高考数学文科二轮提分训练：导数的应用含答案解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5 导数的应用高考试题考点一 利用导数研究函数的单调性 1.(安徽卷,文10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2.若f(x1)=x1<x2,则关于x的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0的不同实根个数为()(a)3(b)4(c)5(d)6解析:因f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,所以函数f(x)的导函数f(x)=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点,所以当x(-,x1),(x2,+)时f(x)>0,这时y=f(x)是增函数,x(x1,x2)时,f(x)<0,这时y=f(x)是减

2、函数,所以f(x1)>f(x2),又因f(x1)=x1<x2,所以函数f(x)的示意图如图所示.因关于3x2+2ax+b=0的方程有两根x1,x2,所以关于f(x)的方程3(f(x)2+2a(f(x)+b=0有两根x1,x2,则f(x)=x1,f(x)=x2,作直线y=x1,y=x2,由图象可知直线与函数y=f(x)图象有3个交点,故所求方程有3个不同的实根.故选a.答案:a2.(20xx年辽宁卷,文8)函数y=x2-ln x的单调递减区间为()(a)(-1,1 (b)(0,1(c)1,+)(d)(0,+)解析:由已知得函数的定义域为(0,+),y=x-= (x>0),令y0

3、得解得0<x1,所求函数的单调递减区间为(0,1.故选b.答案:b3.(20xx年辽宁卷,文11)函数f(x)的定义域为r,f(-1)=2,对任意xr,f(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()(a)(-1,1) (b)(-1,+)(c)(-,-1) (d)(-,+)解析:设g(x)=f(x)-2x-4,则g(x)=f(x)-2,对任意xr,f(x)>2,g(x)>0,即g(x)为r上的增函数,又g(-1)=f(-1)+2-4=2+2-4=0,x>-1时,g(x)>0,即x>-1时,f(x)>2x+4.故选b.答案:b4.(2009年广

4、东卷,文8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()(a)(-,2)(b)(0,3)(c)(1,4) (d)(2,+)解析:f(x)=(x-3)·ex,由f(x)=ex(x-2)>0,得x>2.f(x)的单调递增区间为(2,+).故选d.答案:d5.(广东卷,文21)设函数f(x)=x3-kx2+x (kr).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k<0时,求函数f(x)在k,-k上的最小值m和最大值m.解:(1)当k=1时,f(x)=x3-x2+x,f(x)=3x2-2x+1.方程3x2-2x+1=0的判别式=4-4×3=-8<

5、;0,f(x)>0恒成立.f(x)的单调递增区间为(-,+).函数f(x)无单调递减区间.(2)当k<0时,f(x)=3x2-2kx+1,方程3x2-2kx+1=0的判别式=4k2-4×3=4(k2-3),当0时,有k2-30,即-k<0时,来源:f(x)0恒成立,这时f(x)在k,-k上单调递增,有m=f(k)=k3-k·k2+k=k,m=f(-k)=-k3-k·k2-k=-2k3-k.当>0时,有k2-3>0,即k<-,令f(x)=3x2-2kx+1=0得x1=<0,x2=<0,且x1<x2<0,又x

6、1-k=-k=>0,于是k<x1<x2<0,当k<x<x1或x2<x<-k时,f(x)>0,f(x)为增函数;当x1<x<x2时,f(x)<0,f(x)为减函数,故m=maxf(-k),f(x1),m=minf(k),f(x2).先证f(-k)>f(x1).3-2kx1+1=0,k=,f(x1)=-k+x1=-+x1=,f(-k)-f(x1)=(-2k3-k)-=-2k3-k+-x1=-2k3+（-k-x1）,又-k-x1>0,要证f(-k)>f(x1),只需证-2k3+>0>4k3x1>

