limnn nlXn, 因为 式中，1n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。 设平均值的中误差为m ，则有 二、二、 算术平均值中误差算术平均值中误差Mx22222221221111mnmnmnmnMn nlnlnlnnl11121 nmM 由此可知，算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍。 n1故故三、精度评定 第一公式 第二公式（白塞尔公式）条件：观测值真值 x已知条件：观测值真值X未知， 算术平均值 已知nm1nVVm其中 观测值改正数，iViilV证明证明：1nVVnmiilVXlii（i=1，2，3，n）两式相加，有XViiiiV即解解：（i=1，2，3，n）设 则 X将上列等式两端各自平方，并求其和，则 22nVVV将将 代入上式，则代入上式，则 2nVV 0lnV故故 222nnnnQPn 2222)(12433221222212（PQ）又因又