洛必达法则的一些应用

1、1 引言18世纪数学本身的发展，以及这个世纪后期数学研究活动的扩张和数学教育的改革都为19世纪数学的发展准备了条件微积分学的深人发展，才有了后面的洛比达法则，而且在英国和欧洲大陆是循着不同的路线进行的在欧洲大陆，新分析正在莱布尼茨的继承者们的推动下蓬勃发展起来伯努利家族的数学家们首先继承并推广莱布尼茨的学说. 雅各布·伯努利运用莱布尼茨引用的符号，并称之为积分，莱布尼茨采用他的建议，并列使用微分学与积分学两个术语雅各布·伯努利的弟弟约. 翰·伯努利在莱布尼茨的协助之下发展和完善了微积分学. 他借助于常量和变量，用解析表达式来定义函数，这比在此之前对函数的几何解释有

2、明显的进步. 他在求“”型不定式的值时，发现了现称为洛必达法则的方法，即用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限. 约翰·伯努利的学生、法国数学家洛必达的无限小分析(1696)一书是微积分学方面最早的教科书，在十八世纪时为一模范著作，他在书中规范了这一种算法即洛必达法则，之后洛必达法则的也得到了广泛应用，这对传播微分学起到很大的作用. 从极限概念的产生到现在已经经历了两千五百多年的发展，漫漫的历史长河，人类在寻求真理和科学的过程中不断探索和总结，对于数学的探索给了人类科学发展以强大的动力我们应当对任何知识都认真的学习、研究及做出总结不仅踏寻前人的路迹，同时也要从中开创新的空间极限是数学

3、分析的基石，是微积分学的基础不定式极限是一种常见和重要的极限类型，其求法多种多样，变化无穷本文先介绍了洛必达法则的定义，然后对洛必达法则使用条件及其常见误区进行了详细分析，阐述了该法则适用于解决函数极限的类型并举例说明其应用，总结了洛必达法则的各种形式及使用范围，并介绍了洛必达法则的基本应用，以及在使用洛必达法则解题时应注意的问题文章还将法则的适用范围推广至求数列极限，然后分析法则的使用过程中容易出现的错误；最后通过具体实例说明了可以将法则和其他求极限方法结合起来使用，使我们对法则有了更深入的理解，进而提高了应用洛必达法则解决问题的能力2 洛必达法则及使用条件在计算一个分式函数的极限时，常常会

4、遇到分子分母同时趋向于零或无穷大的情况，由于这时无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很大的困难，事实上，这时极限可能存在，也可能不存在，当极限存在时，极限的值也会有各种各样的可能，如当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么极限可能存在也可能不存在. 通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为型和型. 未定式极限除了以上两种外，还有型、型、型、型、型等五种，后面几种都可以转换成前面两种类型来进行计算，因此掌握型和型极限的计算方法是前提2.1 洛必达法则型定理2.1 设函数，满足：（1）当时，函数及都趋于零；（2）在点的某去心邻域内，及都存在且；（3）存在（或为无穷大），那么

5、.这就是说，当存在时，也存在且等于；当为无穷大时，也是无穷大，这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.证明 因为当时的极限与及无关，所以可以假定，于是由条件（1）、（2）知道，及在点的某一邻域内是连续的，设是这一邻域内的一点，那么在以及为端点的区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有 （在与之间）.令，并对上式两端求极限，注意到时，再根据条件（3）便得要证明的结论.如果当时仍属于型，且这时，都能满足定理中，所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则，从而确定，即.且可以依次类推.定理2.2 设函数，满足：（1）当时，函数及都趋于零；（2）当时，及都存在

6、且；（3）存在（或为无穷大），那么 .2.2 洛必达法则型定理2.3 设函数，满足：（1）当时，函数及都趋于；（2）在点的某去心邻域内，及都存在且；（3）存在（或为无穷大），那么 .定理2.4 设函数，满足：（1）当时，函数及都趋于；（2）当时，及都存在且；（3）存在（或为无穷大），那么 .2.3 其他类型未定式除了上述的型和型未定式外，还有等类型的未定式这几种类型的未定式，都可转化为型或型的未定式，即可利用洛必达法则进行求解如下图所示： 型 型 型 型 型具体步骤如下：(1) 型未定式 可将乘积化为除的形式，即当或时，若,，则 或，这样，型未定式就变为型或型未定式. (2)型未定式可通过通分

