高中数学必修二直线与方程经典

1、精品资料欢迎下载高中数学必修2 知识点直线与方程一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时 , 我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0° 180°（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 ktan(900 ) 。斜率反映直线与x 轴的倾斜程度。当0 ,90 时， k0； 当90 ,180时， k0； 当90 时， k 不存在。过两点的直线的斜率公式：ky2y1 (x1x2 )x2x1注意下面四点：

2、 (1)当 x1x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2) k 与 P1、P2 的顺序无关； (3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。例 .如右图，直线l1 的倾斜角= 30°，直线 l 1 l2，求直线 l 1 和 l 2 的斜率 .y解： k1= tan30° =3l 1 l2 k1· k2 = 1l13 k2 = 321x例： 直线 x3y50 的倾斜角是 ()ol 2A.120 °B.150 °C.60°D.30 &

3、#176;（3）直线方程点斜式： yy1k( xx1 ) 直线斜率 k，且过点 x , y11注意：当直线的斜率为0°时， k=0，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是 x=x1。斜截式： ykxb ，直线斜率为k，直线在 y 轴上的截距为 b两点式：yy1xx1（ x1x2 , y1y2 ）即不包含于平行于x 轴或 y 直线两点轴的直y2y1x2x1线，直线两点x1, y1， x2 , y2 ，当写成 (x2x1 )( y y1 )( y2y1 )( x x1) 的形式时

4、，方程可以表示任何一条直线。截矩式： xy1ab其中直线 l与 x 轴交于点 ( a,0) , 与 y 轴交于点 (0,b) , 即 l与 x 轴、 y 轴的截距分别为a,b 。对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式。一般式： AxByC0 （A，B不全为 0）注意：1 各式的适用范围2 特殊的方程如：平行于 x 轴的直线：yb （ b 为常数）；平行于 y 轴的直线： x a （ a 为常数）；例题： 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是1 ，经过点 A(8 ， 2)；.2(2)经过点B(4,2) ，平行于 x 轴；.精品资料欢迎下载(3)在x 轴和y 轴上的截距

5、分别是3,3；.24)经过两点P1(3， 2)、 P2(5， 4)；.例 1：直线 l 的方程为A C=0， B>0C C= 0， AB<0A x+B y+C = 0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（B C= 0， B>0， A>0D C= 0， AB>0）例 2：直线l 的方程为A x By C= 0，若A、B、 C满足AB.>0且 BC<0 ，则l 直线不经的象限是（）A 第一B 第二C第三D第四（ 4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线A0 xB0 yC00（ A0, B0是不全为0 的常数）的直线系：A0

6、xB0 yC0 （C为常数）（二）过定点的直线系（）斜率为 k 的直线系：yy0kxx0 ，直线过定点x0 , y0；（）过两条直线l1:A xB yC0， l2: A2xB2 y C20 的交点的直线111系方程为 A x B yCA xB yC20（为参数），其中直线 l2不在直线系中。11122（三）垂直直线系垂直于已知直线AxByC 0 （ A,B 是不全为0 的常数）的直线系：BxAyC0例 1：直线 l： (2m+1) x+(m+1) y7m 4= 0 所经过的定点为。 (m R)（5）两直线平行与垂直当 l 1 : y k1 xb1 ， l2 : y k2 xb2 时，（ 1）

7、l1 / l 2k1k2 , b1b2 ；（ 2） l1l 2k1 k21注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（3） k1k2 ,b1b2l1 与 l2 重合；（4） k1k2l1 与 l 2 相交。另 外 一 种 形 式 ： 一 般 的 ， 当 l1: A1 xB1 yC10( A1 ,B1不全为 0) ，与l 2 : A2 xB2 yC20( A2 , B2不全为 0)时，（1） l1 / / l 2A1B2A2 B10A1B2A2 B10，或者。AC1 2A2 C10B1C2B2C10（2） l1l 2A1 A2B1B20。（3） l1 与 l 2 重合A1B2A