7、;k,由k<x1<0知x1>k显然成立,f(-k)>f(x1).再证f(k)<f(x2).同理f(x2)=,有f(k)-f(x2)=k-=(k-x2)+(k+)<0,f(k)<f(x2).综上所述,m=f(-k)=-2k3-k,m=f(k)=k.6.(安徽卷,文20)设函数f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,区间i=x|f(x)>0.(1)求i的长度(注:区间(,)的长度定义为-);(2)给定常数k(0,1),当1-ka1+k时,求i长度的最小值.解:(1)因为方程ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根x1=0,x2

8、=.故f(x)>0的解集为x|x1<x<x2,因此区间i=,区间i的长度为.(2)设d(a)= ,则d(a)= (a>0),令d(a)=0,得a=1.由于0<k<1,故当1-ka<1时,d(a)>0,d(a)单调递增;当1<a1+k时,d(a)<0,d(a)单调递减.因此当1-ka1+k时,d(a)的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得.而=<1,故d(1-k)<d(1+k).因此当a=1-k时,d(a)在区间1-k,1+k上取得最小值.7.(20xx年山东卷,文21)已知函数f(x)=ln x-ax+-1(ar).(

9、1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程;(2)当a时,讨论f(x)的单调性.解:(1)当a=-1时,f(x)=ln x+x+-1,x(0,+),所以f(x)=,x(0,+),所以f(2)=1,即曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线斜率为1.又f(2)=ln 2+2,所以曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y-(ln 2+2)=x-2,即x-y+ln 2=0.(2)因为f(x)=ln x-ax+-1,所以f(x)= -a+=-,x(0,+).令g(x)=ax2-x+1-a,x(0,+).(i)当a=0时,g(x)=-x+1,x(0,+),所以当x(0

10、,1)时,g(x)>0,此时f(x)<0,函数f(x)单调递减,当x(1,+)时,g(x)<0,此时f(x)>0,函数f(x)单调递增.(ii)当a0时,令f(x)=0,即ax2-x+1-a=0,解得x1=1,x2=-1.当a=时,x1=x2,g(x)0恒成立,此时f(x)0,函数f(x)在(0,+)上单调递减.当0<a<时,-1>1>0,x(0,1)时,g(x)>0,此时f(x)<0,函数f(x)单调递减,x（1,-1）时,g(x)<0,此时f(x)>0,函数f(x)单调递增;x（-1,+）时,g(x)>0,此时f

11、(x)<0,函数f(x)单调递减.当a<0时,由于-1<0.x(0,1)时,g(x)>0,此时f(x)<0,函数f(x)单调递减,x(1,+)时,g(x)<0,此时f(x)>0,函数f(x)单调递增.综上所述:当a0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减;函数f(x)在(1,+)上单调递增;当a=时,函数f(x)在(0,+)上单调递减;当0<a<时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在（1,-1）上单调递增;在（-1,+）上单调递减.考点二 利用导数研究函数的极值和最值 1.(福建卷,文12)设函数f(x)的定义域为r,x0(x

12、00)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()(a)xr,f(x)f(x0)(b)-x0是f(-x)的极小值点(c)-x0是-f(x)的极小值点(d)-x0是-f(-x)的极小值点解析:由极大值不一定是最大值可排除选项a,取f(x)=-(x-2)2,则x=2是f(x)的极大值点,但-2不是f(-x)的极小值点,排除选项b,-f(x)=(x-2)2,-2不是-f(x)的极小值点,排除选项c.故选d.答案:d2.(新课标全国卷,文11)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是()(a)x0r,f(x0)=0(b)函数y=f(x)的图象是中心对称图形(c)若x0是f(x)的

13、极小值点,则f(x)在区间(-,x0)上单调递减(d)若x0是f(x)的极值点,则f(x0)=0解析:因为函数f(x)的值域为r,故选项a正确.假设函数y=f(x)的对称中心为(m,n),按向量a=(-m,-n)将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n为奇函数,因此f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,代入化简得(3m+a)x2+m3+am2+bm+c-n=0对xr恒成立.由得所以函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为,故选项b正确.f(x)=3x2+2ax+b,若f(x)有极小值点x0,则f(x)=0有两不等实根即f(x)必有极大值点,设为x1,若x1<x0,则函数