7、计算，即当或时，若,，则，这样，型未定式就变为型未定式. (3) ，型未定式 可先化为以为底的指数函数的极限, 再利用指数函数的连续性, 转为直接求指数的极限, 而指数的极限形式为“”型, 再转化为“” 型或“”型计算. 当或时，若(或，或)，（或）. 则或，这样就可利用洛必达法则进行求解. 2.4 洛必达法则求极限的条件 从定理知道, 无论是“”型还是“”型,都必须具备一个重要条件, 即在自变量的同一变化过程中，存在（或为）时，才有存在（或为），且，但是此条件却不便先验证后使用，所以连续多次使用法则时，每次都必须验证它是否为“”型或“”型，其使用程序如下：（“”），（“”），.，（“”），若

8、存在（或为），那么才有式子成立。而上式成立是基于，.，都是“”型未定式，而且从右到左依次相等，但为了书写方便，在应用此法则求极限时总是习惯于从左至右写.这样, 如果忽略了对条件的验证, 就有可能出错.例题 问取何值时，下式成立？，.解法（1） （“”）， （I）而，由此可以得到，于是，所以，即.根据以上从左至右的推导顺序，问题出在式（I），即的存在性并没有论证，根据洛必达法则的条件，只有当存在时，式（I）才能成立，这个问题往往在求极限时被忽视， 因此后面的做法就是去了根基， 所以上述解法(1) 错误.解法（2） （“”），如果，则上式等于0，与已知条件矛盾；如果，则是“”型未定式，可用洛必达法

9、则求解，即 .根据以上从右至左, 多次应用法则得,.解法(2)求出后，讨论了其存在性，排除了的情形后，得出；此时是“”型未定式，若继续应用洛必达法则进行求解，就避免了判定上述极限存在的错误，该问题的关键是讨论的存在性，只有它存在，才能使用洛必达法则.3 洛必达法则的应用3.1 基本类型: 型及型未定式在自变量的某变化过程中, 对上述两种基本类型可直接应用法则求极限.例1 求.解 这是“”型未定式，.例2 求.解 这是“”型未定式， 例3 求解 这是“”型未定式，例4 求（为正整数，）.解 这是“”型未定式，相继用洛必达法则次，得 例5 求解 这是“”型未定式，例6 求极限.解 这是“”型未定式

10、，.例7 求极限.解 这是“”型未定式，.注：在求极限时, 如果还是型未定式,且 , 仍满足洛必达法则条件，则可继续使用该法则求极限.例8 求.解 （“”）（“”）.注：计算时要注意已知极限的分离, 如，否则会越算越复杂.3.2 可转化为基本类型的未定式极限洛必达法则只能解决型及型未定式函数极限, 而对于某一极限过程中“”，“”，“”，“”，“”等5 种类型的极限也可经过一定变形, 转化为基本类型再用法则求之.例9 求.解 此题为“” 型未定式, 将原式中的写在分母上, 使其变为“”型后应用洛必达法则, 即（“”）.例10 求.解 此题为“” 型未定式，（“”）（“”）.例11 求极限.解 这

11、是型未定式，设，取对数得，当时，上式右端是未定式，即可得到，因为 ，而（当），所以 .例12 求极限.解 此极限是型未定式，故有.例13 求极限.解 当，因此这是型未定式，由于有，故.3.3 数列极限的洛必达法则求解例14 求.解 此问题可归类到“”型未定式极限. 但由于题目中变量为正整数, 对这些孤立点无法求导, 故不能直接利用洛必达法则求解. 应先将极限式中的换成连续变量 , 求函数 极限, 再由归结原则知原数列极限值，故由归结原则得.该法则尽管求极限很方便, 但也并不是万能的,而且使用时也要谨慎, 否则容易出错.3.4 使用洛必达法则时不要忽视别的求极限方法洛必达法则是求未定式的一种有效