8、2 B1 = B1C2B2C1 = AC1 2A2C1 =0。（4） l1 与 l 2 相交A1 B2A2 B10 。例 .设直线l1 经过点 A( m，1)、 B( 3，4) ，直线l2 经过点 C(1，m)、 D( 1， m+1)，当 (1) l 1/ / l2(2)l1 l1 时分别求出 m 的值精品资料欢迎下载例 1.已知两直线l1： x+(1+ m) y = 2 m 和 l2： 2mx+4y+16= 0， m 为何值时l 1 与 l2 相交平行例 2. 已知两直线 l 1： (3a+2) x+(1 4a) y + 8= 0 和 l 2： (5a2)x+( a+4) y 7= 0 垂直

9、，求 a 值（6）两条直线的交点l1 : A1 x B1 y C10 l2 : A2 x B2 y C20 相交交点坐标即方程组A1xB1 yC10A2 xB2 yC2的一组解。0方程组无解l1/ l 2 ；方程组有无数解l1 与 l2 重合例 3.求两条垂直直线 l 1： 2x+ y +2= 0 和 l 2： mx+4y2= 0 的交点坐标例 4. 已知直线 l 的方程为 y11 ，x2(1)求过点（ 2， 3）且垂直于 l 的直线方程；(2)求过点（ 2， 3）且平行于 l 的直线方程。例 2：求满足下列条件的直线方程(1) 经过点 P(2， 3)及两条直线 l 1： x+3y 4= 0

10、和 l 2：5x+2y+ 1=0 的交点 Q；(2)经过两条直线l 1：2x+y 8= 0 和 l2 ：x 2y+ 1= 0 的交点且与直线 4x3y 7= 0 平行；(3)经过两条直线l 1：2x 3y+10= 0 和 l2： 3x+4y2= 0 的交点且与直线 3x 2y+4= 0 垂直；（7）两点间距离公式：设 A(x1 , y1 )，（B x2 , y2）是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|(xx )2( y2y )2211（ 8 ） 点 到 直 线 距 离 公 式 ： 一 点 P x0 , y0 到 直 线 l1: Ax By C 0的 距 离dAx0 By0CA2B2（ 9）两平

11、行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。对于 l1 : A1 xB1 y C10 l 2 : A2 x B2 y C2 0 来说：C1C2。dB2A2例 1：求平行线l 1：3x+ 4y 12= 0 与 l 2： ax+8y+11= 0 之间的距离。例 2：已知平行线 l1： 3x+2 y 6= 0 与 l 2： 6x+4y 3= 0，求与它们距离相等的平行线方程。(10) 对称问题1) 中心对称 A 、若点 M ( x1 , y1) 及 N (x, y) 关于 P(a, b) 对称，则由中点坐标公式得x2ax1,y2by1.B 、直线关于点的对称，主要方法是：在已

12、知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们对于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个精品资料欢迎下载对称点，再利用 l1 / / l2 ，由点斜式得出所求直线的方程。2) 轴对称 A 、点关于直线的对称：若 P1( x1 , y1) 与 P2 ( x2 , y2 ) 关于直线 l : AxBy C 0 对称，则线段 P1 P2 的中点在对称轴 l上，而且连结 P1 P2 的直线垂直于对称轴 l，由方程组A x1x2B y1y2C 0,22可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标 ( x2, y2 ) （其中y1y2Bx1x2,AA0, x1x2 ) 。B 、直线关于直

13、线的对称：此类问题一般转化为关于直线对称的点来解决，若已知直线l1 与对称轴 l 相交，则交点必在与 l1 对称的直线 l2 上，然后再求出 l1上任一个已知点P1 关于对称轴 l 对称的点 P2 ，那么经过交点及点 P2 的直线就是 l 2 ；若已知直线 l1 与对称轴 l平行，则与 l1 对称的直线和 l1 到直线 l 的距离相等， 由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出l1 的对称直线。例 1：已知直线 l ： 2x 3y+1=0 和点 P( 1， 2).(1) 分别求：点 P(1， 2)关于 x 轴、 y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称点 Q 坐标(2) 分别求：直线 l ：2x 3y+1=0 关于 x 轴、 y 轴、直线 y=x 、原点 O 的对称的直线方