14、f(x)在区间(-,x1)上单调递增,在区间(x1,x0)上单调递减,故选项c错误.d选项显然正确.故选c.答案:c3.(20xx年重庆卷,文8)设函数f(x)在r上可导,其导函数为f(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf(x)的图象可能是()解析:构建一个符合条件的函数,f(x)=(x+2)2,则f(x)=2(x+2),y=xf(x)=2x(x+2)=2x2+4x,故选c.答案:c4.(20xx年陕西卷,文9)设函数f(x)= +ln x,则()(a)x=为f(x)的极大值点(b)x=为f(x)的极小值点(c)x=2为f(x)的极大值点(d)x=2为f(x)的极小值点解

15、析:f(x)=-+= (x>0),当x>2时,f(x)>0,当0<x<2时,f(x)<0,x=2是f(x)的极小值点.故选d.答案:d5.(20xx年浙江卷,文10)设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cr),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象的是()解析:设g(x)=f(x)ex,则g(x)=(ax2+bx+c)ex,g(x)=exax2+(b+2a)x+b+c,由已知g(-1)=0,a-b-2a+b+c=0,a=c.f(x)=ax2+bx+c可化为f(x)=ax2+bx+a,f(x)=0若有根时,两根之积

16、x1x2=1.而选项d中两根x1<-1,x2<-1,x1x2>1.故选d.答案:d6.(20xx年福建卷,文10)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于()(a)2(b)3(c)6(d)9解析:f(x)=12x2-2ax-2b,且f(x)在x=1处有极值,f(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6,又a>0,b>0,ab=9,当且仅当a=b=3时“=”成立,ab的最大值为9.故选d.答案:d7.(20xx年山东卷,文8)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式

17、为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()(a)13万件(b)11万件(c)9万件 (d)7万件解析:y=-x3+81x-234,y=-x2+81(x>0).令y=0得x=9,令y<0得x>9,令y>0得0<x<9,函数在(0,9)上单调递增,在(9,+)上单调递减,当x=9时,函数取得最大值.故选c.答案:c8.(2009年辽宁卷,文15)若函数f(x)=在x=1处取得极大值,则a=. 解析:f(x)=,f(1)=0,a=3.来源:答案:39.(新课标全国卷,文20)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲

18、线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.解:(1)f(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f(0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x.f(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)（ex-）.令f(x)=0得,x=-ln 2或x=-2.从而当x(-,-2)(-ln 2,+)时,f(x)>0;当x(-2,-ln 2)时,f(x)<0.故f(x)在(-,-2),(-ln 2,+)上单调递增,在(-2,

19、-ln 2)上单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).10.(江西卷,文21)设函数f(x)=a为常数且a(0,1).(1)当a=时,求f;(2)若x0满足f(f(x0)=x0,但f(x0)x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证明:函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;(3)对于(2)中x1,x2,设a(x1,f(f(x1),b(x2,f(f(x2),c(a2,0),记abc的面积为s(a),求s(a)在区间上的最大值和最小值.解:(1)当a=时,f=,f=f=2=.(2)f(f(x)=当0xa2时,由x=x解得x=0,因

20、为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;当a2<xa时,由 (a-x)=x,解得x=(a2,a),因f=·=,故x=为f(x)的二阶周期点;当a<x<a2-a+1时,由 (x-a)=x,解得x=(a,a2-a+1),因f=·=,故x=不是f(x)的二阶周期点;当a2-a+1x1时,由(1-x)=x,解得x=(a2-a+1,1).因f=·=,故x=为f(x)的二阶周期点.因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,x1=,x2=.(3)由(2)得a,b,则s(a)=·,s(a)=·,因为a,有a2+a<1,所以s(

