高考数学理二轮专练：中档大题4及答案解析

1、高考数学精品复习资料2019.5中档大题(四)1(20 xx高考陕西卷)有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛， 由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次根据年龄将大众评委分为 5 组， 各组的人数如下：组别abcde人数5010015015050(1)为了调查评委对 7 位歌手的支持情况， 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委， 其中从 b 组抽取了 6 人，请将其余各组抽取的人数填入下表.组别abcde人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中， 若 a, b 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手， 现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人， 求这 2

2、人都支持 1 号歌手的概率.2(20 xx高考课标全国卷)如图，直三棱柱 abca1b1c1中，d ，e 分别是 ab，bb1的中点(1)证明：bc1平面 a1cd；(2)设 aa1accb2，ab2 2，求三棱锥 ca1de 的体积3 (20 xx河北省普通高中高三教学质量检测)已知正项数列an， bn满足 a13， a26，bn是等差数列，且对任意正整数 n，都有 bn，an，bn1成等比数列(1)求数列bn的通项公式；(2)设 sn1a11a21an，试比较 2sn与 2b2n1an1的大小4(20 xx湖北省武汉市高中毕业生调研测试)如图，已知正方形 abcd 的边长为 2，ac与 b

3、d 交于点 o，将正方形 abcd 沿对角线 bd 折起，得到三棱锥 abcd.(1)求证：平面 aoc平面 bcd；(2)若三棱锥 abcd 的体积为63，且aoc 是钝角，求 ac 的长5(20 xx高考福建卷)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名，25 周岁以下工人200 名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25周岁)”和“25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组：50，60)、60，70)、70，80)、80，90

4、)、90，100分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人， 求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成 22列联表，并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：k2n（adbc）2（ab） （cd） （ac） （bd）p(k2k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.8286(20 xx高考福建卷)如图，在等腰直角opq 中，poq90，op2 2，点 m在线段 pq 上(1)若

5、om 5，求 pm 的长；(2)若点 n 在线段 mq 上，且mon30，问：当pom 取何值时，omn 的面积最小？并求出面积的最小值答案：1 【解】(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为 6%，所以各组抽取的人数如下表：组别abcde人数5010015015050抽取人数36993(2)记从 a 组抽到的 3 位评委分别为 a1，a2，a3，其中 a1，a2支持 1 号歌手；从 b 组抽到的 6 位评委分别为 b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中 b1，b2支持 1 号歌手，从a1，a2，a3和b1，b2，b3，b4，b5，b6中各抽取 1 人的所有结果如图：由树状图知所有结果共 18

6、种，其中 2 人都支持 1 号歌手的有 a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4 种，故所求概率 p41829.2 【解】(1)证明：连接 ac1交 a1c 于点 f，则 f 为 ac1的中点又 d 是 ab 的中点，连接 df，则 bc1df.因为 df平面 a1cd，bc1平面 a1cd，所以 bc1平面 a1cd.(2)因为 abca1b1c1是直三棱柱，所以 aa1cd.由已知 accb，d 为 ab 的中点，所以 cdab.又 aa1aba，于是 cd平面 abb1a1.由 aa1accb2，ab22得acb90，cd 2，a1d 6，de 3，a1e3，故 a1d2de2a1e2

7、，即 dea1d.所以 v 三棱锥 ca1de1312 6 3 21.3 【解】(1)对任意正整数 n，都有 bn，an，bn1成等比数列，且an，bn都为正项数列，anbnbn1(nn*)可得 a1b1b23，a2b2b36，又bn是等差数列，b1b32b2，解得 b1 2，b23 22.bn22(n1)(nn*)(2)由(1)可得 anbnbn1（n1） （n2）2，则1an2（n1） （n2）2(1n11n2)，sn2(1213)(1314)(1n11n2)12n2，2sn24n2，又 2b2n1an12n2n3，2sn(2b2n1an1)n2n34n2n28（n2） （n3）.当 n1

8、，2 时，2sn2b2n1an1.4 【解】(1)证明：四边形 abcd 是正方形，bdao，boco.折起后仍有 bdao，bdco，aocoo，bd平面 aoc.bd平面 bcd，平面 aoc平面 bcd.(2)由(1)知 bd平面 aoc，vabcd13saocbd，又 vabcd63，1312oaocsinaocbd63，即1312 2 2sinaoc2 263，sinaoc32，aoc 是钝角，aoc120.在aoc 中，由余弦定理，得ac2oa2oc22oaoccosaoc( 2)2( 2)22 2 2cos 1206，ac 6.5 【解】(1)由已知得，样本中有 25 周岁以上组

9、工人 60 名，25 周岁以下组工人 40 名所以，样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中，25 周岁以上组工人有 600.053(人)，记为 a1，a2，a3；25 周岁以下组工人有 400.052(人)，记为 b1，b2.从中随机抽取 2 名工人，所有的可能结果共有 10 种，它们是：(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)其中，至少有 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种，它们是：(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，

10、b1)，(a3，b2)，(b1，b2)故所求的概率 p710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的 100 名工人中，“25 周岁以上组”中的生产能手600.2515(人)，“25 周岁以下组”中的生产能手 400.37515(人)，据此可得 22 列联表如下：生产能手非生产能手合计25 周岁以上组15456025 周岁以下组152540合计3070100所以得 k2n（adbc）2（ab） （cd） （ac） （bd）100（15251545）26040307025141.79.因为 1.792.706，所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”6 【解】(1)在omp 中，opm45，om 5，op2 2，由余弦定理得，om2op2mp22opmpcos 45，得 mp24mp30，解得 mp1 或 mp3.(2)设pom，060，在omp 中，由正弦定理，得omsinopmopsinomp，所以 omopsin 45sin（45），同理 onopsin 45sin（75）.故 somn12omonsinmon14op2sin245sin（45）sin（75）1sin（45）sin（4530）1sin（45）32sin（4