12、方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用.例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以运算简便.例15 求.解 如果直接用洛必达法则，那么分母的导数（尤其是高阶导数）较复杂，如果作一个等价无穷小替代，那么运算就方便得多，其运算如下：.例16 求.解 显然当时，故.该法则是通过计算函数的导数, 利用导数的极限求出原函数的极限, 故只适用于函数极限的求解.然而在应用时, 对“”型及“”型数列极限也可间接应用.4 使用洛必达法则时常见错误4.1不符合条件的使用有时极限式并不满足法则条件, 如用法则求解会得出错误结果, 主要有两种情形.（1）极限式非未定式例1

13、7 求.解 .由于本题不是未定式“”型, 而上面错误地应用了洛必达法则, 从而得出错误的结论. 事实上, 此题可以直接利用函数连续性得到结果.（2）使用法则求导后出现极限不存在现象 特别当 时, 函数式中含有或或当时函数式中含有或 时, 用法则求极限时出现极限振荡, 此时法则失效.例18 求极限. 分析 这问题是“”型未定式, 但分子、分母分别求导后变成，而与当时极限均不存在，即此时法则失效，但原极限存在，可用如下方法求得.例19 求 .解 （“”）（振荡），法则失效，但原函数极限存在，可用如下方法求得.4.2 多次使用法则后极限式出现循环现象例20 求.解 （“”）（“”），求导两次后极限式

14、出现循环现象, 故洛必达法则失效, 不能使用.但原式极限存在, 可用下面方法求得:.4.3 对离散点列求导例21 求.错解 属于型，先进行变形，.错误原因：是离散的点列，是一系列孤立的点，连续都谈不上，更不用说可导.正解 .因为 所以 （这是“一般”到“特殊”的过程）.4.4 滥用导函数的连续性例22 设在某存在，且求.错解 .错误原因：在x=0处未必连续.（选择题可以用此解法，这是一种策略.）正解 （导数定义）.例23 在x处二阶可导，求.错解1 .错误原因：没有分清在极限过程中h和x谁是变量，谁是常量.错解2 .错误原因：二阶导函数未必连续，即：不一定成立.注：由存在，但不一定连续，所以第

15、2个等号后面不符合洛必达法则的条件.正解 （这是由导数定义得到的）.5 用洛必达法则解题应注意的几个问题洛必达法则是求不定式函数极限的一种普遍且有效的方法但在运用洛必达法则解题时发现，解题过程有时仍然较复杂，有时出现循环，甚至无法求解为充分发挥洛必达法则的作用，提高解题效率，解题时应注意以下几个问题.（1）及时化简使用洛必达法则前，有时需要对函数进行化简，可以视函数式的特征进行分子、分母有理化，或进行简单的分离例24 求.分析：本题分子有2个根式，若直接运用洛必达法则，解题过程则较复杂，如果进行分子有理化并及时分离，则可以简化，解题过程如下：解 .（2）及时替换在使用洛必达法则前，可以应用等价

16、无穷小替换时，应及时进行替换，以减少中间计算量，简化运算过程例25 求.分析：注意到当时， 解 .（3）及时变换有时使用洛必达法则求函数极限时，发现会反复循环这时需要观察题目的特征，及时变换例26 求 .分析：直接使用洛必达法则，无法求解，分子分母同时除以，则问题迎刃而解解 .（4）及时整理在使用洛必达法则后，及时整理，有时可以避免再次使用洛必达法则，或优化解题过程例27 求.分析：本题使用洛必达法则后，仍然为“”型不定式，如果通分后分子有理化，则可以直接得出结论，避免繁琐的计算解 . 运用洛必达法则求一类函数极限时，在使用前观察函数式的特点，及时化简、替换和变换；在使用后及时整理，则有利于问题的解决6 结论综上所述，洛必达法则在求极限的过程中是个常用的有效方法，但在应用洛必达法则时应注意一下三个方面： （1）在用洛必达法则之前，要解决“是不是”与“能不能”的问题，即在用该法则之前，要先判断所求的极限是不是未定式，是那类未定式，能不能直接用洛必达法则来求解，例如，极限，这本不是未定式，如不用洛必达法则，便导致如下错误：判断有三个方面，按照需要判断有限级别：（I） 是不是； （II） 是不是可导；（III） 是不是一个确定的常数或者.对于侧重于计算的填空题和选择题，我们主要验证（I），一般可以不必去验证（II） ， （III）的验证