21、a)=·=·>0.（或令g(a)=a3-2a2-2a+2,g(a)=3a2-4a-2=3,因a(0,1),g(a)<0,则g(a)在区间上的最小值为g=>0,故对于任意a,g(a)=a3-2a2-2a+2>0,s(a)= ·>0）,则s(a)在区间上单调递增,故s(a)在区间上的最小值为s=,最大值为s=.11.(浙江卷,文21)已知ar,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程;(2)若|a|>1,求f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值.解:(1)当a=

22、1时,f(x)=6x2-12x+6,所以f(2)=6.又因为f(2)=4,所以切线方程为y-4=6(x-2),即6x-y-8=0.(2)记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值.f(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).令f(x)=0,得x1=1,x2=a.当a>1时,x0(0,1)1(1,a)a(a,2a)2af(x)+0-0+f(x)0单调递增极大值3a-1单调递减极小值a2(3-a)单调递增4a3比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得g(a)=当a<-1时,x0(0,1)1(1,-2a)-2af(x)-0+f(x)0单调递减极小值

23、3a-1单调递增-28a3-24a2得g(a)=3a-1.综上所述,f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值为g(a)=12.(20xx年重庆卷,文17)已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16.(1)求a,b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在-3,3上的最小值.解:(1)因为f(x)=ax3+bx+c,故f(x)=3ax2+b,由于f(x)在点x=2处取得极值c-16,故有即化简得解得a=1,b=-12.(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c;f(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).令f(x)=0,得x1=-2,x2=2.当x(-,-2)时,f(

24、x)>0,故f(x)在(-,-2)上为增函数;当x(-2,2)时,f(x)<0,故f(x)在(-2,2)上为减函数;当x(2,+)时,f(x)>0,故f(x)在(2,+)上为增函数.由此可知f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x=2处取得极小值f(2)=c-16.由题设条件知16+c=28,得c=12.此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4,因此f(x)在-3,3上的最小值为f(2)=-4.13.(20xx年北京卷,文18)已知函数f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间0

25、,1上的最小值.解:(1)f(x)=(x-k+1)ex.令f(x)=0,得x=k-1.f(x)与f(x)的变化情况如下:x(-,k-1)k-1(k-1,+)f(x)-0+f(x)-ek-1所以,f(x)的单调递减区间是(-,k-1);单调递增区间是(k-1,+).(2)当k-10,即k1时,函数f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)=-k;当0<k-1<1,即1<k<2时,由(1)知f(x)在0,k-1)上单调递减,在k-1,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k-1)=-ek-1;当k-11,即k2时,函数f(x)在

26、0,1上单调递减,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)=(1-k)e.考点三 导数的综合应用 1.(湖北卷,文10)已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是()(a)(-,0)(b)（0,）(c)(0,1) (d)(0,+)解析:f(x)=ln x+1-2ax,依题意ln x+1-2ax=0有两个正实数根x1,x2(x1<x2).设g(x)=ln x+1-2ax,函数g(x)=ln x+1-2ax有两个零点.当a0时不合题意,所以a>0;g(x)= -2a,令g(x)=0,得x=,于是g(x)在（0, ）上单调递增,在（,+）上单调

27、递减,所以g(x)在x=处取得最大值,则f=ln >0, >1,所以0<a<.故选b.答案:b2.(重庆卷,文20)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为v立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000元(为圆周率).(1)将v表示成r的函数v(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数v(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.解:(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2rh=200rh(元),底面的总成

28、本为160r2元,所以蓄水池的总成本为(200rh+160r2)元.根据题意得200rh+160r2=12000,所以h= (300-4r2),从而v(r)=r2h=(300r-4r3).由h>0,且r>0可得0<r<5,故函数v(r)的定义域为(0,5).(2)由(1)知v(r)=(300r-4r3),故v(r)=(300-12r2).令v(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因为r2=-5不在定义域内,舍去).当r(0,5)时,v(r)>0,故v(r)在(0,5)上为增函数;当r(5,5)时,v(r)<0,故v(r)在(5,5)上为减函数.由此可知,v(

29、r)在r=5处取得最大值,此时h=8,即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.3.(福建卷,文22)已知函数f(x)=x-1+ (ar,e为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴,求a的值;(2)求函数f(x)的极值;(3)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,求k的最大值.解:(1)由f(x)=x-1+,得f(x)=1-.又曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴,得f(1)=0,即1-=0,解得a=e.(2)f(x)=1-,当 a0时,f(x)>0,f(x)为(-,+)上的增函数,所以函数f(x)无极值.

30、当a>0时,令f(x)=0,得ex=a,x=ln a.x(-,ln a),f(x)<0;x(ln a,+),f(x)>0,所以f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增,故f(x)在x=ln a处取得极小值,且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a>0时,f(x)在x=ln a处取得极小值ln a,无极大值.(3)当a=1时,f(x)=x-1+.令g(x)=f(x)-(kx-1)=(1-k)x+,则直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,等价于方程g(x)=0在r上没有实数解.假设k>

31、1,此时g(0)=1>0,g=-1+<0,又函数g(x)的图象连续不断,由零点存在性定理,可知g(x)=0在r上至少有一解,与“方程g(x)=0在r上没有实数解”矛盾,故k1.又k=1时,g(x)=>0,知方程g(x)=0在r上没有实数解.所以k的最大值为1.4.(陕西卷,文21)已知函数f(x)=ex,xr.(1)求f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程;(2)证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点.(3)设a<b,比较f与的大小,并说明理由.解:(1)f(x)的反函数为g(x)=ln x,设所求切线的斜率为k,g(x)=,k=g(1)=1

32、,于是在点(1,0)处切线方程为y=x-1.(2)曲线y=ex与y=x2+x+1公共点的个数等于函数 (x)=ex-x2-x-1零点的个数. (0)=1-1=0, (x)存在零点x=0.又(x)=ex-x-1,令h(x)= (x)=ex-x-1,则h(x)=ex-1,当x<0时,h(x)<0,(x)在(-,0)上单调递减.当x>0时,h(x)>0,(x)在(0,+)上单调递增.(x)在x=0处有唯一的极小值(0)=0,即(x)在r上的最小值为(0)=0,(x)0(当且仅当x=0时等号成立), (x)在r上是单调递增的, (x)在r上有唯一的零点,来源:故曲线y=f(x)

33、与y=x2+x+1有唯一的公共点.(3) -f=-=·-(b-a).设函数u(x)=ex-2x(x0),则u(x)=ex+-22-2=0,u(x)0(当且仅当x=0时等号成立),u(x)单调递增.当x>0时,u(x)>u(0)=0.令x=,则得-(b-a)>0,又>0,>f.5.(新课标全国卷,文21)已知函数f(x)=x2e-x.(1)求f(x)的极小值和极大值; (2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.解:(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=-e-xx(x-2).(*)当x(-,0)或x(2,+)时,f

34、(x)<0,当x(0,2)时,f(x)>0.所以f(x)在(-,0),(2,+)上单调递减,在(0,2)上单调递增.故当x=0时,f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)取得极大值,极大值为f(2)=4e-2.(2)设切点为(t,f(t),则l的方程为y=f(t)(x-t)+f(t).所以l在x轴上的截距为m(t)=t-=t+=t-2+3.由已知和(*)式得t(-,0)(2,+).令h(x)=x+(x0),则当x(0,+)时,h(x)的取值范围为2,+);当x(-,-2)时,h(x)的取值范围是(-,-3).所以当t(-,0)(2,+)时,m(t)的取值范围是

35、(-,0)2+3,+).综上,l在x轴上的截距的取值范围是(-,0)2+3,+).6.(四川卷,文21)已知函数f(x)= ,其中a是实数.设a(x1,f(x1),b(x2,f(x2)为该函数图象上的两点,且x1<x2.(1)指出函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)的图象在点a,b处的切线互相垂直,且x2<0,证明:x2-x11;(3)若函数f(x)的图象在点a,b处的切线重合,求a的取值范围.(1)解:函数f(x)的单调递减区间为(-,-1),单调递增区间为-1,0),(0,+).(2)证明:由导数的几何意义可知,点a处的切线斜率为f(x1),点b处的切线斜率为f(x2)

36、,故当点a处的切线与点b处的切线垂直时,有f(x1)f(x2)=-1.当x<0时,对函数f(x)求导,得f(x)=2x+2.因为x1<x2<0,所以,(2x1+2)(2x2+2)=-1,所以2x1+2<0,2x2+2>0.因为x2-x1=-(2x1+2)+2x2+2=1.(当且仅当-(2x1+2)=2x2+2=1,即x1=-且x2=-时等号成立)所以,函数f(x)的图象在点a,b处的切线互相垂直时,有x2-x11.(3)解:当x1<x2<0或x2>x1>0时,f(x1)f(x2),故x1<0<x2.当x1<0时,函数f(x

37、)的图象在点(x1,f(x1)处的切线方程为y-(+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-+a.当x2>0时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2)处的切线方程为y-ln x2= (x-x2),即y=·x+ln x2-1.两切线重合的充要条件是由及x1<0<x2知,0<<2.由得,a=ln x2+(-1)2-1=-ln +(-2)2-1.令t=,则0<t<2,且a=t2-t-ln t.设h(t)=t2-t-ln t(0<t<2),来源:则h(t)=t-1-=<0,所以h(t)(0<t<

38、;2)为减函数.则h(t)>h(2)=-ln 2-1,所以a>-ln 2-1.而当t(0,2)且t趋近于0时,h(t)无限增大,所以a的取值范围是(-ln 2-1,+).故当函数f(x)的图象在点a,b处的切线重合时,a的取值范围是(-ln 2-1,+).7.(天津卷,文20)设a-2,0,已知函数f(x)= (1)证明f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增;(2)设曲线y=f(x)在点pi(xi,f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行,且x1x2x30.证明:x1+x2+x3>-.证明:(1)设函数f1(x)=x3-(a+5)x(x0),f2

39、(x)=x3-x2+ax(x0),f1(x)=3x2-(a+5),由于a-2,0,从而当-1<x0时,f1(x)=3x2-(a+5)<3-a-50,所以函数f1(x)在区间(-1,0内单调递减.f2(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1),由于a-2,0,所以当0<x<1时,f2(x)<0;当x>1时,f2(x)>0.即函数f2(x)在区间0,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.综合,及f1(0)=f2(0),可知函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.(2)由(1)知f(x)在区间(-,0)内单调

40、递减,在区间(0, )内单调递减,在区间(,+)内单调递增,因为曲线y=f(x)在点pi(xi,f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行,从而x1,x2,x3互不相等,且f(x1)=f(x2)=f(x3).不妨设x1<0<x2<x3,由3-(a+5)=3-(a+3)x2+a=3-(a+3)x3+a,可得3-3-(a+3)(x2-x3)=0, 解得x2+x3=,从而0<x2<<x3.设g(x)=3x2-(a+3)x+a,则g()<g(x2)<g(0)=a.由3-(a+5)=g(x2)<a,解得-<x1<0,所以x1+x2+x3

41、>-+,设t=,则a=,因为a-2,0,所以t,故x1+x2+x3>-t+=(t-1)2-,即x1+x2+x3>-.8.(20xx年浙江卷,文21)已知ar,函数f(x)=4x3-2ax+a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:当0x1时,f(x)+|2-a|>0.(1)解:由题意得f(x)=12x2-2a.当a0时,f(x)0恒成立,此时f(x)的单调递增区间为(-,+).当a>0时,f(x)=12(x-)(x+),此时函数f(x)的单调递增区间为(-,-和,+,单调递减区间为.(2)证明:由于0x1,故当a2时,f(x)+|2-a|=4x3-2ax+24x

42、3-4x+2.当a>2时,f(x)+|2-a|=4x3+2a(1-x)-24x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2.设g(x)=2x3-2x+1,0x1,则g(x)=6x2-2=6(x-)(x+),于是g(x),g(x)随x的变化情况如下表:x0(0,)(,1)1g(x)-0+g(x)1极小值1所以,g(x)min=g=1->0.所以当0x1时,2x3-2x+1>0.故f(x)+|2-a|4x3-4x+2>0.9.(20xx年山东卷,文22)已知函数f(x)= (k为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行.(1

43、)求k的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)设g(x)=xf(x),其中f(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.解:(1)由f(x)=,得f(x)=,x(0,+),由于曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线与x轴平行,f(1)=0,k=1.(2)由(1)得f(x)= (1-x-xln x),x(0,+).令h(x)=1-x-xln x,x(0,+),当x(0,1)时,h(x)>0;当x(1,+)时,h(x)<0,又ex>0,当x(0,1)时,f(x)>0,当x(1,+)时,f(x)<0,f(x)的单调递增区间为(0,1

44、),单调递减区间为(1,+).(3)证明:g(x)=xf(x),g(x)=(1-x-xln x),x(0,+).由(2)知h(x)=1-x-xln x,则h(x)=-2-ln x=-(ln x-ln e-2),当x(0,e-2)时,h(x)>0,函数h(x)单调递增;当x(e-2,+)时,h(x)<0,函数h(x)单调递减.当x(0,+)时,h(x)h(e-2)=1+e-2.又当x(0,+)时,0<<1,当x(0,+)时,h(x)<1+e-2,即g(x)<1+e-2.综上所述,结论成立.10.(20xx年全国新课标卷,文21)已知函数f(x)= +,曲线y=

45、f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x+2y-3=0.(1)求a,b的值;(2)证明:当x>0,且x1时,f(x)> .(1)解:f(x)=-.由于直线x+2y-3=0的斜率为-,且过点(1,1).故解得a=1,b=1.(2)证明:由(1)知f(x)=+,所以f(x)- = (2ln x-).令函数h(x)=2ln x-(x>0),则h(x)=-=-.所以当x1时,h(x)<0.而h(1)=0,故当x(0,1)时,h(x)>0,可得h(x)>0;当x(1,+)时,h(x)<0,可得h(x)>0.从而当x>0,且x1时,f(x)->

46、0,即f(x)> .模拟试题考点一 利用导数解决单调性问题 1.(20xx长春名校联考)已知定义在r上的函数f(x),其导函数f(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是()(a)f(b)>f(c)>f(d)(b)f(b)>f(a)>f(e)(c)f(c)>f(b)>f(a)(d)f(c)>f(e)>f(d)解析:依题意得,当x(-,c)时,f(x)>0;当x(c,e)时,f(x)<0;当x(e,+)时,f(x)>0.因此,函数f(x)在(-,c)上是增函数,在(c,e)上是减函数,在(e,+)上是增函数,又a

47、<b<c,所以f(c)>f(b)>f(a).故选c.答案:c2.(20xx安徽六校联考)已知函数f(x)=(x2-ax)ex(xr),a为实数.(1)当a=0时,求函数f(x)的单调增区间;(2)若f(x)在闭区间-1,1上为减函数,求a的取值范围.解:(1)当a=0时,f(x)=x2ex.f(x)=2xex+x2ex=(x2+2x)ex,由f(x)>0x>0或x<-2,故函数f(x)的单调递增区间为(0,+)和(-,-2).(2)f(x)=(x2-ax)ex,xr,f(x)=(2x-a)ex+(x2-ax)ex=x2+(2-a)x-aex.记g(x)

48、=x2+(2-a)x-a,依题意得x-1,1时,g(x)0恒成立,则有即a,故a的取值范围是,+）.3.(20xx浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)=-ax(ar).(1)当a=时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在-1,1上为单调函数,求实数a的取值范围.解:(1)当a=时,f(x)= -x,f(x)= (ex)2-3ex+2= (ex-1)(ex-2),令f(x)=0,ex=1,或ex=2,即x=0或x=ln 2,令f(x)>0,则x<0或x>ln 2,令f(x)<0,则0<x<ln 2,f(x)在(-,0,ln 2,+)上单调递增,在(0,l

49、n 2)上单调递减.(2)f(x)= +-a,令ex=t,由于x-1,1,t,e.令h(t)=+(t,e),h(t)= - =,当t,)时,h(t)<0,函数h(t)为减函数.当t(,e时,h(t)>0,函数h(t)为增函数,h(t)e+.函数f(x)在-1,1上为单调函数,若函数在-1,1上单调递增,则a+对t,e恒成立,所以a;若函数f(x)在-1,1上单调递减,则a+对t,e恒成立,所以ae+,综上可得a或ae考点二 利用导数研究函数的极(最)值 1.(20xx山东潍坊一模)已知函数f(x)=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1,x2,且x1-2,-1,x21,

50、2,则f(-1)的取值范围是()(a)-,3(b),6(c)3,12 (d)-,12解析:f(x)=3x2+4bx+c是开口向上的二次函数,因为它在给定区间上存在两个极值点,所以即作出其可行域,易知目标函数z=2b-c的值域是3,12.故选c.答案:c2.(20xx中山市高三第一学期期末)已知函数f(x)的导数f(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取得极大值,则a的取值范围为. 解析:若a>0,则函数当x(-,-1)和(a,+)时,f(x)>0;当x(-1,a)时,f(x)<0,函数f(x)在x=a处取得极小值,不符合题意,故a<0且a-1,当

51、a<-1时,令f(x)>0得a<x<-1,即x(a,-1)时f(x)为增函数,不符合题意.当-1<a<0时,令f(x)>0得-1<x<a,令f(x)<0得x>a或x<-1,即x(-1,a)时f(x)为增函数,x(a,+)或x(-,-1)时f(x)为减函数.则f(x)在x=a处取极大值,因此-1<a<0.答案:(-1,0)3.(20xx重庆市高三(上)期末测试)已知函数f(x)=ln x+x2+ax.(1)当a=-4时,求方程f(x)+x2=0在(1,+)上的根的个数;(2)若f(x)既有极大值又有极小值,求实数

52、a的取值范围.解:(1)a=-4时,令g(x)=f(x)+x2=ln x+2x2-4x,只要知道g(x)在(1,+)上的零点个数即可.由g(x)= +4x-4=在(1,+)上恒大于0知,g(x)在(1,+)上是单调递增的函数,又由于g(1)=-2<0,g(2)=ln 2>0,则g(x)在(1,+)上恰有一个零点,即方程f(x)+x2=0在(1,+)上只有一个根.(2)由题意知f(x)= +2x+a=在(0,+)上恰有两个互不相等的零点,则对于2x2+ax+1=0,有解得a<-2.即实数a的取值范围为(-,-2).4.(20xx广东肇庆模拟)甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方

53、生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?解:(1)因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为w=2000-st.w=-s=,令w=0,得t=t0=2

54、.当t<t0时,w>0;当t>t0时,w<0,所以t=t0时,w取得最大值.因此乙方取得最大利润的年产量t0=2(吨).(2)设甲方净收入为v元,则v=st-0.002t2.将t=2代入上式,得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式v=-.又v=-+=,令v=0,得s=20.当s<20时,v>0;当s>20时,v<0,所以s=20时,v取得最大值.因此甲方向乙方要求的赔付价格s=20(元/吨)时,获得最大净收入.考点三 导数的综合应用 (20xx德阳市一诊)已知函数f(x)=(a+)ln x+-x.(1)当a>1时,求f(x)在区间(0,1)上的单调性;(2)当a>0时,求f(x)的极值;(3)当a3时,曲线y=f(x)上总存在不同两点p(x1,f(x1),q(x2,f(x2),使得曲线y=f(x)在p、q两点处的切线互相平行,证明:x1+x2>.解:(1)f(x)=(a+)-1=-=- (x>0).由于a>1,故0<<1<a.所以f(x)的